辽宁省实验中学等东北三省2015年理科数学试卷及答案

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中

学）2015年高三第一次联合模拟考试

理科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束

后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形

码

区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、

试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合{}21x x A =-<<，{}

220x x x B =-≤，则A B =（ ） A ．

{}

01x x << B ．

{}

01x x ≤< C ．

{}11x x -<≤

D ．{}21x x -<≤

2=（ ）

A ．)

2

i B ．1i + C ． D ．i -

3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）

A ．14

B ．112-

C ．14或112

- D ．14-或112

4、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）

A ．6

B ．7

C ．10

D ．9

5、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于，则输入的值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015

6、下列命题中正确命题的个数是（ ）

①对于命题:p R x ?∈，使得210x x +-<，则

:p ?R x ?∈，均有210x x +->

②p 是q 的必要不充分条件，则p ?是q ?的充分不必要条件

③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题

④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件

A ．个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12

8、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到

一条渐近线的距离为d

，若F B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A

．( B

．)+∞ C ．(]1,3 D

．)

+∞ 9、不等式组2204x y -≤≤??≤≤?

表示的点集记为A ，不等式组2

20x y y x -+≥??≥?表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ） A ．

932 B ．732

C ．916

D ．716

10、设二项式12n

x ?

?- ??

?（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a

，

n b ，则

1212n

n

a a a

b b b ++???+=++???+（ ）

A ．123n -+

B ．()1221n -+

C ．12n +

D ．

11、已知数列{}n a 满足3215

334

n a n n m =-++，若数列的最小项为，则m 的值为

（ ） A ．

14 B ．13 C ．1

4- D ．13

-

12、已知函数(

))()()0ln 10x f x x x ≥=?--

，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零

点，则k 的取值范围为（ ）

A ．()0,1

B ．10,2?? ???

C ．1,12??

???

D ．

()1,+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()

2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．

14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =

，

C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．

15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．

16、已知函数()()sin 2cos y x x π?π?=+-+（0?π<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2?= ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ?AB 的面积为2，且满足0C 4

()2求函数(

)22sin 24f πθθθ??=+ ???

的取值范围．

18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．

()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；

()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD

P-AB的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面CD

AB，E、F分别为AB、C

P的中点．

()I求证：F//

E平面D

PA；

()II若2

PA=，试问在线段F

E上是否存在点Q，使得二面角Q D

-AP-的余弦值

为

5

Q的位置；若不存在，请说明理由．

20、（本小题满分12分）已知椭圆

22

22

1

x y

a b

+=（0

a b

>>）的左、右焦点为

1

F、

2

F，

点(A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．

()1求椭圆的方程；

()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求?AOB 面积的最大值．

21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+．

()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；

()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：1

02a -<<；

()II 求证：()()21

1

2

f x f x >>-．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在C ?AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ．

()I 求证：D E 是圆O 的切线；

()II 求证：D C D C D E?B =M ?A +M ?AB ．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为

x

轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是12

x m y t ?=+???

?=??（为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线的普通方程；

()II 设点(),0m P ，若直线与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ?PB =，求实数m 的

值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+．

()I 解不等式()0f x >；

()II 若0R x ?∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．

东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题

参考答案

一．选择题：

1.B

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.C

8.A

9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：

13. 900 14. 64π 15. 84 16. 5

4-

三．解答题： 17.解：

（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：

2sin 2

1

=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分 可得1tan ≥θ，所以：)2

,4[

π

πθ∈． 6 分

（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ??

=+- ??

?π1cos 222θθ????=-+ ??????

?

(1sin 2)2θθ=+

πsin 2212sin 213θθθ?

?=+=-+ ??

?． 8 分

)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ?

?-+ ???∴≤≤．

即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π

4

θ=时，min ()2f θ=．

所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[ 12 分 18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2 分

3 分

平均年龄估值为:

5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(2

1

=?+?+?+?+?（岁） 6 年龄(岁)

(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 38

21)0(2220

15

==

=C C X P 3815

)1(2

2011515===C C C X P 38

2

)2(22025=

==C C X P 9 分

X 的分布列为

X

1

2

P

3821 3815 38

2 10 分 期望2

138223815138210)(=?+?+?

=X E （人） 12 分 19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为

PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 2

1

//∴,

MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴ 2 分

又?EF 平面PAD ,?AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD

4分

(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:

111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222

P B C E F

由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分 假设存在Q 满足条件：设1

1

,(,0,1),(

,,)2

22

EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ 1

(0,0,2),(,,),22

AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,

10(1,,0)2

20

x y z m z λλλ?++=?

?=-??=? 10 分 ∴ 2

1,cos λλ+-

5

5

12

=

+λλ

解得：2

1

=

λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。 12 分 20.（1）有已知：2c =，2

b a

= 24a b ∴== 故椭圆方程为22

184

x y += 4 分

x

y

(2)当AB

斜率不存在时：1

22

AOB S ?=

?= 6 分 当AB 斜率存在时:

设其方程为：(

)2y k x k ?-=-≠

?

由222)2=8

y kx k x y ?=+??+??得(

)

))

2

22

214

22

280k x k kx k

+++-=

由已知：)

(

))

2

2

2

2

16

282124k

k k k

?

??=-+-???

?

(2

820k =+>

即：k ≠

8 分

O 到直线AB

的距离：d 1

24

22212

+-==

∴?k d AB S ABC 10 分 22

212k k ≠±

+≠ [)

()2211,22,k ∴+∈+∞

)

()2

422,00,221

k ∴-

∈-??+

∴此时 ]22,0(∈?AOB S

综上所求：当AB 斜率不存在或斜率为零时：0A

B ?面积取最大值为

12

分

21.解(1)由已知:/

()ln 12(0)f x x ax

x =++> ,切点(1,)P a 1 分

切线方程:(21)(1)y a a x -=+- ,把(0,2)- 代入得:1a = 3 分

(2)(Ⅰ)依题意:/

()0f x = 有两个不等实根12

12,()x x x x <

设()ln 21g x x ax =++ 则:/1

()2(0)g x a x x

=

+> ①当0a ≥ 时: /

()0g x > ,所以()g x 是增函数,不符合题意; 5 分 ②当0a < 时:由/

()0g x =得:1

02x a =-> 列表如下:

x

1(0,)2a -

12a

- 1

(,)2a

-

+∞ /

()g x

+

0 -

()g x

↗ 极大值

↘

依题意:11()ln()022g a a -

=-> ,解得:1

02a -<< 综上所求: 1

02

a -<<得证; 8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:/

(),()f x f x 变化如下:

x 1(0,)x 1x

12(,)x x

2x

2(,)x +∞

/

()f x

-

0 + 0 -

()f x

↘

↗

↘

由表可知:()f x 在12[,]x x 上为增函数,所以:21()()f x f x > 10 分 又/

(1)(1)210f g a ==+> , 故1(0,1)x ∈

由(Ⅰ)知:111ln 2x ax --=

,2111111111

()ln (x ln )(01)2

f x x x ax x x x =+==-<< 设1()(ln )(01)2h x x x x x =-<< ,则/1

()ln 02

h x x =< 成立,所以()h x 单调递减,

故:1()(1)2h x h >=- ,也就是11

()2

f x >-

综上所证: 211

()()2

f x f x >>-成立. 12 分

22.选修4-1: 几何证明选讲 证明：（Ⅰ）连结OE .

∵点D 是BC 的中点，点O 是AB 的中点， ∴AC OD 2

1

//=

，∴EOD AEO BOD A ∠=∠∠=∠,. ∵OE OA =，∴AEO A ∠=∠，∴EOD BOD ∠=∠. 3 分

F

M O

E

A

在EOD ?和BOD ?中，∵OB OE =，BOD EOD ∠=∠，OD OD =， ∴EOD ?≌BOD ?，∴ 90=∠=∠OBD OED ，即ED OE ⊥.

∵E 是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线. 5 分 （Ⅱ）延长DO 交圆O 于点F .

∵EOD ?≌BOD ?，∴DB DE =.∵点D 是BC 的中点，∴DB BC 2=.

∵DB DE ,是圆O 的切线，∴DB DE =.∴222DE DB DE BC DE =?=?. 7 分

∵OF AB OD AC 2,2==，

∴DF DM OF OD DM AB AC DM AB DM AC DM ?=+?=+?=?+?2)22()(. ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线，

∴DF DM DE ?=2

，∴AB DM AC DM BC DE ?+?=? 10 分

23.选修4-4: 坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22

=，∴x y x 22

2

=+，即1)1(2

2

=+-y x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(2

2

=+-y x . 3 分

由???

????=+=t

y m t x 2123

，得m y x +=3，即03=--m y x ，

∴直线的普通方程为03=--m y x . 5 分

（Ⅱ）将???

????=+=t

y m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得：12112322=??? ??+???? ??-+t m t ，

整理得：02)1(32

2=-+-+m m t m t ，

由0>?，即0)2(4)1(32

2>---m m m ，解得：31<<-m .

设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(32

2121-=--=+， 8 分 又直线过点)0,(m P ，由上式及的几何意义得

1|2|||||||221=-==?m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ，

因此实数m 的值为或21+或21-. 10 分

24.选修4-5: 不等式选讲

解：（Ⅰ）当2-

0)(>x f ，即03>+-x ，解得3

当2

1

2≤

≤-x 时，13221|2||12|)(--=---=+--=x x x x x x f ， 0)(>x f ，即013>--x ，解得31-

1

2-<≤-x ；

当2

1

>x 时，3212|2||12|)(-=---=+--=x x x x x x f ，

0)(>x f ，即03>-x ，解得3>x ，又2

1

>x ，∴3>x . 3 分

综上，不等式0)(>x f 的解集为),3(31,+∞??

? ??-∞- . 5 分

（Ⅱ）???

?

?

????

>

-≤≤----<+-=+--=21,3212,132,3|2||12|)(x x x x x x x x x f ，∴2521)(min -=??? ??=f x f . 8

分

∵R x ∈?0，使得m m x f 42)(2

0<+，∴2

5

)(24min 2

-

=>-x f m m ， 整理得：05842

<--m m ，解得：2

521<<-

m ， 因此m 的取值范围是??

?

??-25,21. 10 分