基于matlab的FIR滤波器的设计与仿真毕业论文设计

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基于matlab的FIR滤波器的设计与

仿真

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毕业设计论文基于matlab的FIR滤波器的设计与仿真

摘要

FIR滤波器是数字滤波器系统中常见的滤波器。论文针对窗函数法、最优化设计法和最小约束二乘法三种设计方法,采用MATLAB7.0软件进行FIR滤波器的设计与仿真。最后,结合实例给出了语音滤波处理实验,形象、直观。

关键词:FIR滤波器 MATLAB7.0 窗函数法最优化设计法最小约束二乘法

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Abstract

The FIR filter is a digital filter system filter. Paper against the window function method, optimization of design and minimum constraint multiplication of three design methods, MATLAB7.0 software FIR filter design and simulation. Finally, with examples given voice filtering experiments, image, and intuitive.

Keywords: FIR filter MATLAB 7.0 window function method to optimize the design method of least constraint multiplication

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目录

第1章绪论 (1)

1.1 数字滤波器的研究背景和意义 (1)

1.2 数字滤波器的应用及现状 (1)

1.3 数字滤波器的定义 (1)

1.4 滤波器的分类 (2)

第2章FIR数字滤波器的特性 (3)

2.1 FIR滤波器的线性相位特性 (3)

2.2 FIR滤波器的幅频特性 (5)

第3章FIR数字滤波器的设计 (6)

3.1 窗函数法设计FIR数字滤波器 (6)

3.1.1 窗函数法 (6)

3.1.2 数字低通滤波器的窗函数法设计 (6)

3.1.3 基于窗函数法直接设计FIR数字滤波器 (12)

3.2 FIR滤波器的最优化设计法 (13)

3.2.1 等波纹切比雪夫逼近准则 (14)

3.2.2 基于切比雪夫逼近法直接设计FIR数字滤波器 (14)

3.3 FIR滤波器的最小二乘设计法 (16)

第4章语音信号滤波处理 (19)

第5章结论 (26)

致谢 (27)

参考文献 (28)

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第1章绪论

1.1 数字滤波器的研究背景和意义

当今,数字信号处理技术正飞速发展,它不但自成一门学科,更是以不同形式影响和渗透到其他学科;它与国民经济息息相关,与国防建设紧密相连;它影响或改变着我们的生产、生活方式,因此受到人们普遍的关注。

数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势,而数字化是智能化和网络化的基础,实际生活中遇到的信号多种多样,例如广播信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号等等。上述这些信号大部分是模拟信号,也有小部分是数字信号。模拟信号是自变量的连续函数,自变量可以是一维的,也可以是二维或多维的。大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间,经过时间上的离散化(采样)和幅度上的离散化(量化),这类模拟信号便成为一维数字信号。因此,数字信号实际上是数字序列表示的信号,语音信号经采样和量化后,得到的数字信号是一个一维离散时间序列。

数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。无论是信号的获取、传输,还是信号的处理和交换都离不开滤波技术,它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关重要的。在所有的电子系统中,使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了。数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。

1.2 数字滤波器的应用及现状

数字滤波器精确度高、使用灵活、可靠性高,具有模拟设备所没有的许多优点,已广泛应用于各个学科技术领域,例如数字电视、语音、通信、雷达、声纳、遥感、图像、生物医学以及许多工程应用领域。随着信息时代、数字时代的到来,数字滤波技术已经成为一门极其重要的学科和技术领域。以往的滤波器大多采用模拟电路技术,但是,模拟电路技术存在很多难以解决的问题,例如,模拟电路元件对温度的敏感性,等等。而采用数字技术则避免很多类似的难题,当然数字滤波器在其他方面也有很多突出的优点,所以采用数字滤波器对信号进行处理是目前的发展方向。

1.3 数字滤波器的定义

数字滤波器通常是指一个有限精度算法实现的离散线性时不变系统。通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器,可以用下式表示:

绪论毕业设计论文

称为滤波器幅频响应,称为滤波器的相频响应。幅频响应表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况,而相频响应反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。

滤波器性能最容易通过它的幅频响应的形状来描述。滤波器在某个频率的幅度增益决定了滤波器对此频率输入的放大因子,增益可取任意值。增益高的频率范围,信号可以通过,称之为滤波器的通带,增益低的频率范围,滤波器对信号有衰减和阻塞作用,称之位滤波器的阻带。

1.4 滤波器的分类

滤波器的种类很多,分类方法也不同,可以从功能上分,也可以从实现方法上分,或从设计方法上来分等。但总的来说,滤波器可分为两大类,即经典滤波器和现代滤波器。

经典滤波器是假定输入信号x(n)中的有用成分和无用成分(如噪声)各自占有不同的频带,当x(n)通过滤波器后可将无用成分有效地去除。如果信号中的有用成分和无用成分的频谱相互重叠,那么经典滤波器将无法滤除信号的无用成分。

现代滤波器理论研究的主要内容是从含有噪声的数据记录(又称为时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出,那么估计出的信号与原信号相比会有高的信噪比。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号,利用它们的统计特征(如功率谱)推导出一套最佳的估值算法,然后用硬件或软件予以实现。

经典滤波器从功能上可分为四种,即低通(LP,Low Pass)、高通(HP,High Pass)、带通(BP,Band Pass)和带阻(BS,Band Stop)滤波器,每一种又有模拟滤波器(AF)和数字滤波器(DF)两种形式。

数字滤波器按照单位取样响应h(n)的时域特性可分为无限脉冲响应(IIR,Infinite Impulse Response)系统和有限脉冲响应(FIR,Finite Impulse Response)系统。如果单位取样响应是时宽无限的h(n),n0

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第2章 FIR 数字滤波器的特性

FIR 数字滤波器的冲激响应()h n 的Z 变换为:

1

1(1)0()()(0)(1)(1)N n N n H z h n z h h z h N z -----===+++-∑… (2-1)

其中滤波器最重要的两个特性为线性相位特性和幅度特性。

2.1 FIR 滤波器的线性相位特性

由式(2-1)可以看出,H (z )是1z -的N-1次多项式,它在z 平面内有N-1个零点,同时在原点有N-1个重极点。因为FIR 数字滤波器的单位冲激响应是有限长的,所以它永远都是稳定的。在数字信号处理的许多领域中,常常要求滤波器具有线性相位,达到这一要求,仅需要对FIR 数字滤波器的冲激响应()h n 施加一定的约束。令jw z e =,就可由()H z 得到FIR 数字滤波器的频率响应:

1

()0()()|()()j N j j n j z e n H e H z h n e H e ωω

ωθωω--=====∑ (2-2) 式中()H ω是()j H e ω的幅频特性,()θω是()j H e ω的相频特性

Im(())()arctan()(())

j j H e RE H e ωωθω= (2-3) 当要求滤波器具有严格的线性相位,或者说具有相位不失真时,应有:

()θωτω=- (2-4)

即 1

010()sin()arctan

()cos()

N n N n h n n h n n ωτωω-=-=-=-∑∑ (2-5)

也即 1010()sin()tan()()cos()

N n N n h n n h n n ωτωω-=-==

∑∑ (2-6)

将式(2-6)展开可得:

FIR 数字滤波器的特性 毕业设计论文

1

0()[cos()sin()sin()cos()]0N n h n n n ωωτωωτ-=-=∑ (2-7)

式(2-7)的左边具有傅里叶级数的形式。

由于FIR 数字滤波器的冲激响应()h n 为实数,若()h n 呈偶对称,即

()(1)h n h N n =-- (2-8a )

其对称中心在

12

N τ-=

(2-9) 此时有 11()()11122()200()()()2N N n n N N N n n n z z H z h n z z

h n ----------==+==∑∑ (2-10)

因此:

11()2

01()()cos[()]2

N N j j n N H e e h n n ωω---=-=-∑ (2-11) 根据式(2-2),有

101()()cos[(

)]2

N n N H h n n ωω-=-=-∑ (2-12a) 1()(

)2

N θωωτω-=-=- (2-12b ) 若()h n 呈奇对称, ()(1)h n h N n =--- (2-8b ) 其对称中心也在12

N τ-=处。此时有: 1

01()()sin[()]2

N n N H h n n ωω-=-=-∑ (2-13a ) 1()()222

N ππθωωτω-=-+=-+ (2-13b ) 即()h n 呈奇对称的滤波器相位与()h n 呈偶对称的相位产生了2π

+的相移。式(2-8)

和式(2-9)是FIR 数字滤波器具有线性相位的充要条件。即它要求FIR 数字滤波器的单位冲激响应()h n 的序列必须满足式(2-8)所表示的特定的对称性,其相位延迟

毕业设计论文 基于matlab 的FIR 滤波器的设计与仿真 等于()h n 长度的一半,即12

N -个采样周期。 2.2 FIR 滤波器的幅频特性

FIR 滤波器的幅频特性可以分为以下4种情况:

(1)()h n 为偶对称,且N 为奇数(Ⅰ型滤波器)

当()h n 为偶对称,且N 为奇数时,根据式(2-12)滤波器的幅频函数可以表示为:

(1)/2

0()()cos()N n H a n n ωω-==∑ (2-14) 其中1(0)(

)2N a h -=,1()2(),1,2,,22

N N a n h n n -=-=…。此时,()H ω对0,,2ωππ=呈偶对称。 (2)()h n 为偶对称,且N 为偶数(Ⅱ型滤波器)

当()h n 为偶对称,且N 为偶数时,根据式(2-12)滤波器的幅频函数可以表示为:

/21

1()()cos(())2N n H b n n ωω==-∑ (2-15) 其中:N ()2(

),1,2,22N b n h n n =-=…,。此时()H ω对ωπ=呈奇对称。但是()0H π=,故高通滤波器不能用这种方法实现。 (3)()h n 为奇对称,且N 为奇数(Ⅲ型滤波器)

当()h n 为奇对称,且为奇数时,根据式(2-13)滤波器的幅频函数可以表示为:

(1)/2

1()()sin()N n H c n n ωω-==∑ (2-16) 其中N-1()2(),1,2,,22

N c n h n n =-=…。此时()H ω对02ωππ=,,呈奇对称。但是当02ωππ=,,时,()0H ω=,所以低通、高通滤波器不能采用这种形式。

(4)()h n 为奇对称,且N 为偶数(Ⅳ型滤波器)

当()h n 为奇对称,且N 为偶数时,根据式(2-13)滤波器的幅频函数可表示为:

/2

1

1()()sin(())2N n H d n n ωω==-∑ (2-17)

FIR 数字滤波器的设计 毕业设计论文

其中:N ()2(

),1,2,,22N d n h n n =-=…。此时()H ω对02ωπ=,呈奇对称,对ωπ=呈偶对称。但是当0,2ωπ=时,()0H ω=,所以低通滤波器不能采用这种形式。

第3章 FIR 数字滤波器的设计

3.1 窗函数法设计FIR 数字滤波器

3.1.1 窗函数法

设计FIR 数字滤波器的最简单的方法是窗函数法,通常也称之为傅立叶级数法。FIR 数字滤波器的设计首先给出要求的理想滤波器的频率响应()jw d H e ,设计一个FIR 数字滤波器频率响应()jw H e ,去逼近理想的滤波器频率响应()jw d H e 。然而,窗函数法设计FIR 数字滤波器是在时域进行的,因而必须由理想的频率响应()jw d H e 推导出对应的单位取样响应()d h n ,再设计一个FIR 数字滤波器的单位取样响应()h n 去逼近()d h n 。设计过程如下:

*()()()()()I D T F F T w n D T F T j j d d H e h n h n H e ωω???→???→???→

(3-1) 加窗的作用是通过把理想滤波器的无限长脉冲响应()d h n 乘以窗函数()w n 来产生一个被截断的脉冲响应,即()()()d h n h n w n =。

MATLAB 工具箱提供的窗函数有:矩形窗(Rectangularwindow)、三角窗(Triangular window)、布拉克曼窗(Blackman= window)、汉宁窗(Hanningwindow)、海明窗(Hamming window)、凯塞窗(Kaiser window)、切比雪夫窗(Chebyshev window)。

3.1.2 数字低通滤波器的窗函数法设计

假设理想低通数字滤波器的频率响应()j d H e ω如图 3.1所示,其幅频特性为()1j d H e ω=。那么该滤波器的:

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,()0,j c j d c e H e ωτω

ωωπωω-?≤?=?≥>?? (3-2-1) 式中c ω表示截止频率(rad ),τ表示采样延迟。

ω

图3.1 理想低通数字滤波器幅频特性

由此可得理想数字低通滤波器的单位冲激响应()d h n 为:

sin[()]1

1

()()22()

c c j j n j j n c

d d n h n H

e e d e e d n πωωωωτωπωωτωωπππτ----===-??(3-2-2) 根据式(3-2-2),可知()d h n 为无限非因果序列,关于τ对称。为了从()d h n 得到一个因果线性相位的FIR 滤波器,必须利用有限长度N 的窗函数()N w n 对()d h n 进行截取,截取后的冲激响应函数()h n 可表示为:

()(),0,1,N 1()0d

N h n w n n h n =-?=??

…,,其他 (3-2-3) 此时()h n 为关于N 12

τ-=偶对称的有限因果序列。当N 为奇数时,所设计的FIR 数字高通滤波器为Ⅰ型滤波器;当N 为偶数时,为Ⅱ型滤波器。而()h n 表示的滤波器的频率特性为:

()1

H()()()2j j j d e H e W e d πωθωθπθπ--=? (3-2-4)

H()j e ω是否能够很好地逼近()j d H e θ取决于窗函数的频率特性()j W e ω。若将理想滤波器的频率响应写成:

FIR 数字滤波器的设计 毕业设计论文

1()2()()N j j d d H e H e

ωωω--= (3-2-5)

其中幅度频率特性: 1,()0,c d c H ωωωωωπ?≤?=?<≤??

(3-2-6) 此时,()h n 滤波器的频率特性可表述为:

111()()()()22211

()()()()()22N N N j j j j d R d R H e H e W e d e H W d ππθωθωωππθωθθθωθθππ---------=-=-??(3-2-7)

由此可以得到所设计的滤波器的幅度频率特性为:

1()()()()2j d R H H e H W d πωπωθωθθπ-==-? (3-2-8)

由式(3-2-8)可见,对实际FIR 滤波器()H ω有影响的只是窗函数的幅度频率特性()R W ω。实际中的FIR 滤波器的幅度频率特性,是理想低通滤波器的幅度频率特性和窗函数的幅度频率特性的复卷积。复卷积给()H ω带来过冲和波动,所以加窗函数后,对滤波器的理想特性的影响有以下几点:

(1)()d H ω在截止频率的间断点变成了连续的曲线,使得()H ω出现了一个过渡带,它的宽度等于窗函数的主瓣宽度。由此可知,如果窗函数的主瓣越宽,过渡带就越宽。

(2)由于窗函数旁瓣的影响,使得滤波器的幅度频率特性出现了波动,波动的幅度取决于旁瓣的相对幅度。旁瓣范围的面积越大,通带波动和阻带的波动就越大,也就是说阻带的衰减越小。而波动的多少,取决于旁瓣的多少。

(3)增加窗函数的长度,只能减少窗函数的幅度频率特性()W ω的主瓣宽度,而不能减少主瓣和旁瓣的相对值,该值取决于窗函数的形状,即增加截取函数的长度N 只能相应的减少过渡带,而不能改变滤波器的波动程度。

为了满足工程上的需要,可以通过改变窗函数的形状来改善滤波器的幅度频率特性,而窗函数的选择原则是:

(1) 具有较低的旁瓣幅度,尤其是第一旁瓣的幅度;

(2) 旁瓣的幅度下降的速率要快,以利用增加阻带的衰减;

(3) 主瓣的宽度要窄,这样可以得到比较窄的过渡带。

通常上述的几点难以同时满足。当选用主瓣宽度较窄时,虽然能够得到比较陡峭,

毕业设计论文基于matlab的FIR滤波器的设计与仿真

但是通带和阻带的波动明显增加。当选用比较小的旁瓣幅度时,虽然能够得到比较平坦和匀滑的幅度频率响应,但是过渡带将加宽,因此实际中选用的窗函数往往是它们的折中。在保证主瓣的宽度达到一定要求的条件下,适当牺牲主瓣的宽度来换取旁瓣的波动减少。以上是从幅度频率特性设计方面对窗函数提出的要求,实际中设计FIR 数字滤波器往往要求是线性相位的,因此要求()

w n

w n满足线性相位的条件,即要求()满足:

=--(3-2-9)

()(1)

w n w N n

所以窗函数不仅有截短的作用,而且能够起到平滑的作用,在很多领域得到了应用。Ⅰ、Ⅱ型理想低通滤波器的单位冲激响应()

h n计算的MATLAB实现如例程3-1.1所示。

d

h n计算

例程3-1.1 Ⅰ、Ⅱ型理想低通滤波器的单位冲激响应()

d

function hd=ideal_lp(Wc,N)

%compute the ideal lowpass fiter unit pulse respondence hd(n)

%wc:cutoff frequency

%N:window length

%hd:unit pulse respondence

alpha=(N-1)/2;

n=0:1:N-1;

m=n-alpha+eps;

hd=sin(Wc*m)./(pi*m);

现举例说明:

根据下列技术指标,设计一个FIR数字低通滤波器:

Wp=0.3Pi, Ws=0.6Pi, Ap=0.25db, As=50db

选择海明窗来设计该滤波器,确定单位冲激响应,绘出所设计滤波器的幅度响应。解:matlab程序实现如下:

%use hamming window to design lowpass digital filter

clear all;

Wp=0.3*pi;

Ws=0.6*pi;

tr_width=Ws-Wp; %过渡带宽度

N=ceil(6.6*pi/tr_width)+1 %滤波器长度

n=0:1:N-1;

FIR数字滤波器的设计毕业设计论文

Wc=(Ws+Wp)/2; %理想低通滤波器的截止频率

hd=ideal_lp(Wc,N); %理想低通滤波器的单位冲激响应

w_ham=(hamming(N))’; %海明窗

h=hd.*w_ham; %截取得到实际的单位脉冲响应[db,mag,pha,w]=freqz_m2(h,[1]); %计算实际滤波器的幅度响应delta_w=2*pi/1000;

Ap=-(min(db(1:1:Wp/delta_w+1))) %实际通带纹波

As=-round(max(db(Ws/delta_w+1:1:501))) %实际阻带纹波

subplot(221)

stem(n,hd)

title(‘理想单位脉冲响应hd(n)’)

subplot(222)

stem(n,w_ham)

title(‘海明窗w(n)’)

subplot(223)

stem(n,h)

title(‘实际单位脉冲响应hd(n)’)

subplot(224)

plot(w/pi,db)

title(‘幅度响应(dB)’)

axis([0,1,-100,10])

运行后,有如下结果:

N =

23

Ap =

0.0448

As =

53

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010203040

理想单位脉冲响应hd(n)010203040

海明窗w(n)

0102030

40

实际单位脉冲响应hd(n)00.51

-100-50

幅度响应(dB)

图3.2 II 型FIR 数字低通滤波器冲激响应与幅度响应

其中freqz_m2.m 文件内容如下:

function [db,mag,pha,w]=freqz_m2(b,a)

% db 为相对振幅

% mag 为绝对振幅

% pha 为相位响应

% w 为采样频率

% b 为Ha(z)的分子多项式系数(对FIR,b=h )

% a 为Ha(z)的分母多项式系数(对FIR,a=1)

[h,w]=freqz(b,a,1000,'whole');

h=(h(1:1:501))';

w=(w(1:1:501))';

mag=abs(h);

db=20*log10((mag+eps)/max(mag));

pha=angle(h);

FIR数字滤波器的设计毕业设计论文3.1.3 基于窗函数法直接设计FIR数字滤波器

基于窗函数法直接设计FIR数字滤波器的matlab函数主要有fir1、fir2和kaiserord 三种函数,下面举例介绍fir1函数的应用。

fir1函数

在matlab中,fir1函数实现了加窗线性相位FIR数字滤波器的经典设计方法,主要用于常用的标准通带滤波器的设计,包括低通、高通、带通、和带阻数字滤波器。fir1函数的具体算法是:如果窗函数为w(n),理想滤波器的单位脉冲响应为h(n),则所

设计的滤波器的系数为b(n)=w(n)h(n),其中1≤n≤N。fir1函数的具体语法形式如下:●b=fir1(N,Wn)

●b=fir1(N,Wn,‘ftype’)

●b=fir1(N,Wn,window)

●b=fir1(N,Wn,‘ftype’,window)

●b=fir1(…,‘normalization’)

b=fir1(N,Wn)返回向量b,包含N+1个元素,是滤波器传递函数的N+1个系数组成的向量;参数N为滤波器的阶次;Wn为归一化的截止频率,在区间[0 1]上取值,当Wn=1时,它对应于信号采样频率的一半,如果Wn是一个含有两个数的向量,即Wn=[w1 w2],则fir1函数返回一个N阶带通滤波器的系数,带通滤波器的的通带范围为:w1

b=fir1(N,Wn,’ftype’)可以通过改变参数ftype的值设计高通或带阻滤波器。

●当’ftype’=’high’时,设计得到的滤波器是截止频率为Wn的高通滤波器;

●当’ftype’=’stop’时,设计带阻滤波器,频带为Wn=[w1 w2];

●当’ftype’=’DC-0’时,设计多带滤波器,并使其第一带为通带;

●当’ftype’=’DC-1’时,设计多带滤波器,并使其第一带为阻带。

b=fir1(N,Wn,window)的参数window必须是一个长度为N+1的列向量,如果没用指定窗函数,fir1将采用默认的海明窗函数。

举例说明:matlab中的chirp.mat文件中存储信号y的数据,该信号的大部分能量集中在Fs/4(或二分之一奈奎斯特)以上,试设计一个34阶的FIR高通滤波器,滤除频率低于Fs/4的信号成分,其中滤波器的截止频率为0.48(归一化后的频率)、阻带衰减为30db、滤波器窗采用切比雪夫窗。

解:matlab程序实现如下:

%to test fir1 and to design highpass FIR filter

clear all;

load chirp %loads y and Fs

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window=chebwin(35,30);

b=fir1(34,0.48,'high',window);

yfilt=filter(b,1,y);

[Py,fy]=pburg(y,10,512,Fs); %滤波器前信号频谱

[Pyfilt,fyfilt]=pburg(yfilt,10,512,Fs); %滤波器后信号频谱 plot(fy,10*log10(Py),'.',fyfilt,10*log10(Pyfilt));

grid on

ylabel('幅度(dB )');

xlabel('频率(Hz )');

legend('滤波前的线性调频信号','滤波后的线性调频信号')

05001000150020002500

3000350040004500

幅度(d B )频率(Hz )

图3.3 滤波器前后的频谱比较

3.2 FIR 滤波器的最优化设计法

最优化设计方法是指采用最优化准则来设计的方法。在FIR DF 的最优化设计中,最优化准则有均方误差最小化准则和等波纹切比雪夫逼近(也称最大误差最小化)准则两种。实际设计中,只有采用窗函数法中的矩形窗才能满足前一种最优化准则,但由

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