[原创]2011届高考数学二轮复习资料(苏教版)平面向量)

专题6 平面向量

【课标要求】

【典型例题】

例1 给出下列命题：

①若向量a r 与b r 同向，且|a r |＞|b r |，则a r ＞b r ．

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =uur uuu r

是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件．

③向量a r ∥b r ，则向量a r 与b r

方向相同或相反．

④向量AB uur 与向量CD uu u r

共线，则A,B,C,D 四点在一条直线上．

⑤起点不同，方向与模相同的几个向量是相等向量． 其中正确的序号是_________ ．

解析：①不正确．向量与数量不同，它由大小和方向两个要素确定，两个向量不能比较大小．

②正确．∵ AB DC =uur uuu r ，∴ ||||AB DC =uu r uuu r 且//AB DC uur uuu r ，又

A ，

B ，

C ，

D 是不共线的四点，

∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC uur uuu r

且||||AB DC =uu r uuu r ，因此，AB DC =uur uuu r ．

③不正确．∵ a r 与b r 若有一个为0r

，则其方向不确定．

④不正确．向量AB uur 与向量CD uu u r 共线，则向量AB uur 与向量CD uu u r

所在的直线平行

或重合，因此A,B,C,D 四点不一定在一条直线上．

⑤正确．只要大小与方向相同则两向量相等，与其起点位置无关． 综上所述，正确命题的序号是②⑤．

例 2.在ABC △中，A B c =u u r r ，AC b =uu u r r

．若点D 满足2B D D C =u uu r u u u r ，则AD =uuu r

_______

解析：由2BD DC =uu u r uuu r 可得2()AD AB AC AD -=-uu u r uu r uu u r uu u r ,21213333

AD AC AB a b =+=+uuu r uu u r uur r r

例3已知12,e e u r u r

是不共线的非零向量，若1212,2a e e b e e λλ=+=--r u r u r r u r u r ，且,a b r r

共线，则__λ=

解析：因为,a b r r

共线，所以可设a k b =?r r ，则1212

1(2)2e e k e e k e k e λλλ+=--=--u r u r u r u r u r u r

212k k λλλ-=?∴∴=±

?-=? 例4. 已知(2,1),(,3)a b λ=-=r r

. 若a r 与b r 的夹

角为90o

,则λ的取值范围是________. 若a r 与b r 的夹角为钝角,则λ的取值范围是________. 解析：a r 与b r 的夹角为90o

，则0a b ?=r r ，

230,3/2λλ∴-==

a r 与

b r 的夹角为钝角，则0a b ?

，且,a b r r 不共 线，3/2,λ∴<又当,a b r r 共线时，6λ=-，

因此λ的取值范围是

3/2λλ<≠,且-6

例5已知

1

a b c ===r r r

，且两两夹角为

120?

，则

()_____a b c -=r r r

g ，若1ka b c ++>r r r ，则k 的取值范围是

___________.

解析：

()cos120

a b c a c b c a c -=?-?=?o

r r r r r r r r r g —

cos120b c ?o r r =0；

若

1

ka b c ++>r r r ，则

2

1k a

b

c ++>r r

r

，

即

222

2

2221k a b c k a b k a c b +++

?+?+?>

r r r r u r

u r r r

， 化简得

2

20,20k k k k ->∴><或

例 6. 已知ABC ?的重心为G ，若,,AB m AC n ==uu r u r uu u r r

，则CG uu u r

=__________

因为G 是

ABC ?的

解析：如图重心，所以

22()33CG CE AE AC ==-uu u r uu r uur uu u r =

211212()323333AB AC AB AC m n -=-=-uur uu u r uur uu u

r u r r 例7、设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-r r

r

（1）若a r 与2b c -r r

垂直，求tan()αβ+的值；

（2）求||b c +r r

的最大值;

（3）若tan tan 16αβ=，求证：a r //b r

解析：（1）由a r 与2b c -r r 垂直，(2)20a b c a b a c ?-=?-?=r r r r r r r ， 即4sin()8cos()0,tan()2

αβαβαβ+-+=+=；

（2）(sin cos ,4cos 4sin )b c ββββ+=+-r r

2222

sin 2sin cos cos 16cos 32cos sin 16sin b c βββββ

βββ

+=+++-+r r

=1730sin cos 1715sin 2,βββ-=-最大值为32，所以||b c +r r

的最大值为（3）由tan tan 16αβ= 得

sin sin 16cos cos αβαβ=，即

4cos 4cos sin sin 0,αβαβ?-=，所以//a b r r

例

8、如图，平面四边形ABCD 中，AB=13，AC=10，AD=5，

3cos ,5

DAC AB AC ∠=?uur uu u

r =120．

（1）求cos ∠BAD ；

（2）设AC x AB y AD x y =?+?，求、uu u r uu r uu u r 的值．

解析：（1）设

∠，

120123

cos ,cos 13013

5||||AB AC AB AC αβ?====

?uur uu u r uur uu u r 54

sin ,sin ,135

αβ∴==

cos cos()cos cos BAD αβαβ

∴∠=+=1235416

sin sin 13513565

αβ-=?-?=．

（2）由AC x AB y AD =?+?得uu u r uu r uu u r

22:AC AB xAB y AD AB AC AD xAB AD y AD ??=+?????=?+?uu u r uur uur uuu r uur uu u r uuu r uur uuu r uuu r 12016916301625x y x y

=+?∴?

=+?解得：4050

,6363x y ==． 例9、已知两点()()1,0,1,0M N -，且点P 使MP MN ?uuu r uuu r

，PM PN ?uuu r uu u r ，NM NP ?uuu r uur

成公差小于零的等差数列 1）点P 的轨迹是什么曲线？

（2）若点P 坐标为00

(,)x y ，记θ为PM uuu r 与PN r

的夹角，求tan θ.

解析：（1）设

(,),(1,0),(1,0)P x y M N -由得 (1,),(1,),(2,0)

PM MP x y PN NP x y MN

NM =-=---=-=--=-=uuu r uuu r uu u r uur

uuu r uuu r

22

2(1),1,

2(1)

MP MN x PM PN x y NM NP x ∴?=+?=+-?=-uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uur

。 于是，,,MP MN PM PN NM NP ???uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uur

是公差小于零的等差数列

等价于

22

11[2(1)2(1)]

,22(1)2(1)0x y x x x x ?+-=++-??

?--+

3

x y x ?+=?

>?, 所以，点P

为半径的右半圆。 （2）点P 的坐标为00

(,)x y 。

22

00121

cos PM PN x y PM PN PM PN PM PN

θ?=+-=?=?==?∴==?uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r

00

01cos 1,0,23sin sin tan cos x y πθθθθ

θθ

<≤

∴<≤≤<=

=

=

==

=Q

例10、已知,i j r r 是x,y 轴正方向的单位向量，设a r

=(x i yj -+r r , b r

=(x i yj ++r r ,且满足|a r |+|b r

|=4.动点P 的坐标为(,)x y

(1) 求点P(x,y)的轨迹C 的方程.

（2）设

12,F F

的坐标分别为(和，若P 满足

122

3

PF PF ?=uuu r uuu r ,求12PF F ?的面积。

解析：(1)Q a r

=(x i yj -+r r , |b r

|=(x i yj ++r r ,且|a r |+|b r |=4.

∴ 点P(x,y)到点

(,0)，

(-,0)的距离这和为4，故点P 的轨迹方程为

2

214

x y += （2）由12

23

PF PF ?=uuu r uuu r ,可得

2

()()

3

x y x y

+?-=，

又

2

21

4

x

y

+=，可解得

1

3

y=

，12

12

111

2233 PF F

S F F y

?

∴=?=??=

uuur