2018年华东师大版初三下册九年级数学《第26章二次函数》检测题含答案解析

第26章二次函数检测题

（本检测题满分:120分，时间：120分钟）

一、选择题（每小题2分，共24分）

1.（2015·兰州中考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A.y =3x -1 B.y =a +bx +c C.s =2-2t +1

D.y =

2.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A.c >-1

B.b >0

C.02≠+b a

D.b c a 39>+ 3.（2014?成都中考）将二次函数2

23y x x =-+化为

2

()y x h k =-+的形式，结果为（ ）

A.2(1)4y x =++

B.2(1)2y x =++

C.2(1)4y x =-+

D.2(1)2y x =-+ 4.抛物线21

=+44

y x x --的对称轴是直线( )

A.=2x -

B.=2x

C.=4x -

D.=4x

5.已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A.0,0ab c >> B.0,0ab c >< C.0,0ab c <> D.0,0ab c <<

6.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则点,c b a ??

???在第（ ）象限.

A. 一

B. 二

C. 三

D. 四

7.如图所示，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点(),0A m 和点B ，且>4m ，则AB 的长是

( )

第5题图

第6题图

A.4m

+ B.m C.28

m- D.82m

-

第7题图第8题图

8.（2015·安徽中考）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y =ax2+(b1)x+c的图象可能为（）

A. B. C. D.

9.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对

称轴为直线=1

x-，()()

111222

,,,

P x y P x y是抛物线上的点，()

333

,

P x y是

直线l上的点，且

312

1,

x x x

<-<<则

123

,,

y y y的大小关系是( )

A.

123

y y y

<< B.

231

y y y

<<

C.

312

y y y

<< D.

213

y y y

<<

10.把抛物线2

241

y x x

=-++的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )

A.()2

=21+6

y x

-- B.()2

=216

y x

---

C.()2

=2+1+6

y x

- D.()2

=2+16

y x

--

11.（2015·山东潍坊中考）已知二次函数y =+bx+c+2的图象如图所示，顶点为(-1，0)，

下列结论：①abc<0；②-4ac=0；③a>2；④4a-2b+c>0.其中正确结论的个数是()

A.1

B.2

C. 3

D.4

第9题图

第11题图

第12题图

12.（2013?四川资阳中考）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠过点（1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限，设P a b c =-+，则P 的取值范围是（ ） A.40P -＜＜ B.42P --＜＜ C.20P -＜＜ D.10P -＜＜

二、填空题（每小题4分，共24分）

13.（2014?长沙中考）抛物线2

3(2)5y x =-+的顶点坐标是 . 14.（2013?辽宁营口中考）二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，则一次函数y bx c =+的图象不经过第 象限．

15.已知二次函数2=++y ax bx c 的图象交x 轴于,A B 两点，交y 轴于C 点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16.（2014?杭州中考）设抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠过(0,2)A ，(4,3)B ，C 三点，

其中点C 在直线2x

=上，且点C 到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析

式为 .

17.已知抛物线22y x x b =++经过点1,4a ?

?- ??

?和()1,a y -，则1y 的值是_________.

18.（2015·四川资阳中考）已知抛物线p ：y =ax 2+bx +c 的顶点为C ，与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为C′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为______________.

三、解答题（共72分）

19.（8分）若二次函数图象的对称轴是直线3

=

2

x ，且图象过点(04)A -，

和(40)B ，. (1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴3

=2

x 对称的点A '的坐标； (2)求此二次函数的解析式.

20.（8分）在直角坐标平面内，点O 为坐标原点，二次函数()()2 54y x k x k =+--+的图

象交x 轴于点12(0),(0)A x B x ，，，且()()12118x x ++=-. (1)求二次函数的解析式；

(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y

轴的交点为

第14题图

C ，顶点为P ，求△POC 的面积.

21.（8分）已知：如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于,A B 两点，其中A

点坐标为(10)-，

，点(05)C ，，另抛物线经过点(18)，，M 为它的顶点. (1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB 的面积MCB S △.

22.（8分）（2014?北京中考）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

2y x mx n =++经过

点A （0, -2），B （3, 4）. （1）求抛物线的表达式及对称轴.

（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A , B 两点）.若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围.

23. （8分）（2014?安徽中考）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两

个二次函数为“同簇二次函数”.

（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

（2）已知关于x 的二次函数2

2

12421y x mx m =-++和2

25y ax bx =++，其中1y 的图象经过点(1,1)A ，若12y y +与1y 为“同簇二次函数”，求函数2y 的表达式，并求出当03x ≤≤时，2y 的最大值.

24.（10分）（2014?河北中考）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A ，B ，C ，

D ，

E ，

F ，

G ，

H ，O 九个格点，抛物线l 的解析式为y ＝(－1)n x2＋bx ＋c （n 为整数）. （1）n 为奇数，且l 经过点H （0，1）和C （2，1），求b ，c 的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；

（2）n 为偶数，且l 经过点A （1，0）和B （

2，0），通过计算说明点F （0，2）和H （0，1）是否在该抛物线上；

第21题图

（3）若l 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数.

25.（10分）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20 m ，如果水位上

升3 m 时，水面CD 的宽是10 m . （1）求此抛物线的解析式；

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥

280 km （桥长忽略不计）. 货车正以每小时40 km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，

忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25 m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）.试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

26.（12分）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当 每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益 （收益=租金收入－支出费用）为y （元）.

（1）用含x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用. （2）求y 与x 之间的二次函数关系式.

（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该 租出多少套机械设备？请你简要说明理由.

（4）请把（2）中所求的二次函数配方成2

2424b ac b y x a a -?

?=++ ??

?的形式，并据此说明：

当x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？

第26章二次函数检测题参考答案

1.C 解析：选项A 是一次函数；选项B 当a =0，b ≠0时是一次函数，当a ≠0时是二次函数，所以选项B 不一定是二次函数；选项C 一定是二次函数；选项D 不是二次函数.

第25题图

2.D 解析：因为抛物线与轴的交点在点（0，-1）的下方，所以c <-1，因此选项A 错误；观察抛物线发现a >0，02b a

->，所以b <0，因此选项B 错误；因为抛物线的对称轴

是直线x =1，所以12b a -=，即2b a =-，则20a b +=，所以选项C 错误.故选D.

3.D 解析：()2

2223211312y x x x x x =-+=-+-+=-+.

4.B 解析：抛物线21

=+44y x x --，直接利用公式，得其对称轴为直线x =2.

5.C 解析：因为抛物线开口方向向下，所以<0a . 由于抛物线对称轴在y 轴右侧，所以>02b

a

-

.又因为<0a ，所以0,0b ab ><. 由于抛物线与y 轴交点坐标为()0,c 点，由图象知，该点在x 轴上方，所以>0c . 6.D 解析：因为抛物线开口方向向下，所以<0a . 由于抛物线对称轴在y 轴右侧，所以>02b

a

-. 又因为<0a ，所以0b >.

由于抛物线与y 轴交点坐标为()0,c 点，由图象知，该点在x 轴上方，所以>0c ，所以<0c

a .

所以点,c b a ??

???

在第四象限.

7.C 解析：因为二次函数()2+0y ax bx c a =+≠图象顶点P 的 横坐标是4，

所以抛物线的对称轴为直线4x =，对称轴与x 轴交于点D ， 所以,A B 两点关于对称轴对称.

因为点()0A m ，

，且>4m ，所以()224=28AB AD m m ==--. 8.A 解析：一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象有两个交点，且都在第一象限，可知一元二次方程ax 2＋bx ＋c =x ，即ax 2＋(b －1)x ＋c =0有两个不等的正实数根，所以函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象与x 轴正半轴有两个不同的交点，故选项A 符合题意.

9.D 解析：因为抛物线的对称轴为直线=1x -，且121x x -<<，

当>1x -时，由图象知，y 随x 的增大而减小，所以21

又因为31x <-，此时点()333,P x y 在二次函数图象上方，所以213y y y <<. 10.C 解析：原二次函数变形为,将其图象向左平移2个单位，函数解

析式变为

,再向上平移3个单位，函数解析式变为

，

所以答案选C.

11.B 解析：∵ 函数图象开口向上，∴ a ＞0.

又∵ 顶点为（-1，0），∴ - = -1，∴ b =2a ＞0.

由图象与y 轴的交点坐标可知:c +2＞2，∴ c ＞0，∴ abc ＞0，故①错误. ∵ 抛物线顶点在x 轴上，∴

-4a （c +2）=0，故②错误.

∵ 顶点为（-1，0），∴ a -b +c +2=0.

∵ b =2a ，∴ a =c +2. ∵ c ＞0，∴ a ＞2，故③正确.

由抛物线的对称性可知x =-2与x =0时函数值相等，∴ 4a -2b +c +2＞2， ∴ 4a -2b +c ＞0，故④正确.

13. (2，5) 解析：抛物线()2

y a x h k =-+的顶点坐标是（h ，k ）.

14.四 解析：根据图象得0,0,0a b c ＜＞＞，

故一次函数y bx c =+的图象不经过第四象限．

15.21y x =-(答案不唯一) 解析：需满足抛物线与x 轴交于两点，与y 轴有交点，及

ABC △是直角三角形，可知答案不唯一，如21y x =-.

16.2

1128

4

y x x =

-

+或213

28

4

y x x =-++ 解析：由题意知抛物线的对称轴为直线1

x =或3x =.

（1）当对称轴为直线1x =时，2b a =-，抛物线经过点(0,2)A ，(4,3)B ，

∴

{

2,

3168,c a a c ==-+解得1,8

2.

a c ==?????∴ 211284y x x =-+. （2）当对称轴为直线3x =时，6

b a =-，抛物线经过点(0,2)A ，(4,3)B ，

∴

{

2,

31624,c a a c ==-+解得1,82.a c =-=??

???

∴ 213284y x x =-++.

∴ 抛物线的函数解析式为2

11

28

4y x x =

-

+或2

1

3

284

y x x =-++.

17.

34 解析：将点1,4a ?

?- ??

?的坐标代入得2214a a b ++=-，所以221+=04a a b ++，

即2

2102a b ?

?++= ??

?,解得1,02a b =-=.所以当x a =-时，134y =.

18.223y x x =-- 解析：由题意知，两条抛物线的开口方向相同，开口大小相等，所以抛物线p 中的a ＝1.因为122

++=x x y 的顶点坐标为（－1，0），所以点A 的坐标为 （－1，0）.将点（－1，0）的坐标代入c bx x y ++=2

，得1－b +c ＝0，所以c ＝b －1.根据点C ′与点C 的横坐标都等于2

b

-

，可求得点C ′的纵坐标为－b +2，点C 的纵坐标为442b c -.因为点C 与点C ′关于x 轴对称，所以4

42

b c -+（－b +2）＝0，又因为c =b 1，所以解得b ＝±2（b =2，不合题意舍去）.当b ＝－2时，c ＝－3，所以抛物线p 的解析式为223y x x =--. 19.解：(1)(34)A '-，

. (2)设二次函数解析式为()20y ax bx c a =++≠, 由题设知3

=,2216+4+=0,=4,b a a b c c ?-????-?

?

∴ 1,3,4,

a b c =??

=-??=-?

∴ 二次函数的解析式为2 34y x x =--.

20.解：(1)由题意知12,x x 是方程()2(5)40x k x k +--+=的两根，

∴ ()()1212+=5,=+4.x x k x x k ?--??-??

又∵ ()()12118x x ++=-， ∴ ()121290x x x x +++=.

∴ ()()4590k k -+--+=.∴5k =. ∴ 二次函数的解析式为29y x =-.

(2) ∵ 平移后的函数解析式为()2

29y x =--,且当0x =时，5y =-, ∴ (05),(29)C P --，

，. ∴ 1

5252

POC S =??=△. 21.解：(1)依题意,得0,5,8,a b c c a b c -+=??=??++=?解得1,4,5,a b c =-??

=??=?

所以抛物线的解析式为2 45y x x =-++. (2)令0y =，得()()12510,5,1x x x x -+===-, ∴ (50)B ，

. 由()2

2 45=2+9y x x x =-++--，得(29)M ，

. 作ME y ⊥轴于点E ，

则

MCB ECM COB EOBM S S S S =--梯形△△△, 可得

MCB S △=15. 22. 解：(1)∵ 2

2y

x mx n =++经过点A (0,-2),B (3,4),

代入得2,1834,n m n =-++=??

?∴ 4,

2.

m n =-=-??? ∴ 抛物线的表达式为2

24 2.y

x x =--

2

2

2

242221214y x x x x x =--=--=--（）（），

∴ 其对称轴为直线x =1. （2）由题意可知C （-3，-4）， 二次函数2

242y

x x =--的最小值为-4.

由图象可以看出D 点纵坐标最小值即为-4， 最大值即BC 与对称轴交点的纵坐标. 设直线BC 的解析式为y =kx +b ,

根据题意得34,

34,k b k b +=-+=-???解得0,

4,3

b k ==??

???

∴ 直线BC 的解析式为4.3

y

x =

当x =1时，4.3

y =

第22题答图

∴ 点D 纵坐标t 的取值范围是44.3

t

-≤≤ 23. 解：（1）本题是开放题，答案不唯一，符合题意即可，如221y x =，22y x =.

（2）∵ 函数1y 的图象经过点(1,1)A ，则224211m m -++=，解得1m =. ∴ 221243211()y x x x =-+=-+. 方法一：∵

12y y +与1y 为“同簇二次函数”，

∴ 可设212(1)1(0)y y k x k +=-+>， 则222

1(1)1(2)(1)y k x y k x =-+-=--.

由题意可知函数2y 的图象经过点（0，5），则2(2)15k -?=，∴ 25k -=.

∴

22

25(1)5105y x x x =-=-+.

当03x ≤≤时，根据2y 的函数图象可知，2y 的最大值2=5(31)20?-=. 方法二：∵ 12y y +与1y 为“同簇二次函数”，

则212(+2)(4)8(+20)y y a x b x a +=+-+>，

∴

4

12(2)

b a --

=+，化简得2b a =-.

又2

32(2)(4)14(2)

a b a +--=+，将2b a =- 代入，解得5a =，10b =-.

∴ 225105y x x =-+. 当03x ≤

≤时，根据2y 的函数图象可知，2y 的最大值2=53103520?-?+=.

24. 解：（1）n 为奇数，则y ＝－x 2＋bx ＋c .

∵ 点H （0，1）和C （2，1）在抛物线上，

∴

21,

221,c b c =??-++=?2,1.b c =??

=?解得

∴ y ＝－x 2＋2x ＋1.

故格点E 是该抛物线的顶点. （2）n 为偶数，则y ＝x 2＋bx ＋c .

∵ 点A （1，0）和B （２，0）在抛物线上，

∴ 221++0,220,

b c b c ?=??++=??3,2.b c =-??

=?解得

∴ y ＝x 2－3x ＋2. 当x ＝0时，y ＝2≠1，

故点F （0，2）在该抛物线上，而点H （0，1）不在该抛物线上.

（３）所有满足条件的抛物线共有８条.如图①所示，当n 为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得3条抛物线；如图②所示，当n 为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得3条抛物线

.

第24题答图

∴ 抛物线的解析式为2

25

x y -

=. （2）水位由CD 处涨到点O 的时间为()10.254h ÷=， 货车按原来速度行驶的路程为401404200280?+?=<， ∴ 货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.

设货车的速度提高到km /h x ，当2801404=?+x 时，60=x . ∴ 要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60km /h . 26.解：（1）未租出的设备为

10

270

-x 套，所有未租出设备的支出费用为)5402(-x 元. （2）2270140(2540)655401010x y x x x x -?

?=---=-++ ??

?. ∴ 5406510

12

++-

=x x y . （3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11 040元，此时租出的设备为37套； 当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11 040元，此时租出的设备为32套. 因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32

套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套.

（4）2211

65540(325)11102.51010

y x x x =-

++=--+ . ∴ 当325=x 时，y 有最大值11 102.5. 但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11 100元.