证明数列求和不等式的两种放缩技巧
证明数列求和不等式的两种放缩技巧
江苏省包场高级中学张巧凤226151 数列求和不等式的证明，历来是高考数学命题的热点与重点，并且往往出现在压轴题的位置上，扮演着调整试卷区分度的角色。笔者发现对这类问题的处理方法中，以放缩法较为常用，而学生在运用放缩法时普遍感到难以驾驭，本文重点谈谈通项放缩与舍项放缩两种放缩技巧在证明数列求和不等式中的应用。
1、通项放缩，转化为可以求和的数列
1、1放缩通项，利用等差数列求和
例1、已知n N*
∈,
n
2
2
（+1）
＜n n2n1
22
+
=
+（+1）
＜
3521
222
n+
???+++???+
＜
=
222
221(1)
222
n n n n n
++++
=
＜
1、2放缩通项，利用等比数列求和
例2、数列{}n a中，n n
n
a,a a
2n
1+1
+1
=2=
+
(n N)
∈
(1)求数列{}n a的通项公式；
(2)设b n=
2
n
22
n
a
16n-a
，若数列{}n b的前n项的和为T n，求证：T n1
2
＜。
（1）用迭代累乘或者构造新的等比数列n
a
n
??
??
??
可以求得n-1
n
1
a1
a()
n2
=，n-2
n
1
a n()
2
=
即（2）证明：
2
n
n22n
n
a1
b
16n-a41
==
-
当n=1时，T1=
1
3
＜2；
当n≥2时，∵n n n1n-1n
41(31)-1=(331)13
n
C
-=+++???+->,∴
n
b=
n n
11
<.
413
-
∴T n=
2
1
b bn
3
???
+++
2n
11
1()
111111
33
1()
1
333232
1
3
n
n
??
-
????
??
++???+==-
??
??
-
＜＜
∴对一切正整数n，都有T n
1
2
＜
注：本题将数列从第二项起开始放缩，放缩成以b1为首项，
1
3
为公比的等比数列，转化为等比数列求和。
事实上，也可以利用
n n n-1n-1
111
414434
≤=
--?
，将数列放缩成以
1
3
为首项，
1
4
为公比的
等比数列，易得T n 111()4141341()949214
n n ??-???
???≤=-????-＜＜，放缩的关键在于合理与适度。
1、3放缩通项，利用裂项相消求和
对于例2，也可以这样证明：2n n 22n n n
n a 11
b 16n -a 41(21)(21)
===--+ 当n=1，2时，n 22n =，
当n ≥3时， n n 0112(11)=2(1)2n n n n n n C C C C n n -=+++???++≥+＞
∴对一切正整数n ，都有n n n
11
b (21)(21)(21)(21)n n =≤-+-+=112121
n n --+ ∴T n 111111(1)23352121n n ≤-+-+???+
--+=111
(1)2212n -+＜。 注：此法将通项放缩成两项之差，转化为用裂项相消求和。 1、4放缩通项，利用叠加求和
例3、已知数列{}n a 中，a 1=1，n n-1n-11
a a n a +???=（=2,3,4),
求证：
n a 2004年重庆卷改编）
证明：由递推关系式得：2n n-12
n-1
1a a a +2=+2＞2n-1a 2+，即2
n n-1a -a 2＞2， 于是有221a -a 2＞2，232a -a 2＞2，…2n n-1a -a 2＞2，这n-1个不等式两边相加可得2n 1a a -2n-1＞2（）
，即n a 2＞2n-1，又n a ＞0,
故n a 1、5放缩通项，利用各项重新组合求和
例4、数列{}n a 满足a 1=1且n+1a n 1≥n 2n
11
=(1+)a +（).n +n 2
（1）用数学归纳法证明2(2)n ≥≥n a
（2）已知不等式ln(1+x)＜x x 对＞0,成立,证明e n 1≥2
n a ＜（），其中无理数e=2.71828…(2005年重庆卷)
证明:(1)略.
(2)由递推关系式及(1)的结论有n+1a ≤n n 2n 2n 1111
=(1+)a +(1++)a n +n 2n +n 2
，
两边取对数，且由ln(1+x)＜x 得
n+1lna ln ≤n n 2n 2n 1111
(1++)+lna ＜++lna n +n 2n +n 2
故n+1lna =n n n 11111
-lna ＜
+（-）+n （n+1）2n n+12
上式中n 分别取1，2，…，n-1求和可得
n lna )?
?+-+???+++???+????
12n-111111111-lna ＜（1-）（）（-）+（223n-1n 222 =
1)2-n-111（1-）+（＜n 2
即n lna 2＜，故e n 1≥2
n a ＜（）.
2、写出和式，舍项放缩
2、1裂项相消，各项重新组合，舍项放缩
对于例2，还可以这样证明：n n n n n n 11111
b ()41(21)(21)22121
===---+-+
当n=1时，T 1=1
3
＜2；
当n ≥2时，∴T n =11
22n n 1111111
()2212121212121
-+-+???+--+-+-+ =11223n-1n n 111111111()()22121212121212121??----???---??-+-+-+-+??
）（ ∵n-1n n-1n 1124
021212(21)(21)
n --=≥+-+-，∴T n
1n 1111()221212≤-<-+ ∴对一切正整数n ，都有T n 1
2
＜
2、2错位相减，各项重新组合，舍项放缩
例5、数列{}n a 中，2
n n n a ,a )a n
1+1+1=2=2(+(n N )∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设b n =n n a ，求证：17
24∑n
i i=1
b ＜。
（1）易知n 2
a n ??????
是以2为公比的等比数列，可以求得n a 2n n =，2n
n a n 2=?即 （2）证明：n n n 1
b a 2n
n ==
? 123n
1111
1222322n =++???+????∑n
i i=1
b 12=∑n
i i=1
b 23n n +1
11111222(1)22n n +???++??-?? ∴23n n+1
11111122122232(1)22n n n =--???--????-??∑n i i=1b ∴4n n+1
11111
1()424342(1)22n n n =---+???++??-??∑n
i i=1
b =4n n+1
17111
()24342(1)22
n n n -+???++??-??1724＜ 2、3迭代相加，各项重新组合，舍项放缩
对于例3、也可以这样证明：由已知得：2n n-12n-11a a a +2=+2,即2
n n-1
2
n-11a -a a =2+2， 于是有221211a -a a =2+2，23222
1
a -a a =2+2，…，2n n-12
n-11a -a a =2+2， 这n-1个等式两边相加可得2n 1a a -2222
n-1n-21
111
n-1a a a +???+=2（）+（+）， 即n a 2=222
n-1n-21111
n-1n-1a a a +???+2+（+
）＞2，又n a ＞0,
故n a
20、（本题满分16分）
在数列{}n a 中，已知01>=p a ，且，N n ∈ （1） 若数列{}n a 为等差数列，求p 的值。 （2） 求数列{}n a 的前n 项和n S
当2≥n 时，求证：
11
212
+->∑=n n a n
i i
利用放缩法证明数列型不等式压轴题
利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的
用放缩法证明不等式的方法与技巧
用放缩法证明不等式的方法与技巧 一．常用公式 1．)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．12 112-+<<++k k k k k 3．22k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5． ?? ????--≤！！（！k k k 1)11211（待学） 6．b a b a +≤+ （待学） 二．放缩技巧 所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） < > 11> ，n >= （3）21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- （4 ）= <=<= （5）若,,a b m R + ∈，则,a a a a m b b m b b +>< + （6）21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n < -） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111123222222 n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8 ）1+???+>???+== 三．常见题型 （一）．先求和再放缩: 1．设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +，求证：1n S < 2．设1n b n = （n N * ∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T < （二）．先放缩再求和: 3．证明不等式：111 12112123 123n ++++
用“放缩法”证明不等式的基本方法
2 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放 缩） n a =n ，求证：k=1 例3、已知 a k n 证明：苕 1 V (k — 1)k(k + 1) _________ 二［+￡莖壬匹 ^/(k — 1)(k + 1) ( >/k + 1 +寸 k — 1 ) k z2 (二 学习必备 欢迎下载 用放缩法”证明不等式的基本方法 近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生 逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提 的是，高考中可以用 放缩法”证明不等式的频率很高， ,对它的运用往往能体现出创造性。 放缩法”它可以和很 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察， 例谈 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的 需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩 k 时就舍去了 2 -2，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例 2、函数 f (x )= 一，求证：f (1) +f (2) + …+f (n ) 1 +4x f(n)=二=1--^A 1-丄 1 +4n 1+4 2 *2 1 1 1 +f (2) + …+f (n ) >1—+1屮"+1— 2 21 2 22 2 2n +1 +1 +…=n + 丄一1 (n 迂 N *). 2 4 2n 2n '1 2 此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数， 再对分母进行放缩，从而对左边可以进行 求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。女口 它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 ，有极大的迁移性 多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标, 放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题, 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 例1、已知 a n =2“ -1(n 亡 N ）.求证: n 1 2—3 a 2 a 3 + a n 证明：，— a k + 2k -1 =2^ 1 2 "2(22-1) _ 1 "2"3.2k +2k -2 >1-1.l^,k=1,2,..., n, 2 3 2k 玉+更+ +旦 a 2 a 3 「-1(1 +-+...+丄)」-丄(1二)「-1 , 2 3 2 22 2n 2 3 2n 2 3 2 3 a 2 a 3 + <-(n 迂 N *). a n + 2 证明：由 需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可; 如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)
1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：21 ③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++ 用放缩法证明不等式 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143 ＜＋＜a b 。 证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以 a ＋ b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 证明：因为a ab b a b b a b a b a b 222 22 234 2 22++=+++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222 +++＞，c ac a c a 222+++＞。 所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c +++＞，所以 放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中， 常渗透不等式证明的内容， 而不等式的证明是高中数学中的一个难点, 以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一 提的是，高考中可以用 证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。 放缩法”它可以和很多知识内容结合， 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度， 些高考试题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或 分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） n J k 例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3- 它可 放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运 用往往 对应变能力有较高的要求。 因为放缩必须有目标， 否则就不能同向传递。下面结合一 例1、已知 a n 2n 1(n N ).求证: a 1 a ^ a 2 a 3 丑(n N a n 1 ). 证明：Q 皀 a k 1 2k 1 2k 1 2(2k1 1) 1 3.2k 2k 2 1,2,..., n. a_ a 2 a 2 a 3 a n a n 1 1 （ 1 1 二（二 二 1 a_ 3 a 2 a 2 a 3 多项式的值变小。由于证 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k 2，从而是使和式得到化简 例2、函数f (x ) =±- 1 4x ，求证: （1）+f （ 2） +…+f (n ) 证明：由 f(n)= 羊7=1-- 1 4n 1 得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1 4 1 1 丄 2 21 2 22 1 1 * 芦 >1 此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 ,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对 左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时 ,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分 用放缩法证明与数列和有关的不等 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。 1、 先放缩再求和 例1 （05年湖北理）已知不等式],[log 2 1131212n n >+++Λ其中n 为不大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。设数列{}n a 的各项为正且满足111),0(--+≤>=n n n a n na a b b a )4,3,2(Λ=n ，证明：] [log 222n b b a n +<，Λ5,4,3=n 分析：由条件11--+≤ n n n a n na a 得：n a a n n 1111+≥- n a a n n 1111≥-∴- )2(≥n 1111 21-≥---n a a n n (2) 11112≥-a a 以上各式两边分别相加得： 2 1111111++-+≥-Λn n a a n 2 111111++-++≥∴Λn n b a n ][log 2 112n b +> )3(≥n =b n b 2][log 22+ ∴ ][log 222n b b a n +< )3(≥n 本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。 例2 （04全国三）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ； （2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8 711154<+++m a a a Λ 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2； ⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1122(1)n n n a a --=+- 2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32) 1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-n n a }是以3 21+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n n n a ∴22[2(1)]3 n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3 n n n a -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=232451113111[]221212(1) m m m a a a -+++=+++-+--L L ，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121+>++-， 43432121121121+<-++，因此，可将1 212-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时， m a a a 11154+++Λ)11()11(11654m m a a a a a +++++=-Λ )2 12121(2321243-++++< m Λ )2 11(4123214--?+=m 8321+<87= 利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 点评： 关键是将12(21)(21) n n n +--裂项成111 2121n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成 1122 112222n n n n S S S S S S S ----+-+ +-+的和，从而找到了解题的突破口。 2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。 例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。 若 3 *3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的* n ∈N ，不等 式 12111 (1)(1+)(1+)n c c c +??>恒成立． 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。33 131(1+ )()32 n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131 ()323231332 n n n n n n n n n n --++>??=----，而通项式为31 { }32 n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。 利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法 主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3,n =L 。设2n n n T S =，1,2,3,n =L ，证明： 1 3 2 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--11 32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231 11 3113111111 ()()221212212121212121n n i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑L = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ， 2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥ 。 证明：（I ）1111111 ()2322122n n T T n n n n n n +-=+++-++++++++L L 11121221n n n = +- +++10(21)(22) n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ）112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+Q L 1221122n n T T T T S --=+++++L 由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥≥L ，又11217,1,212T S T = ==， 12211222n n n S T T T T S --∴=+++++L 21171711 (1)(1)112212 n n T T S n +≥-++=-++= 即当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+L 的 利用放缩法证明数列型不等式 教学目标： 知识与技能：利用裂项求和，等比数列求和，二项式定理结合放缩法证明常规数列型不等式； 过程与方法：通过本节的学习，掌握利用放缩法证明常规数列型不等式； 情感、态度与价值观：通过实例探究放缩法解决数列型不等式的过程，体会知识间的相互联系的观点，提高思维能力. 教学重、难点： 1．掌握证明数列型不等式的四种放缩技巧。 2．体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。 教学过程： 一、高考背景： 压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。而处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。但近几年的广东高考对数列的考查难度有所降低，对放缩法的要求上回归到常规题型中。 二、常见放缩方法： 1.裂项放缩 {}{}. 1:n ,)1(1.1<+= n n n n n S S a n n a a 求证，项和为的前且的通项公式为已知数列例 小结:可求和先求和，先裂项后放缩。 {}{}. 2:n ,1.12<=n n n n n S S a n a a 求证，项和为的前且的通项公式为已知数列变式 小结:不能求和先放缩，后裂项求和，再放缩。 4 7)2013(2< n S 上，同广东变式？ 小结:放大不宜过大，缩小不宜过小，把握放缩的“度”。 2．等比放缩 例2【2012广东】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，{} n n n a a 231n -=的通项公式为 证明：对一切正整数n ，有2 3< n S 小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。 不等式的证明 本文主要介绍用放缩法证明不等式的技巧。 一、项的添加与删除。 【例1】已知4,≥∈n N n ，求证：2 ) 2)(1(2++> n n n 。 证明：)12 )1(1()...1(2121++-++≥+++++=-n n n n C C C C n n n n n n n 22324322++> ++=n n n n =2 ) 2)(1(++n n 。 [练习1] 若N n x ∈>,0且1>n ，求证：nx x n +>+1)1(。 二、利用分数的性质进行放缩。 【例2】若a , b , c , d ∈R + ，求证：21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 证：记m = c a d d b d c c a c b b d b a a +++ ++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 【例3】求证：21 31211111232222<++++<+-n n 证：∵ n n n n n 1 11)1(112 --=-< ∴2121113121211113121112 222<-=+-++-+-+<++++n n n n ∵1 11)1(112+- =+>n n n n n ∴ 11 23)111()3121(113121112 222+- =+-++-+>++++n n n n 。 【例4】[1992年“三南”高考试题]求证：n n 21...31211<+ +++ 。 放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+? 例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T << 例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++< 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等 号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2 ＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s 放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- 2. ==>= ==<= =<= = = | 4. =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+? | 例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174 n c c c c ++++ < ！ 例2.证明：1611780 <+ +< . 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T << ( 例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< @ 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< ， 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++< | 放缩法证明导数不等式 在用导数证明的不等式中，有时采用适当的放缩，会使解题过程事半功倍。下面先介绍几个不等式。 ①1+≥x e x （当且仅当x=0时取等号） 对①式两边同时取以e 为底的对数得到②式 ②x x ≤+)1ln(，()+∞-∈,1x （当且仅当x=0时取等号） ②式中用x-1替换x ，得到③式 ③1ln -≤x x ，()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） ③式中用x 1替换x , 得到x x x -≤ 11ln 即 ④x x x 1ln -≥ ， ()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） 由③④式可得 ⑤1ln 1-≤≤-x x x x ，两边等号成立的条件均为x=1 ⑤式中用x+1替换x 得到 ⑥()x x x x ≤+≤+1ln 1 ，两边等号成立的条件均为x=0 ①式中用x-1替换x ，得到x e x ≥-1，所以x e e x ≥，即 ⑦ex e x ≥，（当且仅当x=1时取等号） 令()x x x f ln =，则令()0ln 1'=+=x x f ，得e x 1=。?? ? ??∈e x 1,0时，()0' ⑧ex x 1ln -≥，（当且仅当e x 1=时取等号） 以上的不等式应用在在证明过程中时需要先证明，下面用几个例题说明一下 例1， 求证02ln 2≤+--ex e ex x ex x 证明：先证ex e x ≥ 令()ex e x f x -=，则()()11'-=-=-x x e e e e x f ，则()1,0∈x 时，()0' 用放缩法证明不等式 不等式是高考数学中的难点，而用放缩法证明不等式学生更加难以掌握。不等式是衡量学生数学素质的有效工具，在高考试题中不等式的考查是热点难点。本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。放缩法的理论依据是不等式性质的传递性，难在找中间量，难在怎样放缩、怎样展开。证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的放缩方法。 ⒈利用三角形的三边关系 ［例1］已知a，b，c是△ABC的三边，求证： 证明：﹥∵=为增函数，又∵ ∴。 点评：学生知道要利用三角形的三边关系，但无法找到放缩的方法，难在构造函数。 ⒉利用函数的单调性 ［例2］求证：对于一切大于1的自然数n，恒有。 证明：原不等式变形为， 令则 ， 所以。 即是单调增函数（n=2，3，…），所以。故原不等式成立。 点评：一开始学生就用数学归纳法进行尝试，结果失败，就放弃了。若使不等式的右边变为常数，再用单调性放缩就好了。 ⒊利用基本不等式 ［例3］已知f（x）=x+(x﹥0) 求证：－ 证明：, 设（1） （2） （1）+（2）得 点评：用数学归纳法证明，思路简单，但是难度很大，可以通过二项式定理展开，倒序法与基本不等式相结合进行放缩。 ⒋利用绝对值不等式 ［例4］设=，当时，总有，求证：。 证明：∵，∴，，， 又∵∴ 所以，∴=7。 点评：本题是一道函数与绝对值不等式综合题，学生不能找到解题的突破口，关键在于找到a，b，c与f（0），f（1），f（-1）的联系，再利用绝对值内三角形不等式适当放缩。 ⒌利用不等式和等比数列求和 ［例5］求证：。 证明：=，利用不等式 ∴﹤=﹤。 点评：有些学生两次用错位相减进行放缩，但是没有找到恰当的变形放缩，对利用不等式进行放缩不熟悉。若经过“凑”与不等式相结合，再利用等比数列求和放缩就到了。 ⒍利用错位相减法求和 ［例6］已知a1, a2, a3, ……, a n, ……构成一等差数列，其前n项和为S n＝n2, 设b n＝, 记{b n}的前n项和为T n, (1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 证明：T n<1。 解：(1) a1＝S1＝1, 当n≥2时, a n＝S n－S n－1＝2n－1; 由于n＝1时符合公式，数列综合应用(放缩法)教案资料
典型例题：用放缩法证明不等式
放缩法证明不等式的基本策略
用用放缩法证明与数列和有关的不等式
放缩法证明数列不等式问题的方法
不等式放缩法
用放缩法证明不等式word版本
利用放缩法证明数列型不等式
放缩法证明不等式
放缩法证明数列不等式经典例题
不等式证明的常用基本方法(自己整理)
放缩法证明数列不等式经典例题
放缩法证明导数不等式
用放缩法证明不等f式