武汉市武昌区2012届高三5月调考题(理数da

武汉市武昌区2012届高三年级五月调研考试

理 科 数 学 试 卷

本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。 1.已知i 是虚数单位，复数i

i i z -+++-=

12

221，则=z A.1 B. 2 C. 5 D. 22

2．设B A ,是非空集合，定义A B ?={B A x x ∈且B A x ?}，己知集合{}

02A x x =<<，

{}0≥=y y B ，则A B ?等于

A ．{}()+∞,20

B ．[)[)+∞,21,0

C ．()()+∞,21,0

D ．{}[)+∞,20 3．下列选项中，说法正确的是

A ．命题“0,0200≤-∈?x x x R ”的否定是“0,2

>-∈?x x x R ” B ．命题“p q ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件 C ．命题“若2

2

am bm ≤，则a b ≤”是假命题

D ．命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题

4．等边三角形ABC 的边长为1，如果,,,BC a CA b AB c ===

那么a b b c c a ?-?+? 等于

A ．12-

B ．12

C ．32-

D ．32

5．已知随机变量X 服从正态分布()2

,σμN

，且()9544.022=+<<-σμσμX P ，

()6826.0=+<<-σμσμX P ，若1,4==σμ, 则()=<<65X P

A ．0.1358

B ．0.1359

C ．0.2716

D ．0.2718

6．已知ABC ?，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且 sin ac A BA BC

，则

A ．ABC ?是钝角三角形

B ．AB

C ?是锐角三角形

C ．ABC ?可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形

D ．无法判断

7．如图，直线l 和圆C ，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方

向匀速转动（转动角度不超过

90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是

(,)x y 使目标函数my x z +=取得最大值，则=m

A ． 4

B ．2-

C ．12-

或1

4

D ．2-或4 9．设12A A 、分别为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右顶点，若在椭圆上存在异于12A A 、的点P ，使

得20PO PA ?=

，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是

A ． (

2 B ．[2 C ． (0)2， D ．(02

， 10．已知函数 2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+???+，2342013

()12342013

x x x x g x x =-+-+-???-，设函数

()(3)(4)F x f x g x =+?-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题） 11．下图给出的是计算1111

24618

++++ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________.

t

l

12. 一个空间几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积为 .

13. 已知lg 8(2)x x x -的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，则实数x 的值为 . 14. 为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分为()N ∈≥n n n ,3等份种植红、黄、蓝三色不同的花. 要求相邻两部分种植不同颜色的花. 如图①，圆环分成的3等份分别为1a ，2a ，3a ，有6种不同的种植方法.

（1）如图②，圆环分成的4等份分别为 1a ，2a ，3a ，4a ，有 种不同的种植方法； （2）如图③，圆环分成的()N ∈≥n n n ,3等份分别为1a ，2a ，3a ，,n a , 有 种不同的种植

方法.

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后

的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果记分.）

15．（选修4—1：几何证明选讲）

如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分 线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，

OE 交AD 于点F .若35AC AB =，则FD AF

的值为 .

16．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,两种坐标

A B C D E

F O

①

②

③

……

系取相同的单位长度. 已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为

???

???

?

+-=+-=.2

24,

22

2t y t x 直线l 与曲线C 分别交于M N 、.若||||||PM MN PN 、、成等比数列,则实数a 的值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知函数()??

? ?

?

-

-=672sin cos 22πx x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合； （Ⅱ）已知ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3

(),2

f A = 2.b c +=求实数a 的最小值. 18．（本小题满分12分）

在平面xoy 内，不等式2

2

4x y +≤确定的平面区域为U ，不等式组20

30x y x y -≥??+≥?

确定的平面区域为V .

（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点．．”. 在区域U 任取3个整点．．，求这些整点．．中恰有2个整点．．

在区域V 的概率；

（Ⅱ）在区域U 每次任取1个点．，连续取3次，得到3个点．，记这3个点．

在区域V 的个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）

已知数列{}n a ，{}n b 满足：31=a ，当2≥n 时，n a a n n 41=+-；对于任意的正整数n ， ++212b b

n n n na b =+-12．设数列{}n b 的前n 项和为n S .

（Ⅰ）计算2a 、3a ，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求满足1413<

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA AD =，

AB =，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且

).0(>==λλFA

BF

ED PE （Ⅰ）当1λ=时，证明DF ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）是否存在实数λ，使异面直线EF 与CD 所成的角为

60？若存在，试求出λ的值；若不存在，

请说明理由. 21．（本小题满分13分）

如图，已知抛物线2:4C y x =，过点(1,2)A 作抛物线C 的弦AP ,AQ ． （Ⅰ）若AP AQ ⊥,证明直线PQ 过定点，并求出定点的坐标；

（Ⅱ）假设直线PQ 过点(5,2)T -，请问是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ? 若存在，求出

APQ ?的个数？如果不存在，请说明理由．

22．（本小题满分14分）

已知函数()ln (0)f x x p =

>.

（Ⅰ）若函数()f x 在定义域内为增函数，求实数p 的取值范围； （Ⅱ）当*

∈N n

时，试判断

1

n

k =与2ln(1)n +的大小关系，并证明你的结论； (Ⅲ) 当2≥n 且*

∈N n 时，证明：2

1ln ln n

k n k =>∑.

A B

C

D

P

E

F

武昌区12届高三5月调考数学参考答案

1.C

2.D

3.C

4.A

5.B

6.A

7.D

8.D

9.A 10.C

11．9?i > 12．8π 13．1110

x x ==或 14．18 ；322(1)n n --?-(3n ≥且)n N ∈ 15．

5

8

16．1 17. 解：（Ⅰ）2

777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666

f x x x x x x πππ=--=+--

11+

2cos 21+sin(2)226

x x x π

=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2.要使)(x f 取最大值，则sin(2)1,6

x π

+

=

22()6

2

x k k Z π

π

π∴+

=+

∈ ，解得,6

x k k Z π

π=+

∈.

故x 的取值集合为,6x x k k Z π

π?

?

=+

∈???

?

. ……………………………………………（6分） （Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π

=+

+=

，化简得 1

sin(2).62

A π+=

()π,0∈A ，132(,)666A πππ∴+∈， ∴ 5266

A ππ

+=， ∴.3π=A

在ABC ?中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3

cos

222

22-+=-+=π

.

由2=+c b ，知1)2

(

2

=+≤c b bc ，即12≥a .∴当1==c b 时，实数a 取最小值.1………（12分） 18.解：（Ⅰ）依题可知平面区域U 的整点为：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(2,0),(1,1)±±±±±±共有13个，上述整点在平面区域V 的为：(0,0),(1,0),(2,0)共有3个，

∴21

3103

1315

143

C C P C ==. ……………………………………………………………（4分） （Ⅱ）依题可得，平面区域U 的面积为224ππ?=，平面区域V 与平面区域U 相交部分的面积为

21282ππ??=.（设扇形区域中心角为α，则11

23tan 1,11123α+

==-?得4πα=，也可用向量的夹角公式求α）

.在区域U 任取1个点，则该点在区域V 的概率为

1

88

ππ=，随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3. 31343(0)(1)8512P X ==-=， 1

2311147(1)()(1)88512P X C ==?-=，

2231121(2)()(1)88512P X C ==?-=， 3

3311(3)()8512

P X C ==?=，

∴X 的分布列为

∴X 的数学期望：()01235125125125128

E X =?+?+?+?=. ………………………（12分） （或者：X ～??

?

??81,3B ，故13()388

E X np ==?

=）. 19. 解：（Ⅰ）在n a a n n 41=+-中，取2=n ，得821=+a a ，又31=a ，故.52=a 同样取3=n ，可得.73=a

由n a a n n 41=+-及)1(41+=++n a a n n 两式相减，可得411=--+n n a a ， 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而212=-a a ，

故{}n a 是公差为2的等差数列，∴.12+=n a n ……………………………………………… （6分） (注：猜想12+=n a n 而未能证明的扣2分；用数学归纳法证明不扣分.) （Ⅱ）在n n n na b b b =+++-12122 中，令1=n ，得.311==a b

由()111211222++-+=++++n n n n n a n b b b b 与11222n n n b b b na -+++=L (2)n ≥两式相减，可得

34)12()32)(1()1(211+=+-++=-+=++n n n n n na a n b n n n n ，

化简，得n n n b 2341+=

+. 即当2≥n 时，1

21

4--=n n

n b . 经检验31=b 也符合该式，所以{}n b 的通项公式为12

1

4--=n n n b .

∴()1

)2

1(142173-?-++?+=n n n S .

()()n n n n n S )2

1(14)21(54)21(72132112-+?-++?+?=- . 两式相减，得()n

n n n S )2

1(14])21()21(21[432112--++++=- .

利用等比数列求和公式并化简,得1

2

7

414-+-=n n n S . 可见，对+∈?N n ，14

3114,1316

271465>-=<-=S S ， 注意到数列{}n b 的各项为正，故n S 单调递增，

所以满足1413<

.,6N ∈≥n n n ……………………………… （12分） 20.（ 证明：（Ⅰ）当1λ=时，则F 为AB 的中点.又AB = ，12

AF AB =

∴在FAD Rt ?与ACD Rt ?Rt ACD 中，22

2

tan ===

∠AD AD AF

AD

AFD ，

22tan ===

∠AD

AD

AD CD

CAD ，CAD AFD ∠=∠，∴AC DF ⊥. 又∵PA ⊥平面ABCD ，DF ?平面ABCD ，

∴PA DF ⊥. ∴DF ⊥平面PAC …………………………… （6分） （Ⅱ）设1PA AD ==, 则2==PD AB .连结AE ，则⊥FA 面APD .

∴⊥FA AE .∵

)0(>==λλFA BF ED PE ，∴211λ+=AF ，21λ

λ

+=PE .

在APE ?中，22202cos 45AE PA PE PA PE =+-

?2121=+-?， 设异面直线EF 与CD 所成的角为060，则060=∠AFE ， ∴

060tan =AF

AE

, ∴223AF AE =.

∴21212

+-?223(1)λ=+.解得5=λ.

∴存在实数5=λ，使异面直线EF 与CD 所成的角为 60. ……………………………… （12分）

方法二：（坐标法）

以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

（Ⅰ）当1λ=时，则F 为AB 的中点，设1PA AD ==, 则2==PD AB ，则

(0,0,0A ）

，C ），(0,0,1P ）

，(0,1,0D ）

,(2

F ）

. (1,0)2

DF ∴=-

,,0)AC = ，(0,0,1)AP = .

0DF AC ?= ，0DF AP ?= ,,DF AC ∴⊥ DF AP ⊥ .

∴DF ⊥平面PAC . ………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）设1PA AD ==, 则2=

=PD AB ，

∴(0,0,0A ）

，C ），(0,0,1P ）,(0,1,0D ）. ∵

(0)PE BF

ED FA

λλ==>, ∴

(

,0,01

F λ+）

, 1(0,,11E λλλ++）

. 1

(,11FE λλλ

∴=++ ）

,(CD = .

2

,1FE CD λ∴?=+ 依题意，有1=cos ,2FE CD FE CD FE CD

?<>=

，

∵ 0λ>，∴

12= ∴λ=.

∴存在实数5=λ使异面直线EF 与CD 所成的角为 60. ……………………………… （12分） 21. 证明（Ⅰ）设直线PQ 的方程为x my n =+，点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y . 由2

4x my n

y x

=+??

=?消x ，得2440y my n --=.

由0>?，得20m n +>,124,y y m +=124y y n ?=-.

∵AP AQ ⊥，∴0AP AQ ?=

，∴1212(1)(1)(2)(2)0x x y y --+--=.

22

12

12,44

y y x x == ∴1212(2)(2)[(2)(2)16]0y y y y --+++=，

∴12(2)(2)0y y --=或12(2)(2)160y y +++=.

∴ 21n m =-或25n m =+，∵0>?恒成立. ∴25n m =+.

∴直线PQ 的方程为 5(2)x m y -=+ ，∴直线PQ 过定点(5,2)-. ………………………………（6分） （Ⅱ）假设存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ，由第（Ⅰ）问可知，将n 用25m +代换得 直线PQ 的方程为25x my m =++.设点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y .

由2254x my m y x

=++??=?消x ，得248200y my m ---=. ∴ 124,y y m += 12820y y m ?=--.∵PQ 的中点坐标为1212

(,)22x x y y ++，即22

1212(,)82

y y y y ++， ∵

221212

()22258

y y y y m m +-=++， ∴PQ 的中点坐标为2(225,2)m m m ++. 由已知得

2

22

2251

m m m m -=-++-，即32310m m m ++-=． 设3

2

()31g m m m m =++-，则2

()3230g m m m '=++>，

()g m ∴在R 上是增函数.又(0)10,g =-<(1)40g =>，()g m ∴在(0,1)内有一个零点.

函数()g m 在R 上有且只有一个零点，即方程32

310m m m ++-=在R 上有唯一实根．

所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．……………………………………………………… （13分）

22. 解：（Ⅰ）0p >

，函数()ln f x x =的定义域为[1,)+∞.

1

()f x x

'=

-.

1x ≥在(1,)x ∈+∞恒成立，2

4(1)

x p x -∴≥在(1,)x ∈+∞恒成立. 224(1)1114[()]124

x x x -=--+≤ ，

1p ∴≥，∴p 的取值范围为[1,)+∞. ……………………………………………………… （4分） （Ⅱ）当*

n N ∈

时，

1

n

k =2ln(1)n >+. 证明：当*n N ∈时，欲证

1

n

k =2ln(1)n >+

*2[ln(1)ln ]()k k k N >+-∈. 由（Ⅰ）可知：取1p =，则()(1)(1)f x f x ≥≥，

而()01=f

，ln x ≥（当1x =时，等号成立）. 用21()x x +代换x

21ln()(0)x x x

+>>

2[ln(1)ln ](0)x x x >+->，

*2[ln(1)ln ]()k k k N >+-∈. 在上式中分别取1,2,3,,k n =

，并将同向不等式相加，得1

n

k k

=>∑

2ln(1)n +. ∴当*

n N ∈

时，

1

n

k k =2ln(1)n >+. ………………………………………… （9分） (Ⅲ)由（Ⅱ）可知x x ln 1≥-（1x =时，等号成立）.

而当2x ≥

时：1x - 当2x ≥时，1ln x x ->.

设()1ln ,(0,2)g x x x x =--∈，则11

()1x g x x x

-'=-=，

∴()g x 在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，

∴()(1)0g x g ≥=，即1ln x x -≥在(0,2)x ∈时恒成立.

故当(0,)x ∈+∞时，1ln x x -≥（当且仅当1x =时，等号成立）. …… ① 用x 代换1x -得： ln(1)x x ≥+（当且仅当0x =时，等号成立）. …… ②

当*

2,k k N ≥∈时，由①得1ln 0k k ->>，11ln 1k k ∴>-. 当*

2,k k N ≥∈时，由②得 ln(1)k k >+，用11k -代换k ，得

11ln(1)11

k k >+--. ∴当*

2,k k N ≥∈时，11ln(1)ln 1k k >+-，即1ln ln(1)ln k k k

>--. 在上式中分别取2,3,4,,k n = ，并将同向不等式相加，得2

1

ln ln1ln n

k n k =>-∑.

故当2≥n 且*

n N ∈时，21ln ln n

k n k

=>∑. …………………………………………………（14分）