希望杯八年级数学竞赛试题及答案
全国数学邀请赛初二第一试
一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
1.下列运动属于平移的是()
(A)乒乓球比赛中乒乓球的运动.(B)推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行.
(C)空中放飞的风筝的运动.(D)篮球运动员投出的篮球的运动.
2.若x=1满足2m x2-m2x-m=0,则m的值是()
(A)0.(B)1.(C)0或1.(D)任意实数.
3.如图1,将△APB绕点B按逆时针方向旋转90 后得到△A P B
''',若BP=2,那么PP'的长为( )
(A
)(B
(C)2 .(D)3.
4.已知a是正整数,方程组
48
326
ax y
x y
+=
?
?
+=
?
的解满足x>0,y<0,则a的值是()
(A)4 .(B)5 .(C)6.(D)4,5,6以外的其它正整数.
5.让k依次取1,2,3,…等自然数,当取到某一个数之后,以下四个代数式:①k+2;②k2;③2 k;④2 k 就排成一个不变的大小顺序,这个顺序是()
(A)①<②<③<④.(B)②<①<③<④.
(C) ①<③<②<④.(D) ③<②<①<④.
6.已知1个四边形的对角线互相垂直,且两条对角线的长度分别是8和10 , 那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是()
(A)40 .(B
)(C)20.(D
).
7.Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals of a rhombus respectively. If b:a=a:c,then the ratio of area of the square and rhombus is ( )
(A)1:1.(B)2
(C)1
(D)1:2.
(英汉词典:length长度;diagonal对角线;square正方形;rhombus菱形;respectively分别地;ratio比;area面积)
8.直角三角形有一条边长为11,另外两边的长是自然数,那么它的周长等于().(A)132.(B)121.(C)120.(D)111.
9.若三角形三边的长均能使代数式是x2-9x+18的值为零,则此三角形的周长是().(A)9或18.(B)12或15 .(C)9或15或18.(D)9或12或15或18.
10.如图2,A、B、C、D是四面互相垂直摆放的镜子,镜面向内,在镜面D上放了写有字母“G”的纸片,某人站在M处可以看到镜面D上的字母G在镜面A、B、C中的影像,则下列判断中正确的是()(A)镜面A与B中的影像一致.(B)镜面B与C中的影像一致.
(C)镜面A与C中的影像一致.(D)在镜面B中的影像是“G”.
二、A组填空题(每小题4分,共40分)
11.如图3,在△BMN中,BM=6,点A、C、D分别在MB、BN、MN上,且四边形ABCD是平行四边形,∠NDC=∠MDA,则 ABCD的周长是.
12.如果实数a ≠b,且101
101
a b a
b a b
++
=
++
,那么a b
+的值等于.
13.已知x
=a M
的立方根,y =x 的相反数,且M =3a -7,那么x 的平方根是 . 14.如图4,圆柱体饮料瓶的高是12厘米,上、下底面的直径是6厘米.上底面开有一个小孔供插吸管用,小孔距离上底面圆心2厘米,那么吸管在饮料瓶中的长度最多是= 厘米.
15.小杨在商店购买了a 件甲种商品,b 件乙种商品,共用213元,已知甲种商品每件7元,乙种商品每件19元,那么a b +的最大值是 .
16.ABC
是边长为D 在三角形内,到边AB 的距离是1,到A 点的距离是2,点E 和点D 关于边AB 对称,点F 和点E 关于边AC 对称,则点F 到BC 的距离是 .
17.如图5,小华从M 点出发,沿直线前进10米后,向左转20
,再沿直线前进10米后,又向左转20
,……,这样下去,他第一次回到出发地M 时,行走了 米.
18.关于x 的不等式123x x -+-≤的所有整数解的和是 . 19.已知点(1,2)在反比例函数a
y x
=
所确定的曲线上,并且该反比例函数和一次函数1y x =+ 在x b =时的值相等,则b 等于 .
20.如图6,大五边形由若干个白色和灰色的多边形拼接而成,这些多边形(不包括大五边形)的所有内角和等于 .
三、B 组填空题(每小题8分,共40分,每一题两个空,每空4分) 21.解分式方程
225111
m
x x x +=+--会产生增根,则m = 或 . 22.Let A abcd = be a four-digit number. If 400abcd is a square of an integer, then A= 或 .
(英汉词典:four-digit number 四位数;square 平方、平方数;integer 整数)
23.国家规定的个人稿酬纳税办法是:①不超过800元的不纳税;②超过800元而不超过4000元的,超过800元的部分按14%纳税;③超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.某人编写了两本书,其中一本书的稿酬
不超过4000元,第二本书的稿酬比第一本书多700元,两本书共纳税915元,则两本书的稿酬分别是= 元和 元.
24.直线l
交反比例函数y =
的图象于点A ,交x 轴于点B ,点A 、B 与坐标原点o 构成等边三角形,则直线l 的函数解析式为 或 . 25.若n 是质数,且分数
4
17
n n -+不约分或经过约分后是一个最简分数的平方,则n 或 .
第十八届“希望杯”全国数学邀请赛答案(初二)
提示:1、略
2、原式可化为:m(1-m)=0,m=0或m=1
3、由题意得△BPP ′是等腰直角三角形,由勾股定理得PP ′
4、解方程组得:461236x a
a y a ?=??-?-?=?-?
∵x>0,y<0 ∴601230a a ->??-
5、当k>4时,2k
>k 2
>2k>k+2,所以选C
6、顺次连接该四边形的四边中点所得的四边形是矩形,面积是:
(
12×10)×(1
2×8)=20 7、S 正=12a 2 , S 菱形=12
bc ,∵b:a=a:c ,即a 2
=bc ,∴S 正 :S 菱形 =1:1
8、设另两边为a ,b ,则a 2
+b 2
=112
(不合题意舍去)或112
= a 2
- b 2
=(a+b)(a-b)=121 =121×1; ∵a,b 是自然数 ∴a+b=121, ∴周长是121+11=132
9、∵x2-9x+18=0,即(x-6)(x-3)=0 ,∴x=6或x=3,∴三角形三边分别是:
3,3,3或6,6,6或6,6,3。周长:9或15或18。
10、略 二、A 组填空题: 提示:
11 ABCD ∴BC //BM
∴NDC M ∠=∠
6
6NDC MDA MDA M
AM AD
BA AD BA AM BM BC DC BA AD ABCD
∠=∠∴∠=∠∴=∴+=+==∴+=+=∴ 周长为12
12. 1
1
10610++=++b a a b a
)1)(10()1)(10(++=++∴a a b b b a 化简得(a-b)(a+b-9)=0
b a ≠ 09=-+∴b a 9=+∴b a
13.由题意得
??
?-=-=+a
b b a 3763解得??
?-==2
5
b a
2
88733
==
∴=-=∴x a M
2±∴的平方根是x
14由题意得AB=5 BC=12 169BC AB AC 222=+=∴ 13AC =∴ 15由题意得7a+196=213 a=
7196
213- 在b 最小时 a+b 值最大 ∴???==25
2a b 即a+b=27 16. 画出图形,由对称的性质和等边
三角形的性质可设F 到BC 的距离为4
17 .由多边形外角和为3600
,个外角是020,可设该多边形为3600
=020=18边形
3
03
21≤≤∴≤-+-∴x x x
∴所有整数解为和为0+1+2+3=6
18.
19由题意设2=
1
a
∴a=2 1
20212
2-=-=∴=-+∴+=∴b b b b b b
或 20. 5个三角形 10个四边形
54500360101800
0=?+?°
三、B 组填空题
提示:21.去分母设2(x-1)-5(x+1)=m 当x=1时 m=-10 当x=-1时 m=-4 23.设第一本x 元 第二本x+700元
915%11)700(%14)800(=?++?-x x 解得:x=3800 x+700=4500
答:第一本3800元 第二本4500元 24.由题意得????
?=+=x
y x xy 23
2
2 解得??
?==31y x
??
?-=-=3
1
y x )3,1(A ∴或(1- 3-) )0.2(B ∴或(-2,0)
解析式为y=323+-x 或y=323--=x 25.11;31