第3章-磁流体力学方程

第三章磁流体力学方程（MHD ）

§3.1引言

由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演化的。建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。 §3.2二份量MHD 方程

设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。这样，第α类成份流体的密度(,)

n r t α、流速火(,)r

u t α及温度(,)r T t α的定义为：

(,)(,,)r v r v n t d f t αα=

? （3-1） (,)(,)(,,)r r vv r v

n t u t d f t ααα=

? （3-2）

31(,)(,)()(,,)2

r r v

v r v B k n t T t d m u f t αααα=

下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。动力学方程可

以写成：

[()](,,)(,,)v v v r v r v

q E B f t I t t

m αααα

?+??+

+???=? (3-3)

首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()

()v v v v f g d g fd g t t

???=

?????

（2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ??=??=??<>??

（3）

()()()[]()v v v v

v v

v v v v v

q f qE f g E d g d m

m qE g f d m qE g m ???=????=?-??=-?<>

?? 其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞

时为零的条件。

（4）

()()()()()

()v v v B v v B v

v v v B v

f q

g g d f

d m

m q g m

????

?????=-

???

其中利用了关系：()0

v B v

???=?

这样得矩方程：

()()()()(

)v v v v B v v

v v c q g g f g g E g d t m t

?????

<>+??<>-?<>+= ????????

其中：v a afd <>=?为统计平均。 1．

连续性方程

设()1v g =，并对v 积分,则

(,)

[(,)(,)]0r r u r n t n t t t

ααα?+??=? （3-4）

其中利用到0v I d α=?，粒子数守恒。引入电荷密度： (,)

r q q n t α

ααρ= （3-5）

和电流密度： (,)(,)j r u r q n t t α

ααα= （3-6）

将（3-4）两边乘以q α可以得到电荷守恒方程

(,)

(,)0

r j r q t t t

ααρ?+??=? （3-7）

将（3-4）两边乘以αm 可以得到质量连续性方程

(,)

[(,)(,)]0

r r u r m m t t t t

αααρρ?+??=? （3-8）

其中(,)(,)r r m t m n t αααρ=是质量密度。 2．

动量平衡方程

设()v v g m α=，并对v 积分,则可得

()()u u u E j B R

q m n m n P t

ααααααααααβ

ρ?+??+??=+?+? （3-9）

其中 (,)()()(,,)r v v u v u r v

P t d m f t αααα=--? (3-10) 为压强张量。而 R v d m I αβ

ααβ=

? （3-11）

利用连续方程（3-4），方程（3-9）可以化成为

[

]u u E j B R

q m n P t

ααααααααβ

ρ?+??=-??++?+? （3-12）

该方程中各项的物理意义是：

(

)u u m n t

αααα

?+???---流体元的动量变化率；其中u u αα?? --为对流项；

P α-?? --压强梯度产生的力；

q αρ --电场力；

j B α? --洛仑兹力，是由电流穿越磁场而产生的力；

R αβ

--为第α类粒子与第β类粒子碰撞时，其动量的变化率。

方程（3．12）是一个不封闭的方程，因为涉及到高阶矩函数

P 及R αβ，，只有通

过求解动力学方程，才能严格地计算出

及R αβ。在研究等离子体的磁流体状态

时，通常假定等离子体中带电粒子的速度分布基本上为各向同性分布，因此有：

P P I

α=

（3-13）

磁流体

磁流体编辑磁流体，又称磁性液体、铁磁流体或磁液，是一种新型的功能材料，它既具有液体的流动性又具有固体磁性材料的磁性。是由直径为纳米量级（10纳米以下）的磁性固体颗粒、基载液（也叫媒体）以及界面活性剂三者混合而成的一种稳定的胶状液体。该流体在静态时无磁性吸引力，当外加磁场作用时，才表现出磁性，正因如此，它才在实际中有着广泛的应用，在理论上具有很高的学术价值。用纳米金属及合金粉末生产的磁流体性能优异，可广泛应用于各种苛刻条件的磁性流体密封、减震、医疗器械、声音调节、光显示、磁流体选矿等领域。目录 1基本介绍 2发展简史 3制备方法 4研究内容 5研究方法 6研究困境 7实际应用磁流体发电磁流体密封 1基本介绍磁流体作为一种特殊的功能材料,是把纳米数量级(10纳米左右)的磁性粒子包裹一层长链的表面活性剂，均匀的分散在基液中形成的一种均匀稳定的胶体溶液。磁流体由纳米磁性颗粒、基液和表面活性剂组成。一般常用的有

、、Ni、Co等作为磁性颗粒，以水、有机溶剂、油等作为基液，以油酸等作为活磁流体静力学研究导电流体在磁场力作用于静平衡的问题；磁流体动力学研

年伦德奎斯特首次探讨了利用磁场来保存等离子体的所谓磁约束问题，即磁流体静力学问题。受控热核反应中的磁约束，就是利用这个原理来约束温度高达一亿度量级的等离子体。然而，磁约束不易稳定，所以研究磁流体力学稳定性成为极重要的问题。1951年，伦德奎斯特给出一个稳定性判据，这个课题的研究至今仍很活跃。 3制备方法磁流体制备方法主要有研磨法，解胶法，热分解法，放电法等。（1）碾磨法。即把磁性材料和活性剂、载液一起碾磨成极细的颗粒，然后用离心法或磁分离法将大颗粒分离出来，从而得到所需的磁流体。这种方法是最直接的方法，但很难得到300nm以下颗粒直径的磁流体。（2）解胶法。是铁盐或亚铁盐在化学作用下产生Fe3O4或γ-Fe2O3，然后加分散剂和载体，并加以搅拌，使其磁性颗粒吸附其中，最后加热后将胶体和溶液分开，得到磁流体。这种方法可得到较小颗粒的磁流体，且成本不高，但只使用于非水系载体的磁流体的制作。（3）热分解法。是将磁性材料的原料溶入有机溶剂，然后加热分解出游离金属，再在溶液中加入分散剂后分离，溶入载体就得到磁流体。（4）蒸着法。是在真空条件下把高纯度的磁性材料加热蒸发，蒸发出来的微粒遇到由分散剂和载体组成的地下液膜后凝固，当下地液膜和磁性微粒运动到下地液中，混合均匀就得到磁流体。这种方法得到的磁流体微粒很细，一般在2-10nm 的粒子居多。（5）放电法。其原理与电火花加工相仿，是在装满工作液（经常与载体相同）的容器中将磁性材料粗大颗粒放在2个电极之间，然后加上脉冲电压进行电火花放电腐蚀，在工作液中凝固成微小颗粒，把大颗粒滤去后加分散剂即可得到磁流体。[1] 4研究内容研究磁流体问题，首先是建立磁流体力学基本方程组，其次是用这个方程组来解决各种问题。磁流体力学主要用来研究解决的有：理想导电流体运动对磁场影响的问题；或流体静止时，流体电阻对磁场影响的问题，其中包括磁冻结和磁扩散。通过磁场力来考察磁场对静止导电流体或理想导电流体的约束机制。这个问题是磁流体静力学的研究范畴，对受控热核反应十分重要。磁流体静力学在天体物理中，例如在研究太阳黑子的平衡、日珥的支撑、星际间无作用力场等问题的解决中也很重要。研究磁场力对导电流体定常运动的影响。方程的非线性使磁流体动力学流动的数学分析复杂化，通常要用近似方法或数值法求解。它们虽然是简化情况的解，然而清晰地阐明了基本的流动规律，利用这些规律至少可以定性地讨论更复杂的磁流体动力学流动。研究磁流体动力学波，包括小扰动波、有限振幅波和激波。了解等离子体中波的传播规律，可以探测等离子体的某些性质。此外，激波理论在电磁激波管、天体物理和地球物理上都有重要的应用。

等离子体物理讲义06_磁流体力学及静平衡12汇总

等离子体物理学讲义 No. 6 马石庄 2012.03.07.北京第6讲 MHD方程与静力平衡教学目的:建立等离子体的磁流体模型,在拟稳态近似下,建立磁流体动力学方程。依据磁Reynolds数,掌握理想MHD的磁冻结定理和拓扑不变量;无力平衡和有力平衡。主要内容: §1 MHD方程 (3 1.1导心理论引出 (3 1.2 MHD近似 (9 1.3磁应力张量 (12 §2 电磁感应方程 (15 2.1 磁冻结定理 (16

2.2 拓扑不变量 (21 2.3 磁场扩散 (26 §3 MHD静平衡 (28 3.1维里定理 (30 3.2无力平衡 (34 3.3 有力平衡 (36 习题6 (44 在研究等离子体的宏观运动时,通常可以近似地把它当作导电流体来处理。这种模型适合于缓慢变化的等离子体现象。所谓缓慢变化是指等离子体的特征长度和特征时间远大子等离子体粒子的平均自由程和平均碰撞时间。在这种情况下,等离子体可以近似地看作处于局部热平衡状态,因而可以像通常的流体力学中那样定义流体的速度,压强,密度,温度等流体力学及热力学参量并用这些宏观参量来描述等离子体的宏观运动。 §1 MHD方程当导电流体在电磁场中运动时,流体内感生出电场从而产生电流。这个电流一方面与磁场相互作用,产生机械力,对流体运动产生重大影响;另一方面感应出改变原有电磁场的磁场。于是就形成了电磁现象和流体动力学现象相互作用的复杂图像。这些现象必须要用电磁场方程和流体动力学方程的联立方程组来进行研究。 1.1导心理论引出等离子体中的带电粒子在电磁场中的运动可以看作是围绕磁力

线回转的粒子引导中心的漂移叠加,下面探讨微观单个粒子的行为与宏观流体行为之间的关系,给出一种物理直观图象。如图1所示,基本思路是计算导心运动导致的流过等离子体中任意开曲面的垂直电流密度 ,考察这个电流与等离子体压强梯度和惯性力之间的联系。取曲面的法向与磁场正交,仔细考虑回转半径扩张的影响。首先考虑粒子运动的主要贡献是来自圆周回转运动,每个粒子进出曲面的方向相反,对电流没有贡献,如图1(b。换言之,在一个回转周期中,没有净电荷流动。垂直电流由两种不同的机制产生。一个是导心垂直漂移产生的穿过曲面的电荷流,如图1(c;还有一种曲面边界附近的回转运动,如图1(d,所谓磁化电流。粒子的导心漂移速度由漂移, B漂移,曲率漂移和极化漂移构成 E B 2 d d E B 2

第三章线性方程组

第三章线性方程组 §3.1 线性方程组的矩阵消元解法例3.1 求解线性方程组 ??? ??=+-=+-=-+4 5342622321 321321x x x x x x x x x 解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换： ????? ??---411534216122→????? ??---411534210960→???? ? ??---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组： ????? ??---4115342]1[6122 →? ?? ?? ??----111990342 109]6[0 ?→?* ????? ??---11]5.5[0005 .110310 1→? ???? ? ?210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。最后一个矩阵对应方程组 ?? ? ??=++=++=++2 003001 00321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。写成列向量 ()T x 2,3,1=，叫做解向量。显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列直接读出，无需写出对应的方程组。第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1 的线性方程组，写成矩阵形式是??? ? ? ??=????? ??---436115421122x 。

人教版七年级数学上册第三章从算式到方程复习题3(含答案) (78)

人教版七年级数学上册第三章从算式到方程复习题3（含答案) 方程（a ﹣2）x |a |﹣1+3=0是关于x 的一元一次方程，则a =_____．【答案】-2 【解析】由一元一次方程的特点得：|a|?1=1，a ?2≠0，解得：a=?2. 故答案为?2. 72．关于x 的方程（k ﹣1）x |2k ﹣1|+3=0是一元一次方程，那么k=__．【答案】0 【解析】根据题意得|2k ?1|=1且k ?1≠0，解得k=0. 故答案是：0. 73．已知方程3x+2y=5，用含x 的式子表示y ，则y=______. 【答案】532 x - 【解析】 325x y += ，253y x ∴=- ，532 x y -∴= . 74．由方程3x －2y －6＝0可得到用x 表示y 的式子是_________. 【答案】362 x y -= 【解析】 ∵3x －2y －6＝0， ∴3x －6＝2y ，

即2y=3x －6， ∵362 x y -= 75．已知方程3(21)12x x -=-与关于x 的方程82(1)k x -=+的解相等，则k =________．【答案】5 【解析】解方程3（2x-1）=1-2x 得：x=12 ,由两个方程同解，所以将x=12 代入方程()821k x -=+中得8-k=2×(12 +1), 解得：k=5. 故答案是：5． 76．已知方程23)42m m x m --+=（是关于x 的一元一次方程，则m =__________．【答案】1 【解析】 ∵方程（m-3）x |m-2|+4=2m 是关于x 的一元一次方程， ∵m-3≠0，|m-2|=1，解得：m=1，故答案是：1． 77．如果3(4)80a a x +++=是关于x 的一元一次方程，那么21a a +-= __________．【答案】1 【解析】

磁流体力学magnetohydrodynamics

磁流体力学magnetohydrodynamics 磁流体力学magnetohydrodynamics 结合流体力学和电动力学的方法研究导电流体和电磁场相互作用的学科。导电流体在电磁场里运动时，流体中就会产生电流。此电流与磁场相互作用，产生洛伦兹力，从而改变流体的运动，同时此电流又导致电磁场的改变。对这类问题进行理论探讨，必须既考虑其力学效应，又考虑其电磁效应。磁流体力学包括磁流体静力学和磁流体动力学。磁流体静力学研究导电流体在电磁力作用下的静平衡问题，如太阳黑子理论、受控热核聚变的磁约束机制等。磁流体动力学研究导电流体与电磁场相互作用时的运动规律，如各种磁流体动力学流动和磁流体动力学波等。等离子体和液态金属都是导电流体。前者包括99%以上的宇宙物质，后者包括核动力装置中的携热介质（如钠、钾、钠钾合金）、化学工业中的置换剂（如钠、钾、汞）、冶金铸造工业中的熔融金属等。地球表面一般不存在自然等离子体，但可因核辐射、气体放电、燃烧、电磁激波、激光等方法产生人工等离子体。因此，磁流体力学不仅与等离子体物理学有联系，还在天体物理研究（如磁场对日冕、黑子、耀斑的影响）、受控热核聚变和工业新技术（如电磁泵、电弧加热器、磁流体发电、电磁输送、电磁推进等）中

得到发展和应用。基础磁流体力学以流体力学和电动力学为基础﹐把流场方程和电磁场方程联立起来﹐引进了许多新的特徵过程﹐因而内容十分丰富。宇宙磁流体力学更有其特色。首先﹐它所研究的对象的特徵长度一般来说是非常大的﹐因而电感的作用远远大于电阻的作用。其次﹐其有效时间非常久﹐所以由电磁原因引起的某些作用力纵然不大﹐却能产生重大效应。磁流体力学大体上可以和流体力学平行地进行研究﹐但因磁场的存在也具有自己的特点﹕在磁流体静力学中的平衡方程﹐和流体静力学相比﹐增加了磁应力部分﹐这就是产旁际母荨T硕г诖帕魈辶ρе杏兄煌暮濠o它研究磁场的“运动”﹐即在介质流动下磁场的演变。与正压流体中的涡旋相似﹐磁场的变化也是由对流和扩散两种作用引起的。如果流体是理想导体﹐磁力线则冻结在流体上﹐即在同一磁力线上的质点恒在同一磁力线上﹐如果电导率是有限的﹐则磁场还要扩散。两种作用的强弱取决于磁雷诺数4πUL/c(c为光速﹐为电导率﹐U和L分别为问题的特徵速度和特徵长度)的大小。研究流动如何产生和维持天体中磁流发电机制(见太阳平均磁流发电机机制)﹐目前大多是以运动学为基础的。分支磁流体力学是结合经典流体力学和电动力学的方法，研究导

线性代数第3章_线性方程组习题解答

习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ，与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ，即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量），令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为

,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数．（2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?，与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ，即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为

磁流体力学数值方法及其在磁约束聚变中的应用-LSEC

磁流体力学数值方法及其在磁约束聚变中的应用（2018年7月16日-17日）倪明玖研究员中国科学院大学本系列课程主要介绍求解三维不可压磁流体动力学问题的有限体积法，主要围绕磁约束聚变反应堆关键部件研发，介绍液态金属磁流体力学的计算方法及应用。课程内容主要包括：－磁约束聚变反应堆关键部件研发涉及的液态金属磁流体力学的研究背景－不可压流体的Navier-Stokes方程，介绍投影法及源项的处理方法－磁流体力学的一种精确计算方法-相容守恒格式－自由界面MHD，固体颗粒两相流MHD，湍流MHD，介绍其基本算法及具体应用。授课老师简介倪明玖，1997年获西安交通大学博士学位，1999-2001年为日本京都大学JSPS（日本学术振兴会）博士后，2001-2007年在美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）从事磁约束聚变相关的磁流体力学研究，2007年起为中国科学院大学教授。曾获国家杰出青金科学基金和中国科学院“百人计划”支持，为磁约束聚变能专项项目首席，基金委重点基金项目负责人。研究方向：磁流体力学、计算流体力学、多相流传热、核聚变工程技术。

不可压磁流体动力学方程组的混合有限元方法（2018年7月18日-21日）郑伟英研究员中国科学院数学与系统科学研究院本系列课程主要介绍求解三维不可压磁流体动力学方程组的混合有限元方法及高效求解算法，重点关注有限元方法的守恒型和求解算法的最优性。课程内容主要包括：－ Stokes 方程和不可压 Navier-Stokes 方程的有限元方法；－无感应磁流体方程组的电荷守恒型有限元方法；－完整磁流体方程组的质量、磁通守恒有限元方法；－基于算子预处理，设计离散问题的高效求解算法。授课老师简介郑伟英，研究员，1996年和1999年于郑州大学分别获数学学士、硕士学位；2002年于北京大学获计算数学博士学位，2002.7-2004.6年为中科院数学与系统科学研究院博士后；2006.11—2007.12为德国慕尼黑科技大学（TUM）洪堡基金访问学者；2004年6月以来在中科院数学与系统科学研究院工作至今；现任研究员，“科学与工程计算国家重点实验室”副主任；2017年获国家杰出青年科学基金资助。主要从事复杂介质电磁场问题、不可压磁流体问题的算法研究与并行程序研制，曾在大型变压器的可计算建模、分层介质电磁散射问题的完美匹配层方法、三维磁流体的守恒型有限元方法等方向取得重要进展。

磁流体力学方程

第三章磁流体力学方程（MHD ） §3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演化的。建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。 §3.2二份量MHD 方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。这样，第α类成份流体的密度(,) n r t α、流速火(,)r u t α及温度(,)r T t α的定义为： (,)(,,)r v r v n t d f t αα=? （3-1） (,)(,)(,,)r r vv r v n t u t d f t ααα=? （3-2） 231(,)(,)()(,,)22 r r v v r v B k n t T t d m u f t αααα=-? 下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。动力学方程可

流体动力学模拟理论 (2)

面内的质量速率相等。（换句话说，曲面内的质量为定值，曲面外的质量也是定值）以上方程可以用曲面上的积分式表示。流体力学假设所有流体满足以下的假设： ·质量守恒·动量守恒·连续体假设在流体力学中常会假设流体是不可压缩流体，也就是流体的密度为一定值。液体可以算是不可压缩流体，气体则不是。有时也会假设流体的黏度为零，此时流体即为非粘性流体。气体常常可视为非粘性流体。若流体黏度不为零，而且流体被容器包围（如管子），则在边界处流体的速度为零。流体力学的研究内容流体是气体和液体的总称。在人们的生活和生产活动中随时随地都可遇到流体，所以流体力学是与人类日常生活和生产事业密切相关的。大气和水是最常见的两种流体，大气包围着整个地球，地球表面的70%是水面。大气运动、海水运动(包括波浪、潮汐、中尺度涡旋、环流等)乃至地球深处熔浆的流动都是流体力学的研究内容。 20世纪初，世界上第一架飞机出现以后，飞机和其他各种飞行器得到迅速发展。20世纪50年代开始的航天飞行，使人类的活动范围扩展到其他星球和银河系。航空航天事业的蓬勃发展是同流体力学的分支学科——空气动力学和气体动力学的发展紧密相连的。这些学科是流体力学中最活跃、最富有成果的领域。石油和天然气的开采，地下水的开发利用，要求人们了解流体在多孔或缝隙介质中的运动，这是流体力学分支之一——渗流力学研究的主要对象。渗流力学还涉及土壤盐碱化的防治，化工中的浓缩、分离和多孔过滤，燃烧室的冷却等技术问题。燃烧离不开气体，这是有化学反应和热能变化的流体力学问题，是物理-化学流体动力学的内容之一。爆炸是猛烈的瞬间能量变化和传递过程，涉及气体动力学，从而形成了爆炸力学。沙漠迁移、河流泥沙运动、管道中煤粉输送、化工中气体催化剂的运动等，都涉及流体中带有固体颗粒或液体中带有气泡等问题，这类问题是多相流体力学研究的范围。等离子体是自由电子、带等量正电荷的离子以及中性粒子的集合体。等离子体在磁场作用下有特殊的运动规律。研究等离子体的运动规律的学科称为等离子体动力学和电磁流体力学，它们在受控热核反应、磁流体发电、宇宙气体运动等方面有广泛的应用。风对建筑物、桥梁、电缆等的作用使它们承受载荷和激发振动；废气和废水的排放造成环境污染；河床冲刷迁移和海岸遭受侵蚀；研究这些流体本身的运动及其同人类、动植物间的相互作用的学科称为环境流体力学(其中包括环境空气动力学、建筑空气动力学)。这是一门涉及经典流体力学、气象学、海洋学和水力学、结构动力学等的新兴边缘学科。生物流变学研究人体或其他动植物中有关的流体力学问题，例如血液在血管中的流动，心、肺、肾中的生理流体运动和植物中营养液的输送。此外，还研究鸟类在空中的飞翔，动物在水中的游动，等等。

带Hall项的一类磁流体力学方程组解的性态分析

带Hall项的一类磁流体力学方程组解的性态分析本文研究一类带Hall项的磁流体力学方程组,包括带正常扩散的不可压 Hall-MHD方程组、带反常扩散即分数阶耗散的广义Hall-MHD方程组及带分数阶耗散的广义两相流MHD方程组等.Hall项被认为是发生在大型磁剪切中磁重联现象的一个本质特征,能很好地描述地球物理、天体物理、等离子体物理中的物理现象.本文讨论了这类方程的适定性和解的长时间行为,并给出了一些解在有限时间爆破的判别准则.首先,我们研究三维带电阻的粘性不可压Hall-MHD方程组的Cauchy问题:利用Holder不等式,估值空间Hs(R3)(s>3/2)的代数性质,Young不等式,我们证明了该初值问题在低正则Sobolev空间 Hs(R3)(3/2<s ≤2/5)中强解的局部适定性.在证明方法中,合理有效的交换子估计和Sobolev嵌入关系对处理该方程组中Hall项的强非线性性和降低正则指标起到了关键作用.进一步,我们证明了该Cauchy问题小初值解的全局存在性.针对三维带电阻的粘性不可压广义Hall-MHD方程组的Cauchy问题:首先,在做磁场的高阶正则估计时,通过分部积分转移掉对流项中的一阶导数,然后利用 Kato-Ponce交换子估计和Sobolev嵌入关系,我们证明了小初值解的全局存在性,并将文献中的耗散指标α,β从α = β∈(1,6]扩大到α = β∈(1,3/2).进一步,我们讨论了耗散指标α = β∈[1,5/4)时,相应解的长时间行为.其次,我们考虑三维带电阻的粘性不可压广义Hall-MHD方程组Cauchy问题解的爆破准则.利用Fourier局部化技术,Bony仿积分解,Sobolev嵌入,插值不等式和Young不等式等分析技巧,我们得到了在更一般的函数空间-Besov空间中局部解的爆破准则.最后,我们考虑三维不可压的广义two-fluid MHD方程组的Cauchy问题:首先通过交换子估计,Sobolev嵌入,插值不等式,Young不等式,我们证明了α =β∈(1,3/2)时,初值在低正则Sobolv空间Hm(R3)× Hm+1(R3),m>7/2-2α中系统解的局部存在性.其次,通过Fourier局部化技术和交换子估计,我们获得了局部解在t = T时刻的正则准则.

线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组

习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.

习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.

3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

磁流体力学简介

磁流体力学简介 ——《力学学报》编辑部约邱孝明为科技部写的，写于2005年7月31日修改于同年8月 11日. Magneto-fluid mechanics, hydromagnetics, magnetohydrodynamics 以上三个英文词的中文意思都是磁流体力学，常用的是magnetohydrodynamics（缩写成MHD）。最初，MHD是指单流体；后来，不断衍生出一些新分支，如双温或三温MHD、辐射磁流体力学RMHD、EMHD（它是指包含了电子惯性的MHD）。今天人们把它们统称为MHD。它是结合经典流体力学和经典电动力学的方法研究导电流体（等离子体、液态金属或电解液等）在外加磁场中流动时与电磁场（其中的磁场不仅有外加的有时还有自生的）之间相互作用的学科。不少教科书把MHD看作是等离子体物理学的一个分支，还认为它是等离子体动力论（kinetics）的一种宏观近似（下面将看到，这些看法未必准确）；其实，它的发展历史比等离子体还早（前者始于1832年；后者1879年），特别是后来一些需要用MHD 来认识和解决的科学和技术问题的不断涌现使它已成为一门独立的学科而备受物理学、力学、应用数学和技术科学界的重视。这些问题包括：1. MHD发电；2. 磁重联和磁岛的产生与演变是磁约束聚变MCF（特别是其主要途径tokamak）、太阳物理和空间物理长期研究的重大课题；3. MHD湍流及其输运是MCF长期研究的重大课题（特别是，tokamak中的新经典撕裂模MHD湍流更是湍流这个跨世纪难题中的难题；不过，最近tokamak界已经找到实验上控制和利用新经典撕裂模MHD湍流的办法），也是快中子堆和聚变堆以及最近几年一些工业应用中液态金属流动研究的重大课题；4. 辐射磁流体力学（RMHD）是核武器物理和惯性约束聚变ICF长期研究的重大课题；5. 磁瑞利-泰勒（MRT）不稳定性是快Z篐缩等离子体辐射源PRS长期研究的重大课题（PRS将成为新兴学科高能量密度物理和实验室宇宙物理、ICF、材料科学等研究中的重要手段）；6. MHD减阻是最近十多年航空航天界及航海界迅速兴起的重大研究课题；7. MHD 有序结构（如soliton、shock等）和混沌，它们的研究正在不断丰富非线性科学的内容[邱孝明，《力学进展》20（1990）499]；8. 热、低温等离子体历来是滋生新兴应用研究领域的“肥沃土壤”（包括较新的“材料的电磁加工EPM”和“磁流变流体MRF”，最新的“新型人工电磁介质又称负折射率介质或左手变质介质left-handed metamaterials”和“等离子体光子晶体PPC”），但这些新兴应用研究领域的基本理论仍旧是MHD理论；9. 热、低温等离子体的另两个热门应用领域（等离子体推进器和等离子体隐身），除N-S方程外，它们的基本理论也是MHD理论；10. 一些原本是等离子体的动力论（kinetics）效应但用动力论理论又难以解决的难题，例如有限拉莫半径（FLR）

人教版-数学-七年级上册-第三章从算式到方程导学案

班级 70 姓名编号 NO :34 日期: 比一比，看谁表现最好！拼一拼，力争人人过关！课题：从算式到方程设计者: 七年级数学组自研课（时段：晚自习时间： 10 分钟） 1.旧知链接：列式解答：①比x 的 4 11倍大3的数是； ②比x 与－y 的差的2倍小1的数是；③x 的20﹪与10的差是。 2.新知自研：自研教材P 79内容，列式解答下列问题：（1）王家庄到翠湖之间的距离为（x －50）km ，一列列车从王家庄到翠湖用了3h ,这列列车的速度为 km /h . （2）王家庄到秀水之间的距离为（x +70）km ，一列列车从王家庄到秀水用了5h ,这列列车的速度为 km /h . 展示课（时段：正课时间： 60 分钟）学习目标： 1.了解方程及一元一次方程的概念；2.初步感知如何列出方程. 导学流程自研自探环节合作探究环节展示提升环节质疑评价环节总结归纳环节自学指导（内容·学法·时间）互动策略（内容·形式·时间）展示方案（内容·方式·时间）随堂笔记（成果记录·知识生成·同步演练）问题探究与例题导析 40分同学们，在刚刚结束的假期里，你有没有出去旅游放松下呢？今天，老师将带领大家去做一次旅游，准备好了吗？一起出发吧！【学法指导】自研课本p 79问题： 1、青山、翠湖、秀水是一个风景优美的地方，铜都双语学校组织了一次冬游，带领同学们从王家庄出发，沿途欣赏这三个地方，画出你旅行线路的线段示意图，把相关的已知条件标注在示意图上. 2.设王家庄到翠湖的路程为x 千米，结合示意图，分别列出王家庄——青山与王家庄——秀水的速度表达式. 3.试着说说“匀速”的含义,并比较刚才得到的两个表达式，你有什么发现？根据你的发现，列出等式. ★如果设王家庄到青山的路程为x 千米，你还能得出怎样的等式呢？ ①两人小对子针对自研成果的规范、工整方面迅速给出自研等级认定； ②五人互助组结合自我探究的结果（1）重点分析由表达式到等式的过程；（2）带领组员观察列出的等式，初步认知由算式到方程的必备元素. ③十人共同体在组长主持下进行组内展示自研成果的内容，力争人人过关. （10min ）展示单元一：方案预设1：主题：从算式到方程 1.结合线段示意图，带领大家分析题意，理清王家庄到各个旅游胜地的路程与时间； 2．结合学法指导，找到问题的等量关系，列出等式； 3、结合等式，寻找其特点，总结方程的概念. 方案预设2：主题：例题导析 1.先根据题意设出未知数，分析列方程所依据的等量关系，在黑板上呈现例题的解题过程，并和同学们共同分享解题思路. 2.搜索黑板上列出的方程，观察它的特点，归纳总结一元一次方程的相关概念. 3、带领同学们共同完成右边的小练笔. （20min ）重点识记： 1.方程： 2.一元一次方程： 3.方程的解：等级认定：小练笔：下列哪些是方程？哪些是一元一次方程？ ①2x －3=5 ②x =1 ③x 2－x +1=0 ④2x －3y =2 ⑤x 1 +1=2x ⑥2x －1 ⑦2×5－3=7 ⑧ax +b =0 同类演练：根据下列问题，设未知数，列出方程： 1.环形跑道一周长400m ，沿跑道跑多少周，可以跑3000m ？ 2.一个梯形的下底比上底多2cm ，高为5cm ，面积为40cm 2，求上底. 认真自研P 80例1，初步感受例题的解题思路，找出等量关系，并列出方程. 【自我探究】 1. 你能解释所列方程中等号两边各表示什么意思吗？体会列方程所依据的相等关系. 2.根据例题中列出的方程，观察方程的特点，总结一元一次方程的概念，并完成右边的小练笔. （完成于右边的随堂笔记处）（10min ）

第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案.

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解； (C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组

（1），（2）（3） 9．若方程组有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时， 3．设是矩阵，且，而，则 .

4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使（1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为 . 9．设，，，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）.

（A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或（C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且（C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）. （A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）.

（A）时，（B）时，（C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件. 16．设方程组有无穷多个解，则. 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解（C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解（C）当时仅有零解（D）当时必有非零解 19．求的值，使齐次线性方程组有非零解，并求出通解.

2019版七年级数学上册第三章 3.1 从算式到方程课时练 (新版)新人教版

2019版七年级数学上册第三章 3.1 从算式到方程课时练（新版）新人教版一、选择题 () A. 3x=2 B. 3x+2= C. 3x- 2= D. 3x+2=0 2. 下列方程中是一元一次方程的是() A. x+2y=9 B. x2-3x=1 C. =1 D. x-1=3x 3. 利用等式的性质解方程,下列过程正确的是() A. 由3+x=5,得x=5+3,即x=8 B. 由7x=-4,得x=- C. 由1+2x=5,得2x=4,所以x=2 D. 由-x+1=0,得-x=1,所以x=-3 4. 如果a=b,那么下列结论中正确的是() A. a+c=b-c B. ac=b C. a-c=b-c D. 5. 下列各式运用等式的性质变形,错误的是() A. 若ac=bc,则a=b B. 若,则 a=b C. 若c-a=c-b,则a=b D. 若(m2+1)a=(m2+1)b,则 a=b 6. 下列变形中符合等式性质的是() A. 如果2x-3=7,那么2x=7-3 B. 如果3x-2=x+1,那么3x-x=1-2 C. 如果-2x=5,那么x=5+2 D. 如果-x=1,那么x=- 3 7. 下列方程中解不是x=-2的是() A. 4x+7=-1 B. 3x+1=2x-1 C. =-x-1 D. x+3=5x-2 8. 方程x-1=1的解是()

A. x=2 B. x=1 C. x=0 D. x=-1 9. 某校有学生x人,若女生占全体学生数的48%,比男生少80人,则可列方程为()

A. 0.48x-(1-0.48)x=80 B. (1-0.48)x- 0.48x=80 C. 0.48x+(1-0.48)x=80 D. 0.48x+(1+0.48)x=80 10. 设某数为x,根据下列条件,列方程错误的是() A. 某数的20%与10的差的一半是-2,由题意列方程:(20%x-10)=- 2 B. 某数与2的差的绝对值加1等于2,由题意列方程:|x- 2|+1=2 C. 某数的与m的差比m的2倍少3,由题意列方程:x-m=2m-3 D. 某数的6倍比它的三分之一多9,由题意列方程:6x+9=x 11. 关于以下各式: ①x=0; ②x2+3x-1=0; ③3x-4; ④; ⑤2+3=8-3; ⑥3x-2y=5; ⑦x+1>0. 其中一元一次方程的个数为() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12. 小红有15枝铅笔,小明有9枝铅笔,若小明给小红x枝铅笔,这时小红的铅笔枝数就是小明的2倍,则列方程正确的是() A. 15+x=2(9-x) B. 15-x=2(9- x) C. 15+x=2×9 D. 2(15+x)=9-x 13. 下列所给的条件中,不能列出方程的是( ) A. 某数比它的平方小6 B. 某数加上3,再乘2等于 14 C. 某数与它的一半的差 D. 某数的3倍与7的和等于 29 14. 下列变形正确的是( ) A. 由-3x=2,得x=- B. 由-2x-1=0,得 x= C. 由-x-3=0,得x=-3 D. 由x=-1,得x=-

常微分方程学习活动6 第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习

常微分方程学习活动6 第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。一、填空题 1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组Y A Y )(d d x x =，n R Y ∈的任一非零解在1 +n R 空间不能与x 轴相交． 2．方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线． 3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的必要条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0． 4．线性齐次微分方程组n x x x R Y R Y A Y ∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于 n+1 个． 5．若函数组)()(21x x ??，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上恒等于． 6．函数组?? ?==x y x y cos sin 2 1的朗斯基行列式)(x W 是 x x x x x W sin cos cos sin )(-= 7．二阶方程02 =+'+''y x y x y 的等价方程组是 ?????--='='y x xy y y y 2 11 1 ． 8．若)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们没有共同零点． 9．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是线性无关． 10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 n 个． 11．在方程y″+ p (x )y′+q (x )y = 0中，p (x ), q (x )在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上可以与x 轴横截相交．

博士高等电动力学

《高等电动力学》课程考试大纲一、参考教材：《经典电动力学》上、下册[美]J.d.杰克逊著高等教育出版社二、基本内容及要求：考试目的是考查考生对高等电动力学的基本概念、基本原理和基本方法的掌握、程度和利用基础知识解决物理、工程领域中相关问题的能力。考试主要内容如下：第一章绪论真空中的麦克斯韦方程组、场和源，媒质中的宏观麦克斯韦方程组。第二章静电学导论库仑定律，电场强度，高斯定律的微分形式，泊松方程和拉普拉斯方程。第三章静电学中边值问题（I）用电像法解均匀电场中的导电球，球的格临函数；势的通解，分离变数法；直角坐标中的拉普拉斯方程。第四章静电学中的边值问题（II）球坐标中的拉普拉斯方程，轴对称的边值问题，柱坐标中的边值问题。第五章多极子，宏观媒质的静电学，电介质有质媒质静电学的初步处理，分子极化率和电极化率，分子极化率的模型。第六章静磁学静磁学的微分方程和安培定律，圆形电流回路的矢势和磁感应强度，外磁场中的磁化球；永久磁铁，磁屏蔽；放在均匀磁场中的用导磁材料做成的球壳。

第七章随时间变化的场，麦克斯韦方程组，守恒定律法拉第感应定律，麦克斯韦位移电流，麦克斯韦方程组，宏观电磁学方程组的推导，坡印廷定理，带电粒子和电磁场的联合系统的能量和动量守恒定律，宏观媒质的守恒定律，谐振场的坡印廷定理；根据场的概念定义的阻抗和导纳。第八章平面电磁波和波的传播线偏振和圆偏振；斯托克斯参数，电磁波在电介质的平面分界面上的反射和折射，反射引起的偏振和全内反射，电介质、导体和等离子体的频率色散特性，一维波的叠加；群速度。第九章波导和谐振腔柱形空腔和波导，波导，波导中的能流和衰减，谐振腔，谐振腔的功率损失；谐振腔的Q值。第十章简单辐射系统；散射和衍射散射的微扰论；瑞利对蓝天的解释；气体和液体引起的散射，标量衍射理论，矢量衍射理论，圆孔衍射；关于小孔的评述，短波长极下的散射。第十一章磁流体动力学和等离子体物理学磁流体动力学方程，磁扩散，磁粘滞性入磁压强，箍缩效应，磁流体动波，等离子体振荡，等离子体振荡的短波长限和德拜屏蔽距离。第十二章狭义相对论洛仑兹变换和狭义相对论的基本的运动学结果,粒子的相对论动量和能量,电磁场的变换。第十三章相对论性粒子和电磁场的动力学关于由库仑定律和狭义相对论得出磁场、磁力和麦克斯韦方程组的问题,在均匀静磁场中的运动,在均匀静电场和静磁场的并合场中的运动,在非均匀静磁场中粒子的漂移,普罗卡拉格朗日函数;光子质量效应,正则胁强张量和对称胁强张量;守恒定律。