河南省郑州市2018-2019学年高一数学上册期末考试题

2018—2018学年上期末考 18届 高一数学试题

说明： 1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，时间120分钟.

2、将第Ⅰ卷的答案填在第Ⅱ卷的答题栏中.

第Ⅰ卷 （选择题、填空题，共80分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{1,0,1}M =-，2{|}N x x x =≤，则M N = （ ） A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,1} 2.下列函数中，在()1,∞-内是增函数的是（ ）

A ．31x y -= B.x x y +=2 C.x

x y -=1

D.x y -=1

3.已知0.6122

log 5,log 3,1,3a b c d -====，那么（ ）

A ．a c b d <<<

B ．a d c b <<<

C ．a b c d <<<

D ．a c d b <<<

4.若函数12)(2--=x ax x f 在区间（0，1）内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,(--∞

B ．(1,)+∞

C ．(1,1)-

D ．)1,0[

5.下列命题中正确的是（ ）

A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

B ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

C ．由五个面围成的多面体一定是是四棱锥

D ．棱台各侧棱的延长线交于一点

6.四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB ，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角的大小是 （ ）

A ．90°

B ．30°

C ．45°

D ．60°

8.矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角

B A

C

D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）

A .π12125

B .π9125

C .π6

125

D .

π3

125 9.函数()l o g (2)a f x a x =-

在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是

（ ）

A ．(1,)+∞

B ．(0,2) C.2

(0,)3

D ．(2,)+∞

10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ?的顶点

(2,0),

(0,A B ，

AC BC =，则ABC ?的欧拉线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．230x y ++= C ． 230x y ++= D ．230x y -+=

11.(1)2k x =-+有两个不等实根，则k 的取值范围是（ ） A ．3

(,)4

+∞ B ．1(,1]3

C ．3(0,)4

D ．3(,1]4

12.设集合{}22(,)|||||,,A x y x y x y x y R =+≤+∈，则集合A 所表示图形的

面积为（ ）

A. 1π+

B. 2

C. 2π+

D. π

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 一个几何体的三视图如右图所示，且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为________． 14

.33

4

2log 2

20.25log 3log 41(--++=______．

15.当(1,3)x ∈时，不等式2

40x mx ++<恒成立，则

m 的取值范围是

________．

16.圆C 的方程为22680x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．

2018—2018学年上期末考

18届高一数学试题答题卷

一、选择题：（共60分）

二、填空题：（共20分）．

13.14.15. 16．

第Ⅱ卷

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本题满分10分）已知集合{}2120A x x x =--<，集合

{}

0822>-+=x x x B ，集合22{|430}(0)C x x ax a a =-+<>.

（Ⅰ）求()R A C B ；

（Ⅱ）若)(B A C ?，试确定正实数a 的取值范围.

18.（本小题满分12分）分别求出适合下列条件的直线方程：

（Ⅰ）经过点(3,2)

P 且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（Ⅱ）经过直线2x+7y－4=0与7x－21y－1=0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离.

.

19.（本小题满分12分）一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时

，已间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1

4

知到今年为止，森林剩余面积为原来的2

. （Ⅰ）求每年砍伐面积的百分比；

（Ⅱ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （III ）今后最多还能砍伐多少年？

20.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ? 折起，使A 移到1A

点，且1A 在平面BCD 上D C A

B

O

A 1

的射影O 恰在CD 上，即1A O ⊥平面DBC ． （Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；

（Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （III ）求点C 到平面1A BD 的距离．

21．（本小题满分12分）如图，已知圆心坐标为

的圆M 与x 轴及直线

y =分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x

轴及直线y =分别相切于C 、D 两点． （Ⅰ）求圆M 和圆N 的方程；

（Ⅱ）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l

被圆N 截得的弦的长度．

22.（本小题满分12分）已知函数1()()2

x f x =, 其反函数为().y g x =

（Ⅰ） 若)12(2++x mx g 的定义域为R ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ） 当[]1,1x ∈-时，求函数[]2()2()3y f x af x =-+的最小值)(a h ； （III ） 是否存在实数2m n >>，使得函数)(x h y =的定义域为[],n m ，值

域为22

,n m ????，若存在，求出m 、n 的值；若不存在，则说明理由．

2018—2018学年上期末考 18届 高一数学试题

参考答案

一、选择题：

1-5 BCBBD 6-10 ABCDA 11-12 DC 二、填空题

13.

14．

5

4

15． 5m ≤- 16． 125

三、解答题：

17.解:（Ⅰ）依题意得，{}{34,4A x x B x x =-<<=<-或}2x >，

()(3,2]

R

A C

B =- .……

5分

（Ⅱ）(2,4)A B = ，由于0a >则{}3C x a x a =<<，由()C A B ? 得2,

34,

a a ≤??≥?所以

4

2.3

a ≤≤

……10分

18. （Ⅰ）解：当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y

a

＝1，

将(－3,2)代入所设方程，解得a ＝1

2

，此时，直线方程为x ＋2y －1

＝0.

当直线过原点时，斜率k ＝－23，直线方程为y ＝－2

3

x ，即2x ＋3y ＝0，

综上可知，所求直线方程为x ＋2y －1＝0或2x ＋3y ＝0. ……6分 （Ⅱ） 解：有274072110

x y x y +-=??

--=?解得交点坐标为(1，72

)，

当直线l 的斜率k 存在时，设l 的方程是y －7

2=k (x －1)，即7kx －7y +(2－7k )=0，

由A 、B 两点到直线l 的距离相等得

=

解得k =4

3

，当斜率k 不存在时，即直线平行于y 轴，方程为x =1时也满足条件.

所以直线l 的方程是21x －28y －13=0或x =1. ……12分

19.解：（Ⅰ）设每年降低的百分比为(01)x x <<． 则a x a 2

1)1(10=-，即

2

1

)1(10=

-x ，解得

101

)2

1

(1-=x . …

…4分

（Ⅱ）设经过m 年剩余面积为原来的

2，则a x a m 2

2

)1(=

-， 即21

10)2

1

()21(=m

，

2110=m ，解得5=m ，故到今年为止，已砍伐了5年． ……8分

（III ）设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为

n x a )1(2

2

-, 令n x a )1(22

-≥a 41，即n x )1(-≥42，10)21(n

≥23

)21(，10n ≤23，解得n ≤

15

故今后最多还能砍伐15

年． ……12分 20.解：（Ⅰ）∵ 1A O ⊥平面DBC ，∴ 1A O ⊥BC ，

又 ∵ BC DC ⊥，1AO DC O = ，

∴ BC ⊥平面1A DC ，∴ 1BC A D ⊥． ……4分

（Ⅱ）∵ 1BC A D ⊥，11A D A B ⊥，1BC A B B = ，

∴ 1A D ⊥平面1A BC ， 又 ∵ 1A D ?平面1A BD ， ∴

平面

1

A B C

⊥平面

1

A B D ． ……8分

（III ）设C 到平面1A BD 的距离为h ，则

∵ 1

1

C A B

D A DBC V V --=， ∴ 11

11

33

A BD DBC S h S AO ???=?， 又 ∵ 1

A BD

DBC S S ??=，1

6824

105

AO ?==，∴ 245h =． ……12分

21.解：（Ⅰ）由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到OA 及OB 的距

离均为⊙M 的半径，则M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA 的平分线．

∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1，则⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，

设⊙N 的半径为r ，其与x 轴的切点为C ，连接MA 、NC ， 由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ∶ON ＝MA ∶NC ，

即23＋r ＝1r

?r ＝3，则OC ＝33， 故⊙N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9. ……6分

（Ⅱ）由对称性可知，所求的弦长等于点过A 的直线MN 的平行线被

⊙N 截得的弦长，此弦的方程是y ＝3

3(x －3)，即x －3y －3＝0，

圆心N 到该直线的距离d ＝3

2

，则弦长为2r 2－d 2＝

33. ……12分 22.解 ：（Ⅰ）12

()log g x x =，2212

(21)log (21)g mx x mx x ++=++定义域为R ，

2210mx x ++>恒成立，所以0,440,m m >???=-

(1,)m ∈+∞. ……4分

（Ⅱ）令1

1(),[,2]22

x t t =∈，22223()3y t at t a a =-+=-+-， 当2,2a t >=时，min 74.y a =-当2,2a t >=时，min 74.y a =- 当2,2a t >=时，min 74.y a =-

274,21()3,2213

1,42

a a h a a a a a ?

?->?

?

=-≤≤??

?-

…8分

（III ）()74,(2,)h x x x =-∈+∞，且()h x 在(2,)x ∈+∞上单调递增.

所以2

2

()74,()74,

h n n m h m m n ?=-=??=-=??两式相减得，4m n +=，与2m n >>矛盾，所以不存在

,m n

满足条

件. ……12分