肇庆2013-2014高三数学文科解析版

高三数学（文科）试题 第 1 页 共 8 页

肇庆市中小学教学质量评估

2013—2014学年第一学期统一检测题

高三数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{2,1,1,2,}M =--，集合N ={x |x 是大于2-且小于5的整数}，则M N =

A ．{1,1,2}-

B ．{1,0,1,2}-

C ．{2,1,1,2}--

D ．{2,1,0,1,2}-- 【解析】 {2,1,1,2,M =--，{1,0,1,2,3,4}N =-，所以{1,1,2}M N =-

2．函数2

()lg(1)

x f x x -=

-的定义域是

A ．[1,)+∞

B ．(1,)+∞

C ．[1,2)(2,)+∞

D ．(1,2)(2,)+∞

【解析】 由10

11x x ->??-≠?

得1x >且2x ≠

3．若34iz i =+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z =

A ．43i --

B ．43i -+

C ．i 4+3

D ．i 4-3 【解析】 344343i

z i z i i

+=

=-?=+ 4．已知平面向量)2,1(-=a ，),4(m b =，且b a ⊥，则向量=-b a 35

A ．(7,34)--

B ．(7,16)--

C ．(7,4)--

D ．(7,14)- 【解析】 ∵⊥a b ,∴4-202m m ?==?=a b ,∴53(7,16)-=--a b

5．已知变量x ，y 满足约束条件??

?

??≥≤≤-≤-1113y x x y ，则23z x y =+的最大值是

A ．4

B ．5

C ．14

D ．15 【解析】 “角点”坐标分别为(1,1),(1,4),(1,2),(1,1)A B C D --，max 213414

z =?+?=

6．执行如图1所示的程序框图．若n =4，则输出s 的值是

A ．23-

B ．5-

C ．9

D ．11

【解析】 第一次循环：1(2)1,2s i =+-=-=；第二次循环：3,3s i ==；第三次循环：

5,4s i =-=； 第四次循环：11,5s i ==，结束；输出11s =

7．在?ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边长.

高三数学（文科）试题 第 2 页 共 8 页

已知a =6，b =4，C =120°，则sin B = A ．

721 B ．1957 C ．383 D

．

【解析】 ∵2

2

2

2cos 76c a b ab C =+-=

，∴c =∵

B b sin =C

c sin ,∴sinB=c C b sin =

76

23

4?

=1957.

8．已知圆2

2

4x y +=和圆2

2

4440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线l 的方程是

A ．20x y -+=

B ．20x y --=

C ．20x y +-=

D ．20x y ++=

【解析】方程22

4440x y x y ++-+=经配方，得()()2

2

224x y ++-=圆心坐标是(2,2)C -，半径长是 2.圆

224x y +=的圆心坐标是(0,0)O ，半径长是2.因为两圆关于直线l 对称，所以直线l 是线段OC 的垂直平分线.线段

OC 的中点坐标是(1,1)M - ，直线OC 的斜率1k =- ,所以直线l 的斜率1l k =，方程是11y x -=+ ，即20x y -+=.

9．某圆台的三视图如图2所示(单位：cm)，则该圆台的体积是

A ．21π3cm B

．3

cm C ．

.

3

3cm D ．7π 3cm 【解析】 圆台上底面积为11S ππ=?=，下底面积为2

224S ππ=?=，

高为3h =

=

，体积(

)()

1211

43733

V S S h πππ=

=?= 10．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则

称集合M 是“好集合”. 给出下列4个集合： ①1

{(,)|}M x y y x -== ②}|),{(2

x y y x M == ③{(,)|sin }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x == 其中所有“好集合”的序号是（ ）

A ．①②④

B ．②③

C ．③④

D ．①③④ 【解析】对于①21212121212

1

0()10(0)x x y y x x x x x x x +=+

=?+=≠不成立，故选项A 、D 错；对于④，()1

()ln (0)f x x x x

''==>，由1212121201y y x x y y x x +=?=-，

高三数学（文科）试题 第 3 页 共 8 页

即12()()1f x f x ''=-，

12

11

1x x ?=- ，不成立. 故选项C 错；所以选B. 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11～13题） 11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，384a S =，27-=a ，则9a = ▲ .

【解析】设公差为d ，则8a 1＋28d ＝4a 1＋8d ，即a 1＝－5d ，a 7＝a 1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6. 12．若曲线2ln y kx x =+在点（1，k ）处的切线与直线210x y +-=垂直，则k = ▲ . 【解析】112|21x y kx y k x =''=+

?=+，由()121()12k +?-=-得12

k = 13．已知直线220x y -+=过椭圆22

221(0,0,)x y a b a b a b

+=>>>的左焦点1F 和一个顶点B. 则该椭圆的离心率e =

▲ .

【解析】由220x y -+=得112

y x =+,∴c b =21

,即2

22c c a -=21. ∴22c a =45,e=a

c =55

2

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点)3

,

2(π

P ，

则过点P 且平行于极轴的直线的极坐标方程为 ▲ . 【解析】先将极坐标化成直角坐标表示，2,

3P π?

?

??

?

转化为点2cos

1,3

x π

==

2sin

3

y π

==

，即(

过点

(且平行于x

轴的直线为y =

，再化为极坐标为sin ρθ=

15．（几何证明选讲选做题）如图3，过⊙O 外一点A 分别

作切线AC 和割线AD ，C 为切点，D ，B 为割线与⊙O 的 交点，过点B 作⊙O 的切线交AC 于点E . 若BE ⊥AC ， BE =3，AE =4，则DB = ▲ .

【解析】由条件得3CE BE ==，所以7AC =

，又5AB ==，由切割线定理有249

5

AC AD AB ==，故4924

555

DB AD AB =-=

-=

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

高三数学（文科）试题 第 4 页 共 8 页

已知函数)6

sin(2)(π

ω-=x x f （R x ∈>,0ω）的最小正周期为2π．

（1）求)0(f 的值； （2）若5

3cos -=θ，),2

(ππ

θ∈，求)3

(π

θ+

f ．

16【解析】(1)由

22π

πω

=，得1ω= (2分)

∴()2sin 6f x x π??

=-

??

?

(3分) ∴()102sin 02sin 21662f ππ?

?=-=-=-?=- ??

? (5分)

（2）∵3cos ,,5

2πθθπ??

=-∈

???

，∴4sin 5θ==， (7分)

∴3f πθ?

?

-

?

?

?2sin 2sin cos 2cos sin 666πππθθθ?

?=+=+ ???

(9分)

43122552??=?

-? ??

?

= (12分) 17．（本小题满分12分）

从一批柚子中，随机抽取100个，获得其重量（单位：克）数据按照区间[900,950)，[950,1000)，[1000,1050)，

[1050,1100)进行分组，得到频率分布直方图（如图4）.

（1）根据频率分布直方图计算抽取的100个柚子的重量众数的估计值；

（2）用分层抽样的方法从重量在[950,1000)和[1050,1100)的柚子中共抽取5个，其中重量在[1050,1100)的有几个？

（3）在（2）中抽出的5个柚子中，任取2个，求重量在[1050,1100)的柚子最多有1个的概率． 【解析】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于1025（克） (2分) （2）从图中可知，重量在[950,1000)的柚子数

1(1000950)0.00410020n =-??=（个） (3分)

重量在[1050,1100)的柚子数

2(10501100)0.00610030n =-??=（个） (4分)

从符合条件的柚子中抽取5个，其中重量在[1000,1050)的个数为

21255

30350

n n n n =

?=?=+ （个） (6分)

高三数学（文科）试题 第 5 页 共 8 页

（3）由（2）知，重量在[1050,1100)的柚子个数为3个，设为,,a b c ，重量在[950,1000)的柚子个数为2个，设为,d e ，则所有基本事件有：(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e ，(,),(,),b c b d

(,),(,),(,),(,)b e c d c e d e 共10种 (9分)

其中重量在[1050,1100)的柚子最多有1个的事件有：(,),(,)a d a e ，(,),b d (,),(,),b e c d

(,),(,)c e d e 共7种 (11分)

所以，重量在[1050,1100)的柚子最多有1个的概率7

10

P =. (12分) 18．（本小题满分14分）

如图5，在三棱锥P —ABC 中，底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，棱P A 垂直底面ABC ，P A =AB =4，，3

4BD BP =

，CP CE 4

3=，F 是AB 的中点. （1）证明：DE //平面ABC ； （2）证明：BC ⊥平面P AC ； （3）求四棱锥C —AFDP 的体积.

【解析】（1）证明：∵34BD BP =，34CE BC =，∴PD PE PB PC

=

，（1分）

∴//DE BC （2分）

又∵DE ?/平面ABC ，BC ?平面ABC ；∴//DE 平面ABC ；（3分） （2）证明：∵P A ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ， ∴BC ⊥P A . （4分） ∵90o

ACB ∠=，∴即BC ⊥AC . （5分） 又∵PA AC A = ，∴BC ⊥平面PAC . （7分）

（3）∵ABC 为等腰直角三角形，F 是AB 的中点，∴1

,22

FC AB FC AB ⊥==， ∴BCF ?的面积1

22

BCF S CF BF ?=

?= （8分） 过D 作DG AB ⊥于F ，则//DG PA ，

∴DG ⊥平面ABC ，且DG 三棱锥D BCF -的高，（9分）

又3

4BD BP =，∴334

DG PA ==， （10分）

∴三棱锥D BCF -的体积11

23233

D BCF BCF V S DG -?=?=??=（11分） 又三棱锥P ABC -的体积

高三数学（文科）试题 第 6 页 共 8 页

1111116

.424332323

P ABC ABC V S PA AB CF PA -?==???=????= （13分）

∴四棱锥C AFDP -的体积1610

233

P ABC D BCF V V V --=-=-= （14分）

19．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 满足11=a ，121+=+n n a a （*

N n ∈）.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列}1

2{

+n a n

的前n 项和，求n S ； （3）证明：

3

511121<+++n a a a （*N n ∈）. 【解析】（1）121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a (2分)

故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列。 (3分) n

n a 21=+∴，12-=n

n a (4分) （2）∵

122122n n n n n n a -==+ (5分)∴21231222

n n n

S -=++++ (6分)

23111231222222

n n n n n

S --=+++++ (7分) 以上两式相减，得 211111122222n n n n S -=++++- 1122212212

n

n n n n ??

- ?

+??=-=-- (9分)∴1

242n n n S -+=- (10分) （3）1111111121222n n n n

a a +++=<=?--

(11分) 设1231

1111n T a a a a +=

++++ ， 则11211111()2n T a a a a <

++++ 21

111()2n T a a +=+- (12分) ∴5

3

T <

(14分) 20．（本小题满分14分）

已知椭圆C ：122

22=+b

y a x （0>>b a ）的两个焦点分别为21,F F ，且221=F F ，点P 在椭圆上，且21F PF ?

的

高三数学（文科）试题 第 7 页 共 8 页

周长为6. 过椭圆C 的右焦点的动直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点.

（1）求椭圆C 的方程；（2）若线段AB 中点的横坐标为

1

2

,求直线l 的方程； （3）若线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D . 设弦AB 的中点为P ,|

|AB .

【解析】 由已知得22=c ,且622=+c a , (2分)解得1,2==c a ,又32

2

2=-=c a b , (3分)

所以椭圆C 的方程为13

42

2=+y x (4分) (2)设过椭圆C 的右焦点的动直线l 的方程为(1)y k x =-

将其代入22

143x y +=中得，2222(34)84120k x k x k +-+-=， (5分)

222242(34)48(412)1443609k k k k k ?=++??-=-+ 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,

则21,2282(34)k x k =+ ，∴2122834k x x k +=+， 2122

412

34k x x k -?=+ (6分)

因为AB 中点的横坐标为1

2

，所以2241342k k =

+

，解得k = (7分) 所以，直线l

的方程(1)2

y x =±

+ (8分) （3）由（2）知2122834k x x k +=+,2122

412

34k x x k -=+

所以AB 的中点为222

43(,)3434k k

P k k

-++

所以AB ==

=22

12(1)

43

k k +=+ (10分) 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++, 由0y =,得2

243k x k =+,

则2

2(,0)43

k D k +,

所以DP = 分)

高三数学（文科）试题 第 8 页 共 8 页

所

以224312(1)43

DP k k AB

k +==++

= 又因为211k +>,所以2

1011k <<+. 所

以104<<. 所以DP AB

的取值范围是10,4??

??? (14分)

21．（本小题满分14分）

已知函数3

2

()4()f x x ax a R =-+-∈.（1）若2a =，求()f x 在[1,1]-上的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()0f x >，求a 的取值范围．

【解析】（1）当2a =时，32()24f x x x =-+-，2

()34f x x x '=-+ （1分） 令()0f x '= ，得124

0,3

x x ==

当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：

（5分）

∴当[1,1]x ∈-时，()f x 最小值为(0)4f =- （6分） （2）∵2()3()3

a f x x x '=--

①若0a ≤，当0x >时，()0f x '<，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减。

又(0)4f =-，则当0x >时，()4f x <-。∴当0a ≤时，不存在0(0,)x ∈+∞，使0()0f x > （9分） ②若0a >，则当203a x <<

时，()0f x '>，∴()f x 在20,3a ??

???

上单调递增；（10分） 当23a x >

时，()0f x '<，∴()f x 在在2,3a ??

+∞ ???

上单调递减. （11分）

∴当(0,)x ∈+∞时，333max 2844()44327927a a a a f x f ??

==-+-=- ???

（12分） 根据题意，3

44027

a ->，∴3a > （13分） 综上， a 的取值范围是(3,)+∞. （14分）