[压轴]高考数学复习导数大题_附详细解答
2012高考压轴导数大题
例1.已知函数32
11()32
f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．
（I ）求24a b -的最大值；
（II ）当2
48a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．
例3已知函数()θθcos 16
3cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤．
（1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；
（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
例4．已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0). 求：（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值.
例5设3=x 是函数()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间；
（Ⅱ）设0>a ，()x e a x g ??
? ?
?+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立，
求a 的取值范围
例6已知函数32
1()(2)13
f x ax bx b x =-+-+
在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．
（1）证明0a >；
（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。
1. 已知函数
2
1()22f x ax x =
+，()g x lnx =.
（Ⅰ）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数，求a 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1
(,)
e e 内有且只
有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 2. 如果
()
0x f 是函数()x f 的一个极值，称点()()00
,x f x 是函数()x f 的一个极值点.已
知函数()()()00≠≠-=a x e b ax x f x
a 且
（1）若函数()x f 总存在有两个极值点B A ,，求b a ,所满足的关系；
（2）若函数()x f 有两个极值点B A ,，且存在R a ∈，求B A ,在不等式1
区域内时实数b 的范围.（3）若函数()x f 恰有一个极值点A ，且存在R a ∈，使A 在 不等式?? ?< y x 1 表示的区域内，证明：10<≤b . 3 已知函数3221 ()ln ,()3(,,R) 32f x x x g x x ax bx c a b c ==-+-+∈. (1)若函数()()()h x f x g x ''=-是其定义域上的增函数，求实数a 的取值范围； (2)若()g x 是奇函数，且()g x 的极大值是g ，求函数()g x 在区间[1,]m -上的最 大值； (3)证明：当0x >时， 12 ()1 x f x e ex '>-+. 4已知实数a 满足0＜a ≤2，a ≠1，设函数f (x )＝13 x 3－12a +x 2 ＋ax ． (Ⅰ) 当a ＝2时，求f (x )的极小值； (Ⅱ) 若函数g (x )＝x 3 ＋bx 2 －(2b ＋4)x ＋ln x (b ∈R )的极小值点与f (x )的极小值点相同． 求证：g (x )的极大值小于等于5/4 例1解（I ）因为函数32 11()32 f x x ax bx = ++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <） ，则21x x -= 2104x x <-≤．于是 04，20416a b <-≤，且当11x =-， 23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故2 4a b -的最大值是16． （II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是 (1)(1)(1)y f f x '-=-，即21 (1)32 y a b x a =++- -， 因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21 ()()[(1)]32 g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点． 而()g x 321121 (1)3232 x ax bx a b x a = ++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++． 若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点． 所以11a =--，即2a =-，又由2 48a b -=，得1b =-，故3 21()3 f x x x x = --． 解法二：同解法一得21 ()()[(1)]32 g x f x a b x a =-++- - 2133 (1)[(1)(2)]322 a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）． 当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ? ??? =++ -+ ? ????? ，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102 a h =?++ =， 所以2a =-，又由2 48a b -=，得1b =-，故3 21()3 f x x x x = --． 例3解（Ⅰ）当cos 0θ=时，3()4f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数，故无极值. （Ⅱ）2'()126cos f x x x θ=-，令'()0f x =，得12cos 0,2 x x θ==. 由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论. ①当cos 0θ>时，随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表： 因此，函数()f x 在2x =处取得极小值f()2，且3cos 13()cos 2416f θθθ=-+. 要使cos ()02f θ>，必有213cos (cos )044θθ--> ，可得0cos θ<<. 由于0cos θ≤，故3116 2 2 6 ππππθθ<<<<或. ②当时cos 0θ<，随x 的变化，'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表： 因此，函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ，且3(0)cos .16 f θ= 若(0)0f >，则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零. 综上，要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零，参数θ的取值范围为 311(,)(,)6226 ππππ?. 例4解法一：（Ⅰ）由图像可知，在(),1-∞上 ()'0f x >， 在()1,2上()'0f x <，在()2,+∞上 ()'0f x >, 故()f x 在∞∞（-，1），（2，+）上递增，在(1,2)上递减， 因此()f x 在1x =处取得极大值，所以01x = （Ⅱ）'2()32,f x ax bx c =++ 由'''f f f （1）=0，（2）＝0，（1）＝5， 得320,1240,5,a b c a b c a b c ++=??++=? ?++=? 解得2,9,12.a b c ==-= 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+ 又'2()32,f x ax bx c =++ 所以3,,23 2 m a b m c m ==-= 32| 3()2,32 m f x x mx mx = -+ 由(1)5f =，即325,3 2 m m m -+=得6,m = 所以2,9,12a b c ==-= 例5解（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－ x , 由f `(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－ 3＝0，即得b ＝－3－2a ， 则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3 －x ＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－ x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－ x . 令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a >－4时，x 2<3＝x 1，则 在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a ＋13）e － 1>0，f (3)＝a ＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6]. 又225()()4 x g x a e =+在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋4 25，（a 2＋4 25）e 4]， 由于（a 2 ＋4 25）－（a ＋6）＝a 2 －a ＋41＝（21-a ）2≥0，所以只须仅须 （a 2＋4