【高考领航】2017届高三数学(文)二轮复习练习：选修4-5 不等式选讲.doc

选修4－5 不等式选讲

考点整合

1．含有绝对值的不等式的解法

(1)|f (x )|＞a (a ＞0)?f (x )＞a 或f (x )＜－a ；

(2)|f (x )|＜a (a ＞0)?－a ＜f (x )＜a ；

(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

2．绝对值三角不等式

|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式．

3．基本不等式

定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．

定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号

成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式

(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．

(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑n i ＝1a 2i )(∑n i ＝1b 2i )≥(∑n i ＝1a i b i

)2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．

(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a |·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．

类型一 绝对值不等式

[例1] (2016·高考全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.

(1)画出y ＝f (x )的图象；

(2)求不等式|f (x )|＞1的解集．

解：(1)f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|

＝????? x －4，x ≤－13x －2，－1＜x ≤32－x ＋4，x ＞32

故y ＝f (x )的图象如图所示．

(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，

当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；

当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.

故f (x )>1的解集为{x |1

f (x )<－1的解集为??????

????x ??? x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为

??????

????x ??? x <13或15. [解后反思] 根据绝对值的意义，分段讨论去绝对值号

1．(2016·高考全国丙卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .

(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；

(2)设函数g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.

解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.

因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．

(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥

|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，

当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．

当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.

所以a 的取值范围是[2，＋∞)．

类型二 不等式证明

[例2] (2016·高考全国甲卷)已知函数f (x )＝??????x －12＋????

??x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．

(1)求M ；

(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.

解：(1)f (x )＝????? －2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，

2x ，x ≥12.

当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；

当－12＜x ＜12时，f (x )＜2； 当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.

所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．

(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，

从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.

因此|a＋b|＜|1＋ab|.

[解后反思]不等式的证明可以用综合法、作差法、分析法等．

2．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：

(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；

(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．

证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，

由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，

得(a＋b)2＞(c＋d)2.

因此a＋b＞c＋d.

(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，

即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.

因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.

由(1)得a＋b＞c＋d.

②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，

即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.

因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.

于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.

因此|a－b|＜|c－d|.

综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．

限时规范训练十选修4－1、4－4、4－5

(建议用时45分钟)

解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

1．如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，

C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：

(1)BE＝EC；

(2)AD·DE＝2PB2.

证明：(1)连接AB，AC，

由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA，

因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，

∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，

∠DCA＝∠P AB，

所以∠DAC＝∠BAD，从而＝，因此BE＝EC.

(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.

因为P A＝PD＝DC，

所以DC＝2PB，BD＝PB.

由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，

所以AD·DE＝2PB2.

2.(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．

(1)证明：EF∥BC；

(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．

解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，

所以AD是∠CAB的平分线．

又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF ∥BC.

(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，

故AD是EF的垂直平分线．

又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．

连接OE，OM，则OE⊥AE.

由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.

因此△ABC和△AEF都是等边三角形．

因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2.

因为OM＝OE＝2，DM＝1

2MN＝3，所以OD＝1.

于是AD＝5，AB＝103 3.

所以四边形EBCF的面积为1

2×?

?

?

?

?

103

3

2×

3

2－

1

2×(23)

2×

3

2＝

163

3.

3．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π

4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．

解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝π

4代入ρ

2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ

1

＝22，

ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝ 2.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为1

2.

4．已知直线l 的参数方程为??? x ＝a －2t ，y ＝－4t

(t 为参数)，圆C 的参数方程为?

??

x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；

(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．

解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，

圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.

(2)因为直线l 与圆C 有公共点，

故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5

≤4， 解得－25≤a ≤2 5.

5．设函数f (x )＝????

??x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；

(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．

解：(1)证明：由a ＞0，得f (x )＝??????x ＋1a ＋|x －a |≥????

??x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2，所以f (x )≥2.

(2)f (3)＝????

??3＋1a ＋|3－a |. 当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，

由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212.

当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a

， 由f (3)＜5得1＋5

2＜a ≤3. 综上，a 的取值范围是? ??

??1＋52，5＋212. 6．若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝ab .

(1)求a 3＋b 3的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．

解：(1)由ab＝1

a＋

1

b≥

2

ab

，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立．

故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4 2.

(2)不存在a，b，使得2a＋3b＝6.理由如下：

由①知，2a＋3b≥26ab≥4 3.

由于43＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.