定点与定直线问题

1抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边

界).),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.

2若点已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y -+=的两侧，且0a >且1a ≠，0b >，则

a -的取值范围是 3已知曲线2

:4C x y =--，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上

的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .

4椭圆22

:143

x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是--------------

5设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为0

60的直线11A B 和

22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双

曲线的离心率的取值范围是zhangwlx

（）

6已知直线y a =交抛物线2

y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.

7在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C .

（Ⅰ）求轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个

公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.

8如题图，设椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22

||F F DF =，12DF

F ?的面积为22. （1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

9椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为32

,过1F 且垂直于

x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线

PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共

点,设直线1

2,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211

kk kk +

为定值,并求出这个定

值.

10如图，已知两条抛物线)0(2:112

1>=P x P y E 和

)0(2:222

2>=P x P y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，

1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交

于21,B B 两点．

（Ⅰ）证明：2211//B A B A ；第（19）题图

（Ⅱ）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点．记111C B A ?与

222C B A ?的面积分别为1S 与2S ，求

S S 的值． 11设椭圆22

2:1(0)x C y a a

+=>的两个焦点是12(,0)(,0)(0)F c F c c ->和，

且椭圆C 上的点到焦点F 2的最短距离为3 2.- （1）求椭圆的方程；

（2）过点)2,0(且斜率k 为的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,P Q ，是否存在k ，使得

向量OP OQ +与AB 共线？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由．

12已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的离心率32e =，且短半轴121,,b F F =为其左右焦点，P 是

椭圆上动点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当1260F PF ∠=?时，求12PF F △面积；（Ⅲ）求12PF PF ?取值范围．

F 2

F 1

第21题图

l 2l 1

A 2A 1

B 2

B 1

E 2E

二定点与定直线问题

1设椭圆22

:11x y E a a +

=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;

(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11

F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上. 2已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为

.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;

(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值.

3已知椭圆()222210x y a b a b

+=>>的离心率6

3e =，右焦点F 到直线0x y a b +=的距离为1．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）已知点,M N 为椭圆的长轴的两个端点，作不平行于坐标轴的割线AB ，若满足AFM BFN ∠=∠，求证：割线AB 恒经过一定点．

4如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点

P 是线段AM 的垂直平分线与直线CM 的交点．

（1）求点P 的轨迹曲线E 的方程；

（2）设点00(,)P x y 是曲线E 上任意一点，写出曲线E 在点00(,)P x y 处的切线l 的方程；（不要求证明）

（3）直线m 过切点00(,)P x y 与直线l 垂直，点C 关于直线m 的对称点为

D ，证明：直线PD 恒过一定点，并求定点的坐标．

5设M 为抛物线2

4(0)C x py p =>：准线上的任意一点，过点M 作曲线

C 的两条切线，设切点为A 、B .

（Ⅰ）直线AB 是否过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由;

（Ⅱ）当直线,,MA MF MB 的斜率均存在时，求证：直线,,MA MF MB 的斜率的倒数成等差数列.

6在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记

1122()()ax by c ax by c η=++++. 若0η<，则称点12,P P 被直线l 分割. 若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线

C 的一条分割线. P

C M

(1) 求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割；

(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；

(3) 动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E . 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.

7已知椭圆E ：22

221x y a b

+=(0a b >>)过点(3, 1)P ，其左、右焦点分别为12, F F ，且

126F P F P ?=-.

(Ⅰ)求椭圆E 的方程；

(Ⅱ)若,M N 是直线5x =上的两个动点，且12F M F N ⊥，则以

MN 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．