数学竞赛模拟试题二
高中数学竞赛模拟试题二
一、选择题：
1.设a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，则下列四个结论中正确的是 （ D ）
（A ）ac b ≤2（B ）ac b >2（C ）ac b >2且0>a （D ）ac b >2且0 提示：若0=a ,则0≠b ,则02=>ac b .若0≠a ,则对于二次函数c bx ax x f +-=2)(,由 0)1(,0)2(<->f f 可得结论. 2.在△ABC 中，若a BC AB A ===∠,2,450，则2=a 是△ABC 只有一解的 （ A ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件 3.已知向量)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x x x m ,定义函数x f ?=)(.若对任意的]2,0[π ∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，则m 的取值范围是 （ A ） （A ）),81(+∞（B ）)81 ,0[（C ）)2,81(（D ）),2(+∞ 4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是 （ D ） （A ）36arcsin （B ）33arccos 2+π（C ）2arctan 2-π（D ）22cot arc -π 5.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为 （ A ） （A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）1891 6.设n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足2 )1(1+= ∑=n n x n i i ，!21n x x x n =??? ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是 （ C ） （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9 二、填空题： 7. 若实数x 、y 满足条件122=-y x ，则x y x 212 +的取值范围是___________________. 【答案】)2,2(-.提示:令ααtan ,sec ==y x . 8. 对于给定的正整数4≥n ，等式423n m C C =成立，则所有的m 一定形如_____________.（用n 的组合数表示） 【答案】21-=n C m ( 4≥n ).提示:由423n m C C =得222)13()12(+-=-n n m , 从而21-=n C m ( 4≥n ). 9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________. 【答案】3.0 提示: ξ取值为0,1,2,3，且有43)0(11219===C C P ξ，4492)1(212 1913===C C C P ξ，22092)2(3121923===C C C P ξ，22012)3(412 1933===C C C P ξ. 3.0220 13220924491430=?+?+?+?=∴ξE . 10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。设P 点为椭圆与抛物线的一个交点。如果椭圆E 的离心率e 满足21PF e PF =， 则e 的值为_______. 【答案】3 3 11. 已知0>t ,关于x 的方程22=-+ x t x ,则这个方程有相异实根的个数情况是_________________. 【答案】0或2或3或4. 提示：令221:,2:x t y C x y C --=- =，利用数形结合知： 当210>< 当1=t 时，方程有2个实数根； 当2=t 时，方程有3个实数根； 当21< )(2 -=x x x f （1,≠∈x R x 且）的单调递增区间是______________________. 【答案】),2[],0,(+∞-∞. 提示：1 1)1(2-+ -+=x x y （1≠x ），利用典型函数来分析； 本题也可直接依函数的单调性定义来分析。 三、解答题： 13.向量1OP 、2OP 、3OP 满足条件0321=++OP OP OP 1===，试判断△P 1P 2P 3的形状，并加以证明。 解:∵0321=++OP OP OP ，∴321OP OP OP --=，∴322 322212OP OP OP OP OP ?++=. 又∵1===，∴1232221===OP OP OP ，∴2132-=?OP OP ， ∴21cos 32- =∠OP P ，在△P 2OP 33=. 3=3=.∴△P 1P 2P 3为正三角形. 14.设数列}{n a 满足1111+=?=+n a a a n n ，（*N n ∈），求证：)11(211-+≥∑=n a n k k . 证明:由题意知.,0,2*2N n a a n ∈>=当1=n 时,)12(2111 ->=a ,命题成立； 当2≥n 时，由11+=?+n a a n n ，得n a a n n =?-1，∴1)(11=--+n n n a a a ， 111-+-=n n n a a a ，从而有)11(2222)(111121111-+≥-≥-+=-+=++=-+=∑∑n a a a a a a a a n n n n n k k k n k k . 15.设函数x x x f λ-+=31)(，其中.0>λ （1）求λ的取值范围，使得函数)(x f 在),0[+∞上是单调递减函数； （2）此单调性能否扩展到整个定义域),(+∞-∞上？ （3）求解不等式.12123<+-x x 解：（1）设+∞<<≤210x x ， 则].)1(11)1(1 )[()()(32232313212121λ-+++?+++-=-x x x x x x x f x f 设3223231321)1(11)1(x x x x M +++?+++=，则显然3>M . ∵0)()(21>-x f x f ,∴M 1>λ,∵311 1≥λ,就能使)(x f 在),0[+∞上是单调递减函数； （2）此单调性不能扩展到整个定义域上，这可由单调性定义说明之； （3）构造函数312)(x x x g +-=，由（1）知当0>x 时，)(x g 是单调递增函数。∵12)7(=g ，∴.12123<+-x x )7()(g x g