估计有关的习题及详解

§估计

基本题型Ⅰ 矩估计法

【例7.1】总体X 的概率密度函数为1,01

(;)00,x x f x θθθθ-?<<=>??（）

其他

，求未知参数θ的 矩估计.

【分析】先由题设所给含有未知参数θ的随机变量概率密度求出数学期望，解出未知参数θ与数学期望的关系，再由样本一阶原点矩替换总体期望，即得参数θ的矩估计. 【解】为求未知参数θ用总体原点矩表示的式子，先求出EX 1

10

(;)1

EX xf x dx x x dx θθθθθ+∞

--∞

=

=?=

+?

?

因而 [1]EX EX θ=-

在上式中用样本一阶原点矩替换总体一阶原点矩，即得未知参数θ的估计

?(1)X X θ

=-. 【例7.2】设总体X 服从均匀分布[,]U a b ，

12(,,)n X X X 为来自此总体的样本，求,a b

的矩估计.

【分析】由于总体的分布中含有两个未知参数,a b ，故需要求出总体的两个矩，为简单起见，一般先求其一阶矩（即总体的期望）和二阶矩（也可以取总体的方差），然后按矩估计法相应的样本矩替换它们，得矩法方程，最后求解便可得到,a b 的矩估计. 【解】由于总体X 服从均匀分布[,]U a b ，故总体的期望和方差分别为

12

();212

a b b a EX DX +-== 由矩估计法，用X 替换EX ，用2

S 替换2

σ，便得矩法方程组

1222()12

a b

X b a S +?=???-?=??，

即2

2a b X

a b ?+=??-+=?? 于是解出,a b 的矩估计分别为

?a

X =

，?b X =+. 【例7.3】设总体X 的概率密度函数为||

1(;),(0,)2x f x e x θ

θθθ

-=>-∞<<+∞，求θ的

矩估计.

【分析】由于总体的分布中只含有一个未知参数θ，但总体的一阶矩为常量，需要求总体的二阶矩，从而确定矩方程，最后求解θ的矩估计量. 【解】虽然总体X 只含有一个参数，但 ||

102x EX x e dx θ

θ

-+∞

-∞

=

?=?

不含θ，不能求解θ 故需求二阶原点矩

||

2

2

12x EX x e dx θ

θ-+∞

-∞

=??

2

2

20

021()()22x x

x x x e dx e d θθ

θθθθθ--+∞

+∞=

?=?

?

22(3)2θθ=Γ=.

令2211n i i X EX n ==∑，则有θ

的矩估计量为?θ=

基本题型Ⅱ 极大似然估计法

【例7.4】设总体X 具有概率密度函数1,01

(;)00,x x f x θθθθ-?<<=>??

（）

其他，θ的极大似然估计量是 . 【分析】设12,,

n x x x 为总体X 的观测值，则其极大似然函数为11

()()n n L x x θθθ-=，

对数似然函数为1

ln ()ln (1)ln n

i i L n x θθθ==+-∑，解似然方程

1ln ()ln 0n

i i d L n x d θθθ==+=∑ 得参数θ的极大似然估计值为1

?ln n

i

i n

x

θ

==-∑，从而得参数θ的极大似然估计量为

1

?ln n

i

i n

X

θ==-

∑.

【例7.5】设总体X 的分布律为

X

1a 2a 3a P

2θ

2(1)θθ-

2(1)θ-

又设12,,

n X X X 为来自此总体的样本，记j n 表示12,,

n X X X 中取值为,1,2,3j a j =，

的个数，求θ的极大似然估计.

【分析】求极大似然估计量时，关键是求似然函数，它是样本观测值的函数.

【解】设12,,n x x x 是样本12,,n X X X 的观测值，则参数θ的似然函数为

1

()(;)n

i

i L P x θθ==

∏31

21

23[()]

[()][()]n n n P x a P x a P x a ====

323122122222[2(1)](1)2(1)n n n n n n n n θθθθθθ++=--=-

对数似然函数为

21223ln ()ln 2(2)ln (2)ln(1)L n n n n n θθθ=++++- 从而似然方程为

23

1222ln ()01n n n n d L d θθθθ++=-=-. 得θ的极大似然估计量122?2n n n

θ

+=. 【例7.6】设12,,

n X X X 为总体的一个样本，求下列总体概率密度中的未知参数的极

大似然估计()1,(;)0,x u e

x u f x θ

θθ--?≥?=???其他

,其中0θ>，,u θ为常数.

【解】设12,,

n x x x 是样本12,,

n X X X 的观测值，则参数θ的似然函数为

1(())1,(,)0,n

i i x u i n e x u L u θ

θθ=--?∑?≥=??

?

其他. 取对数 1

ln (,)ln ()n

i

i L u n x u θθθ==---∑.

对参数,u θ求偏导，令其为0，则

2

1ln (,)()0ln (,)0n i i L u n x u L u n u θθθθθθ=??=-+-=??????==???∑1

10

n i i u x x n n θθ=?+==????

?=??

∑. 显然，上式第二式不能求出参数,u θ的关系，但由定义，当θ固定时，要使(,)L u θ最大，只需u 最大，因12,,

n u x x x ≤，则参数u 的似然估计值为(1)?u

x =，从而得参数θ的极大似然值为(1)?x x θ=-，故,u θ的极大似然估计量为(1)?u X =，(1)

?X X θ=-.

基本题型Ⅲ 评价估计量的标准（无偏性与有效性）

【例7.7】 样本12,,

n X X X 取自总体X ，2,EX u DX σ==，则可以作为2σ的无偏

估计的是 【 】

()A 当u 已知时，统计量2

1

()

n

i i X u n =-∑. ()B 当u 已知时，统计量21()(1)n

i i X u n =--∑.

()C 当u 未知时，

统计量2

1

()n

i i X u n =-∑. ()D 当u 未知时，统计量2

1

()(1)n

i i X u n =--∑.

【分析】当u 已知时，

21

()n

i

i X

u n =-∑为统计量，利用定义有

22()i i DX E X u DX σ=-==.

从而 2

2

21

1

1

[

()]()n

n n

i

i i i i i E X

u E X u DX n σ===-=-==∑∑∑，

故 2

2221

1

[

()

][()]n

n

i i i i E X

u n E X u n n n σσ==-=-==∑∑.

而 2

2221

1

[

()

(1)][()](1)1)n

n

i

i i i E X

u n E X u n n n σσ==--=--=-≠∑∑

所以当u 已知时，()A 入选，()B 不能入选.

当u 未知时，样本函数

2

1

()

n

i

i X

u n =-∑，21

()(1)n

i i X u n =--∑均不是统计量，因而不能作

为2

σ的估计量，更不能作为无偏估计量. 选()A .

【例7.8】设12,,

n X X X 是总体X 的简单随机样本，则下列不是总体期望u 的无偏估

计 【 】

()A 1

1n

i i X n =?. ()B 120.20.50.3n X X X ++.

()C 12X X + . ()D 123X X X -+. 【分析】要验证统计量是否为无偏估计，即验证?E θ

θ=.

11

11[]n n

i i i i E X EX u n n

===

=邋；

1212[0.20.50.3]0.20.50.30.20.50.3n n E X X X EX EX EX u u u u ++=++=++=； 1212[]2E X X EX EX u u +=+=?；

123123[]E X X X EX EX EX u u u u -+=-+=-+=；

选()C .

【例7.9】试证明均匀分布1

,0(;)0,x f x θ

θθ?<≤?=???其他

中未知参数θ的极大似然估计量不

是无偏的.

【分析】 涉及总体分布时，先求估计量的概率密度（或分布律）.

【解】设12,,

n x x x 是样本12,,n X X X 的观测值，则参数θ似然函数为

1

(),0,1,

i n

L x i n θθθ=

<≤=.

是θ的一个单值递减函数.由于每一个i x θ≤，最大次序统计量的观测值()1max n i i n

x x θ≤≤=≤ 在0,1,

,i x i n θ<≤=中要使1

()n

L θθ

=

达到极大，就要使θ达到最小.但θ不能小于

()n x ，否则样本观测值12,,

n x x x 就不是来自这一总母体，所以()

?n x θ=是θ的极大似然估计值.故最大次序统计量()

?n X θ=是参数θ的极大似然估计量. 为要证明估计量()

?n X θ=不是θ的无偏估计量，需求出()[]n E X ，为此先求()n X 的概率密度.

因统计量()

?n X θ=为随机样本12,,n X X X 的最大值，而12,,n X X X 独立同分布，

故()n X 的概率分布函数为()?()()[()]n n X F x F x F x θ==，其中()F x 为总体X 的分布函数. 由X 的概率密度可知

0,0(),01,x

F x x x x θθθ≤??

=<≤??>?

.

因此

()111

??,0()()[()]{[()]}()()0,n n n n n X nx x f x f x F x F x nF

x f x 其他θθθθ

---?<≤''====?=??

从而 1

?()1

n n

nx n E xf x dx dx n θ

θ

θ

θθ-+∞

-∞

===

≠+?

?

. 即极大似然估计量?θ

不为参数θ的无偏估计. 【例7.10】若未知参数θ的估计量是θ，若

θθ

=)?(E 称θ是θ的无偏估计量.设12,θθ是未知参数θ的两个无偏估计量，若

)?()?(2

1θθD D <则称1θ较2θ有效.

【分析】由无偏估计量和有效性的定义可得.

【评注】估计量的有效性是在无偏估计类的基础上定义的，这一点也特别明确. 【例7.11】设总体2

(,2)X

N u ，123,,X X X 为总体的一个样本，试证明

11231?(2)4u

X X X =++和21231

?()3

u X X X =++均为总体期望的无偏估计，并比较哪一个更有效.

【证明】由于112311

?()(2)(4)44E u

EX EX EX EX u =++== 21231

?()()3E u

EX EX EX u =++= 故统计量12??,u

u 均为期望u 的无偏估计，又 2211231333?()(4)216882D u

DX DX DX σ=++==?=. 2221231314?()()29933D u

DX DX DX σ=++==?=. 由于12??()()D u

D u >，故2?u 是比1?u 更有效的估计量. 【例7.12】从总体X 中抽取样本12,,

n X X X ，设12,,

n C C C 为常数，且1

1n

i i C ==∑，

证明：（1）1

?n

i i

i u

C X

==∑为总体均值u 的无偏估计；

（2）在所有这些无偏估计量1

?n

i i i u

C X ==∑中，样本均值11n

i i X X n ==∑的方差最小. 【分析】注意到样本12,,

n X X X 相互独立，且与总体X 同分布，易得?u

的无偏性及其方差?()D u

，利用拉格朗日乘数法则，不难证明，当?u X =时方差最小. 【证明】因为样本,(1,

,)i X i n =与总体X 服从相同分布，故

,1,2,

,i EX EX u i n ===

又

1

1n

i

i C

==∑，则1

1

?()()n n

i i i i i i Eu

E C X C EX u =====∑∑ 从而1

?n

i i

i u

C X

==∑为总体均值u 的无偏估计.

设总体方差2

DX σ=，则2,1,2,

i DX DX i n σ===.又样本12,,n X X X 相互独

立，故

2

221

1

1

?()()n n

n

i

i

i

i i i i i Du

D C X C

DX C σ======∑∑∑

为确定u 的无偏估计量?u

的方差?()D u 在什么情况下最小，应当求?()D u 满足条件1

1

n

i

i C

==∑的条件极值.

为此考虑函数 2

2

11

1

(,

)()(1)n n

n i

i i i G C C C C σλ===+-∑∑，其中λ为常数.

求偏导数

(1,2,)i

G

i n C ?=?，并令它们等于零，得

2

20,1,2,

i C i n σλ+== （*）

即 2

,1,2,2i C i n λ

σ=-=.代入1

1n

i i C ==∑,得212n λ

σ-=，即22n σλ-= 代入方程（*）中，即得1

,1,2,i C i n n

=

=

由此可知，当1

1?n

i i u

X X n ===∑时，方差最小. 【例7.13】设分别来自总体21(,)N u σ和2

2(,)N u σ中抽取容量为12,n n 的两个独立样本，其样本方差分别为21S ，22S ，试证：对于任意常数,,(1)a b a b +=，22

12Z aS bS =+都

是2

σ得无偏估计，并确定常数,a b ，使DZ 最小.

【证明】由题意，2222

12()EZ aES bES a b σσ=+=+=.

故对任意常数,,(1)a b a b +=，2212Z aS bS =+都为2

σ得无偏估计.

由于

2

22

(1)(1)n S n χσ

--，则

2

2

(1)(

)2(1)n S D n σ-=-，即

2

2

4

(1)2(1)n DS n σ-=-，故4

2

21

DS n σ=-，

则 442

2

2

22

2

1

2

1222(1)

11

DZ a DS b DS a a n n σσ=+=+--- 对a 求导，并令其为零，有 44

122222(1)011

dDZ a a da n n σσ=--=--

解得 12121211

,22

n n a b n n n n --=

=+-+-.

又 244

212440

11

d DZ da n n σσ=+>--，故当12121211,22n n a b n n n n --==+-+-时，DZ 达到最小值. 11、设12,,

n X X X 为来自正态总体2(,)N u σ的简单随机样本，u 已知，2

2*11?S σ

=，2

2

2

?S σ=，2

23

11?()1n i i X X n σ==-+∑，2

241

1?()n i i X u n σ==-∑.问在21?σ，22?σ，23?σ，24?σ中（1）那个是2σ的无偏估计量；（2）那个比较有效；（3）那个方差最小；（4）那个是2

σ的相合估计量.

【分析】因为

222

23122

2

2

???(1)(1)(1)n n n n σ

σ

σ

χσσσ+-=

=

-，又

(0,1)i X u

N σ

-，故

2

2

2

2

1

(

)()

(1)

i i X u

X u χσ

σ-=

-，由2

χ分布性质知2

242

?()n n σ

χσ

.从而可求诸估计量的

数学期望与方差，并回答上述问题.

【解】由分析知

221?E σσ=，2

2

22(1)?()n E n n

σσσ-=→→∞， 22231?()1

n E n n σσσ-=

→→∞+，2

24?E σ

σ=. 且 421

2?0()1D n n σσ=→→∞-，2

422

2(1)?0()n D n n σσ-=→→∞，

243

22(1)?0()(1)n D n n σ

σ-=→→∞+，42

42?0()D n n

σσ=→→∞ 从而（1）21?σ

与24?σ为2

σ的无偏估计量； （2）24?σ比21?σ有效；（因为2241??D D σσ<）；

（3）222

23241????D D D D σ

σσσ<<<， 即估计量23?σ方差最小. （4）21?σ

，22?σ，23?σ与24?σ均为2

σ的相合估计.

基本题型Ⅳ 评价估计量的标准（一致性）

【例7.14】 设总体的期望u 和方差2

σ均存在，求证：

（1）样本均值1

1n

i i X X n ==∑是u 的一致估计.

（2）如总体服从正态分布，则样本修正方差2

21

1()1n

i i S X X n ==--∑为2σ的一致估计. 【分析】要证明参数θ的估计量?θ

的一致性，关键是要证明：对任意0ε>,有{}?lim 1n n P θθε→∞

-<=.从事件对应概率{}

?n

P θθε-<的极限求解上，可以使用切比雪夫不等式，即{}2

?()

?D P

θθθεε

-≥≤

或{}2

?()

?||1D P

θθθεε

-<≥-

.

【证明】（1）由切比雪夫不等式有，对0ε?>

2

1

1

1()11(||)111()n

i n

i i i D X n P X u n n n

σεε

ε==≥-<≥-

=-→→∞?∑∑.

由夹逼定理可得，{}

lim 1n P X u ε→∞-<=，即1

1n

i i X X n ==∑为参数u 的一致估计量.

（2）因为2

2

211

11[()]()11n n i i i i ES E X X E X X n n ===-=---∑∑. 22

2211

11[][]11n

n i i i i E X nX EX nEX n n ===

-=---∑∑ 2222

211[()()]1n i u n u n n

σσσ==

+-+=-∑，即2S 为2σ的无偏估计. 又样本来自正态总体，由抽样分布定律知

2

2

2

(1)(1)n S n χσ

--，有2

2

(1)()2(1)n S D n σ

-=-

从而224244

2

2222

(1)(1)2()()()2(1)(1)(1)(1)1

n S n S D S D D n n n n n σσσσσσ--===-=----.

由切比雪夫不等式有，0ε?>

24

22

()

21(||)111()(1)

D S P S n n σσεε

ε≥-<≥-

=-→→∞-

从而有2

2

lim (||)1n P S σε→∞

-<=，即2

S 为2

σ的一致估计量.

【例7.15】设?n

θ为θ的估计量（用容量为n 的样本），如果?lim n n E θθ→∞

=，?lim 0n n D θ→∞

=，则?n

θ为θ的一致估计量. 【证明一】为证?n

θ为θ的一致估计量，下证{}

?lim 0n n P θθε→∞

-≥=. 而 {}22??2

2

???()()?()()n

n

n n

n

n

E P

f x dx f x dx θθθθε

θθθθθθεεε+∞

-∞

-≥---≥=

≤=

??

又 22222?????()(2)2n n n n n E E E E θθθθθθθθθθ-=-+=-+ 22???()2n n n

D E E θθθθθ=+-+ 故{}

22

?()?lim lim[]0n

n

n n E P θθθθεε

→∞

→∞

--≥≤=，即?n

θ为θ的一致估计量. 【证明二】由切比雪夫不等式有

{}

2

??(||)n n

P D θθεθθε-≥≤-. 而 222????(||)()(||)()n n n n

D E E E θθθθθθθθ-=---≤-. 由证明一知，2

?lim (||)0n

n E θθ→∞

-=，或者用下列方法直接证明 22????()()n n n n

E E E E θθθθθθ-=-+- 22??????()2[()()]()n n n n n n E E E E E E E θθθθθθθθ=-+--+- 222?????0()()2n n n n n

D E D E E θθθθθθθθ=++-=+-+ 2

2

2

2

2

????()220()n n n n

D D

E E n θθθθθθθθθ=++-+→-+=→∞ 故{}

?lim 0n n P θθε→∞

-≥=，即?n

θ为θ的一致估计量. 【评注】用定义验证估计量是一致估计量，一般都不太容易，可利用上例中的结论证明

之，从而将统计量的一致性的证明转化为统计量的期望与方差的极限性质的论述，这是一个比较实用的证法.

【例7.16】设随机变量X 在[0,]θ上服从均匀分布，由此总体中抽取一随机样本1X ，

试证明：1121??2,X X θθ==都不为θ的一致估计.

【分析】由上例（例7.16）可知，只需论证估计量的期望和方差的极限性质.

【证明】因111

?(2)222

E E X E X θ

θθ===?=，故1?θ为θ的无偏估计，且21

?2

E EX θ

θθ==≠，故2?θ不为θ的无偏估计.

为证1

?θ不为θ的一致估计，只需证明1?lim 0n D θ→∞

= 2

2

111

?lim lim (2)lim 4lim 4lim 0123

n n n n n D D X DX θθθ→∞→∞→∞→∞→∞===?=≠. 故1

?θ不为θ的一致估计. 【例7.17】设总体X 服从均匀分布[0,]U θ，试证明：θ的极大似然估计()1max n i

i n

X X ≤≤=为θ的一致估计.

【证明】 设总体X 的密度函数为()f x ，则1

,0()0,x f x θ

θ?≤≤?=???其他，故最大次序统计量

()n X 的概率密度函数为1

,0()0,n n n nx x f x θθ-?≤≤?

=???

其他，从而

1

()0

()0()1n n n

nx n

E X x

dx n n θ

θθ-==

→→∞+? 且 1

22

2()

()2

n n n

nx n

E X

x

dx n θ

θθ-==

+? 故2

2

2

()()()()()()2n n n n D X E X EX EX θθθ=-=-+ 2222220()21(1)(2)

n n n n n n n θθθθ=

-+=→→∞++++ 由前例可知，θ的极大似然估计()1max n i i n

X X ≤≤=为θ的一致估计.

基本题型Ⅴ 求置信区间相关题型

【例7.18】设θ是总体X 中的参数，称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间，即【 】

()A ),(θθ以概率a -1包含θ . ()B θ 以概率a -1落入),(θθ.

()C θ以概率a 落在),(θθ之外 . ()D 以),(θθ估计θ的范围，不正确的概率是a -1.

【分析】由置信区间的定义可知， 区间()

,θθ为随机区间. 选()A .

【例7.19】设),(~2

σμN X 且2

σ未知，若样本容量为n ，且分位数均指定为“上侧

分位数”时，则μ的95%的置信区间为 【 】

()A )(025.0u n X σ

±

.

()B ))1((05.0-±

n t n S X .

()C ))((025.0n t n

S X ±

. ()D ))1((025.0-±

n t n

S

X .

【分析】由题意，总体),(~2

σμN X ，且2

σ未知，

故应构造统计量(1)X T t n =

-，

则参数μ的置信水平为195%α-=的置信区间为))1((025.0-±

n t n

S X .

选()D .

【例7.20】假设00.2,80.0,25.1,50.0是总体X 的简单随机样本值，已知X Y ln =服从正态分布)1,(μN .

（1）求X 的数学期望EX （记EX 为b ）； （2）求μ的置信度为95.0的置信区间；

（3）利用上述结果求b 的置信度为95.0的置信区间. 【解】（1）Y 的概率密度为： +∞<<-∞=

--

y y f e

y ,21)(2

2

)(μπ

，于是，（令μ-=y t ）

dy Ee EX b e

e y y Y

?+∞

∞---

=

==2

)(2

21μπ

2

2

111

2

2

2

(1)2

t t t dt dt e e e

e

m m m +?

?

+-

+

--+

?

?

=

=

=蝌

（2）当置信度95.01=-α时，05.0=α.标准正态分布的水平为05.0=α的分位数为

96.105.0=μ.故由)4

1

,(~μN Y ，可得

95.096.12196.12196.121=???

????+<

?????<-Y Y P Y P μμ

其中

01ln 4

1

)2ln 125.0ln 8.0ln 5.0(ln 41==+++=

Y . 于是 {}95.098.098.0=<<-μP 从而)98.0,98.0(-就是μ的置信度为95.0的置信区间. （3）由函数x

e 的严格递增性，有

{}

e e e

P P 48.148.02148.12148.095.0<<=?

??

???<+<-=+-μμ 因此b 的置信度为95.0的置信区间为),(48.148

.0e e

-.

【例7.21】某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（单位：毫

米）如下

14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8 设滚珠直径服从正态分布，若

（1） 已知滚珠直径的标准差为0.15σ=毫米； （2） 未知标准差σ；

求直径均值u 的置信度0.95的置信区间.

【分析】对于正态分布总体，若已知标准差σ时，均值u 的置信度1α-的置信区间为

/2/2X u X u αα?

-+ ?

；未知标准差σ时，均值μ的置信度1α-的置信区间为

/2/2((X t n X t n αα?

--+- ?

，其中S 时样本的标准差.

【解】（1）0.025 1.96u =，9n =.经计算14.91x =.

故已知滚珠直径的标准差0.15σ=毫米时，直径u 的置信度0.95的置信区间为：

()14.91 1.96 1.9614.81,15.01

?

-+= ?

.

（2）经计算：样本标准差0.2028S =，查表可知0.025(8) 2.306t =，于是直径u 的置信度0.95的置信区间为：

()14.91 2.306 2.30614.75,15.07

?

-+= ?

.

【例7.22】设某糖厂用自动包装机装箱外运糖果，由以往经验知标准差为1.15kg ，某日

开工后在生产线上抽测9箱，测得数据如下（单位：kg ）

99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5

（1）试估计生产线上包装机装箱糖果的期望重量的区间估计（0.05α=）； （2）试求总体标准差σ的置信度为0.95的置信区间，并判断以前经验数据标准差为1.15kg 是否仍然合理可用？

【解】（1）由题设可知，总体方差 1.15σ=为已知，根据经验数据有

911899.899.9899i i x x ====∑，当0.05α=时，查表可得0.0252

1.96U U α==，故参数u 的

置信度为0.95

的置信区间为0.025

0.025

((99.23,100.73)x U x U -+=.

（2）由题设可知总体均值未知，故根据经验数据有2

2

1

1() 1.4694n i i S x x n ==-=∑，当

0.05α=时，查表可得22

0.975

0.025(8) 2.180,(8)17.35χχ==，从而参数2σ的置信度为0.95的置信区间为22220.0250.975(1)(1),(0.6704,5.3923)(8)(8)n S n S χχ??

--= ???

，故参数σ的置信度为0.95的置

信区间为(0.8188,2.3221).

而以往经验数据标准差为 1.15S =，仍然在(0.8188,2.3221)内，故认为仍然合理可用.

【例7.23】设总体X 服从正态分布2

(,)N u σ，已知220σσ=，要使总体均值u 对应于

置信水平1α-的置信区间的长度不大于l ，问应抽取多大容量的样本？ 【解】由于2(,)X N u σ，且22

0σσ=为已知，因此当置信水平1α-时，均值u 的置信区

间为2

2

(,)X X αα

，其区间长度为2

α

，于是有2

l α≤，即可得

2

2

022

4n U l α

σ≥. 【例7.24】设总体X 服从正态分布2(,)N u σ，2

0,u σ均为未知参数，12,,

n X X X 为

来自总体X 的一个随机样本，求关于u 的置信水平为1α-的置信区间的长度l 的平方的数

学期望.

【解】因2

0σ未知，选用统计量(1)X T t n =

-.得参数u 的置信水平为1α-的

置信区间为/2/2((X t n X t n αα?--+- ?

，其区间长度为/22(l t n α=-，

于是

222

2

22

2/2/2/244[4(1)](1)()(1)S El E t n t n E S t n n n n n

ααασ=-=-=-.

【例7.25】在甲乙两城市进行家庭消费调查，在甲市抽取500户，平均每户每年消费支出3000元，标准差为1400S =元；在乙市抽取100户，平均每户每年支出4200元，标准差为2500S =元，设两城市家庭消费支出均服从正态分布211(,)N u σ和2

22(,)N u σ，试求： （1）甲乙两城市家庭平均每户年消费支出间差异的置信区间（置信度为0.95）；

（2）甲乙两城市家庭平均每户消费支出方差比的置信区间（置信度为0.90）.

【解】（1）在本题中虽211,u σ和2

22,u σ均未知，但由于抽取样本500,1000n m ==都很大（在使用中只要大于50即可），故可用U 统计量，即参数12u u -的置信度为1α-的置

信区间为X Y u

X Y u ?

---+ ?

，故由3000X =，4200Y =，1400S =，

2500S =以及10.95α-=即0.05α=，查表可得0.025 1.96u =，因此

30004000 1.96120046.79X Y u ?-±=-±-± ? 即甲乙两城市家庭平均每户年消费支出间差异的置信度为0.95的置信区间为

(1246.79,1153.21)--，由于此置信区间的上限小于零，在实际问题中可认为乙市家庭平

均每户年消费支出要比甲市大. （2）由500,1000

n m ==，1400S =，2500S =，10.90α-=即0.1α=，查表可得：

0.052

(1,1)(499,999) 1.13F n m F α--==，

0.9510.05211(1,1)(499,999)(999,499) 1.11F n m F F α---=== ，且221222

4000.64500S S == 于是所求的置信区间为

221122

20.0520.9511

0.64,(,0.64 1.11)(0.566,0.710)(499,999)(499,999) 1.13

S S S F S F ??=?= ??? 由于置信区间上限小于1，故可认为乙市家庭平均每户年消费支出的方差要比甲市大. 【例7.26】某商店销售的一种商品来自甲乙两个厂家，为考察商品性能上的差异，现从甲乙两个厂家生产产品中分别抽取了8见和9件产品，测其性能指标X 得到两组样本观测

值，经计算得 2.190X =， 2.238Y =，210.006S =，2

20.008S =假设性能指标X 均服从

正态分布2(,)(1,2)i i

N u i σ=，试求方差比2

122

σσ及均值差12u u -的90%的置信区间.

【解】（1）先求方差比2

122

σσ置信度为90%的置信区间.由10.90α-=即0.1α=，查F 分

布表可得

0.052

(1,1)(7,8) 3.5F n m F α--==，0.9510.052

11

(1,1)(7,8)(8,7) 3.73

F

n m F F α-

--===

故所求置信区间为

221122

20.0520.9511

0.00610.006,(, 3.73)(0.214,2.798)(7,8)(7,8)0.0083.500.008S S S F S F ??=?= ???

. 由于此区间包含1，故可认为22

12σσ=.

（3）由（1）可知，2212,σσ未知，但222

12σσσ==，因此12u u -的置信区间为

(

)/220.048 1.75310.0840.4860.0480.0716X Y t n m S α-±+-=-±??=± 即(0.1196,0.0236)-，其中0.05(15) 1.7531t =，()()22

122110.00712

w

n S m S S n m -+-=

=+-，即

两个厂家生产的产品性能上无显著性差异.

§历年考研真题评析

1、【02.3.3】 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,

.x e x f x x q q q q --ì?3?=í?

X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数q 的矩估计量为_________.

【分析】由于()()1x E X xe dx q q

q +?

--=

=+ò

，因此，()1E X q =-，

q 的矩估计量为1

1?11n

i i X X n q ==-=-?. 2、【04.3.4】设总体X 服从正态分布21(,)N m s ，总体Y 服从正态分布2

2(,)N m s ，

112,,

,n X X X 和 212,,,n Y Y Y 分别是来自总体X 和 Y 的简单随机样本，则

12221112()()2n n i i i j X X Y Y E n n ==轾犏-+-犏犏=犏+-犏犏臌

邋__________. 【分析】由于1

1

222211

1

11(),()(1)1n n i i i i E X X E

X X n n s s ==骣骣

鼢珑鼢-=-=-珑鼢珑鼢-桫桫邋；

22221()(1)n i j E Y Y n s =骣÷?÷-=-?÷?÷?桫?. 因此， 原式1212n n =+-12

2221

1

()()n n i

i i j E X X Y Y s ==骣÷?÷-+-=?÷?÷?桫邋. 3、【97.1.5】设总体X 的概率密度为(1),01

()0,x x f x θθ?+<<=??

其他其中1θ>-是未知参

数，12,,

n x x x 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似

然估计法求θ的估计值.

【解】总体X 的数学期望为

1

10

1

()(1)2

EX xf x dx x dx θθθθ+∞

+-∞

+==+=

+?

? 令

12

X θθ+=+，得参数θ的矩估计量为21?1X X θ

-=-. 设12,,

n x x x 是相应于样本12,,

n X X X 的一组观测值，则似然函数为

1(1),01(1,2,)

0,n n

i i i x x i n L θθ=???+<<=? ?=???

?

?

∏其他

当01(1,2,

)i x i n <<=时，0L >且

1

ln ln(1)ln n

i

i L n x

θθ

==++∑

令

1

ln ln 01n

i i d L n x d θθ==+=+∑，得θ的极大似然估计值为 1

?1ln n

i

i n

x

θ==--∑.

从而θ的极大似然估计量为1

?1ln n

i

i n

X

θ

==--∑.

4、【99.1.6】设总体X 的概率密度函数为36(),0()0,x

x x f x θθ

θ?-<

其他，12,,

n

X X X 是取自总体X 的简单随机样本.

（1）求θ的矩估计量?θ

； （2）求?θ

的方差?()D θ. 【解】（1）2

3

6()()2

x EX xf x dx x dx θ

θ

θθ+∞

-∞

=

=-=

?

?

记11n i i X X n ==∑，令2

X θ=，得θ的矩估计量?2X θ

=. （2）由于3

2

2

2

30

66()()20

x EX x f x dx x dx θ

θθθ+∞

-∞

=

=-=?

?

22

2

2

26()()20220

DX EX EX θθθ=-=-=

因此?2X θ=的方差为 2

4?(2)4()5D D X D X DX n n

θθ====. 5、【00.1.6】设某种元件的使用寿命X 的概率密度函数为2()2,(,)0,

x e x f x x θθ

θθ--?>=?≤?，

其中0θ>为未知参数，又设12,,n x x x 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计

值.

【解】似然函数为 1

2()122,(1,2,)()(,,

;)0,n

i i x n

i n e x i n L L x x x θθθθ=--?∑?≥===???

其他

当(1,2,

)i x i n θ≥=时，()0L θ>，取对数，得

1

ln ()ln 22

()n

i

i L n x θθ==--∑

因为

ln ()

20d L n d θθ

=>，所以()L θ单调增加.

由于θ必须满足(1,2,)i x i n θ≥=，因此当θ取12,,

n x x x 中的最小值时，()L θ取

最大值，所以θ的最大似然估计值为12?min(,,)n x x x θ=，最大似然估计量为

12

?min(,,)n X X X θ=.

6、【04.1.9】 设总体X 的分布函数为11,1

(,)0,

1x F x x

x ββ?

->?=??≤?，其中未知参数1β>，12,,

n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，求

（1）β的矩估计量； （2）β的极大似然估计量.

【解】X 的概率密度函数为1,1(,)0,

1x f x x x ββ

β+?>?

=??≤?

（1）由于1

1

(;)1

EX xf x dx x

dx x

ββ

βββ+∞

+∞

+-∞

=

==-?

?

令

1

X ββ=-，解得?1X X β

=-，故参数β的矩估计量为?1

X X β

=-. （2）似然函数为

1

121

,1(1,2,)

()(,)()

0,1n

n

i i n i x i n L f x x x x x ββββ+=?>=?==??≤?

∏

当1(1,2,

)i x i n >=时，()0L β>，取对数得1

ln ()ln (1)ln n

i i L n x βββ==-+∑，

两边对β求导，得

1

ln ()ln n

i i d L n x d βββ==-∑， 令

ln ()0d L d ββ

=，可得1

?ln n

i

i n

x

β

==∑，故β的极大似然估计量为1

?ln n

i

i n

X

β

==∑.

7、【06.1.9】设总体X 的概率密度为,01

(,)1,120,x f x x θθθ<

=-≤≤???

其他，其中(01)θθ<<是

未知参数，12,,

n X X X 为来自总体的简单随机样本，记N 为样本值12,,n x x x 中小于1

的个数，求θ的最大似然估计. 【解】 由题意，设样本12,,n x x x 按照从小到大为序（即顺序统计量的观测值）有如

下关系：(1)(2)()(1)()1N N n x x x x x +≤≤

≤≤≤≤

≤

似然函数为(1)(2)()(1)()

(1),1()0,N n N N N n x x x x x L θθθ-+?-≤≤

≤≤≤≤

≤=?

?

其他

对似然函数非零部分取对数得到 ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--

ln ()01d L N n N d θθθθ-=-=-，从而?N n θ=，即θ的最大似然估计值为N n

. 【评注】本题着重考察了最大似然估计的概念和求似然估计的基本方法，本题的难点是“N 为样本值12,,

n x x x 中小于1的个数”的理解.

8、【09.1.11】设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-?>=??其他

，其中参数λλ>（0）

未知，12,,

n X X X 是来自总体X 的简单随机样本

（1）求参数λ的矩估计量；

（2）求参数λ的最大似然估计量. 【解】（1）由题意，220

2

x EX x e dx X λλλ+∞

-=

=

=?

，从而2?X

λ

=为总体的矩估计量. （2）构造似然函数1

2121

1

(,,

;)(;)n

i

i n

n

x n

n i i i i L x x x f x x e

λ

λλλ=-==∑==?∏∏.

取对数1

1

ln 2ln ln n

n

i

i

i i L n x x λλ===+

-∑∑.

令ln 0d L d λ

=，有120n i i n x λ=-=∑，故λ的最大似然估计值为11

22?1n

n i i i i n x x n λ====∑∑ 故其最大似然估计量为1

22?1n

i i X

X n λ

===

∑. 9、【04.3.13】设随机变量X 的分布函数为1(),(,,)0,

x F x x

x βαα

αβα?

->?=??≤?，其中参数0,1αβ>>，设12,,

n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.