高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题3.10 判断点在圆内外向量应用最厉害()

【题型综述】

点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆

心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知AB 是圆的直径，G 是平面内一点，则0GA GB ??点G 在圆外；

0GA GB ?=?点G 在圆上．③方程法，已知圆的方程222)()(:r b y a x M =-+-，点N ),(00y x ，则

22020)()(r b y a x <-+-?点N 在圆M 内；22020)()(r b y a x =-+-?点N 在圆M 上；22020)()(r b y a x >-+-?点N 在圆M 外.

四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中

三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.

【典例指引】

类型一 向量法判定点与圆的位置关系

例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点．

(Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设直线1x my m R =-?，()交椭圆E 于A ，B 两点，

判断点G 9

(4

-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得

2222,b c

a

a b c ì???=í

??=+??

解得2a b c ì=??=í??=? 所以椭圆E 的方程为

22

142

x y +=． (Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．

由22221(m 2)y 230,142

x my my x y ì=-?

+--=í?+=??得 所以12122223y +y =

,y y =m 2m 2m ++，从而0

22

y m 2=+. 所以2222222

00000095525GH|()y (my )y (m +1)y +my +44216

x =++=++=.

2222

2121212()(y )(m +1)(y )|AB|444

x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ]

(m +1)(y y )4

y y y +-=

=-, 故22222

2

012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)

m m y +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>

2，故G 9

(4

-,0)在以AB 为直径的圆外．

所以cos GA,GB 0,GA GB 狁>又，不共线，所以AGB D为锐角. 故点G 9

(4

-,0)在以AB 为直径的圆外． 类型二 四点共圆应用问题

例2. （2014全国大纲21）已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5

||||4

QF PQ =. （I ）求C 的方程；

（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.

类型三 动圆过定点问题

例3(2012福建理19)如图，椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x E 的左焦点为1F ，

右焦点为2F ，离心率2

1

=

e 。过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ?的周长为8。 （Ⅰ）求椭圆E 的方程。

（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q 。试探究： 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；

若不存在，说明理由。

（法2）由2214

3y kx m x y =+???+=??得222

(43)84120k x kmx m +++-=，

∵动直线l 与椭圆E 有且只要一个交点00(,)P x y ，∴0m ≠且△=0，

即2

2

2

2

644(43)(412)0k m k m -+-=，化简得2

2

430,k m -+= ① 此时0x =2

443km k -+=4k m -，0y =0kx m +=3m ，∴P (4k m -,3

m

), 由4

x y kx m =??

=+?

得Q (4，4k m +).

假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上, 设M (1x ,0)，则MP MQ ?=0对满足①式的m ，k 恒成立.

∵MP =(4k m -

－1x ,3

m ),MQ =(4－1x ，4k m +)， ∴1143()(4)(4)k x x k m m m -+-+?+=0，整理得2111(44)430k

x x x m

-+-+=， ②

∴121

1440430

x x x -=??

-+=?，解得1x =1，

∴存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M

.

∵MP =(4k m -

－1,3

m

),MQ =(3，4k m +)， ∴MP MQ ?=121233k k

m m

--++=0， ∴恒有MP MQ ⊥， ∴存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 类型四 证明四点共圆

例4. 已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F

且斜率为l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= (Ⅰ)证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.

【扩展链接】

1.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）

2222

1111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|

2

的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是22

22

a b a b +.

2.若椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设

过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①

2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+ ；②2

cos ab AB a c α

=-２２２２

若椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设

过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①

22,cos cos b b AF BF a c a c αα==

２２＋－ ；②2

2cos ab AB a c α

=-２２２ 同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为2

2sin ab AB a c α

=-２２２（a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距）

结论：椭圆过焦点弦长公式：()()2

22cos 2sin ab x a c AB ab y a c α

α

???-=???-?２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上

3.设AB 为过抛物线2

2(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则

①.2

21212,;4

p x x y y p ==- ②.12,21cos 21cos p p p p AF x BF x θθ

=+==+=-+ ③.122

2;sin p

AB x x p θ

=++= ④.

112||||FA FB P

+=； ⑤.2

34

OA OB p ?=-

； ⑥.211sin 222sin AOB

F p S OA OB AOB OF h θ

?=∠=??=； 【同步训练】

1． 已知椭圆的离心率，过点A （0，﹣b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离

为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点E （﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C 、D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．

【思路点拨】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．

（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．

（2）假设存在这样的值．

，

得（1+3k2）x2+12kx+9=0，

∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，

设C（x1，y1），D（x2，y2），

则

而y1?y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，

要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），

当且仅当CE⊥DE时，

则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，

∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③

将②代入③整理得k=，

经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．

2.已知椭圆的右焦点为，离心率为.

（1）若，求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.

【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，，所以椭圆的方程为.

(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得

，结合离心率的范围可知则的取值范围是

.

因为，所以，.

所以，即

.

3.已知椭圆：

过点

，且离心率

．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）椭圆长轴两端点分别为，点为椭圆上异于的动点，直线：与直线分别交于两

点，又点，过

三点的圆是否过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请

说明理由．

【思路点拨】（1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程； （2）设

，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证．

4.已知椭圆1E ： 22

216x y a +

=的焦点1F 、2F 在x 轴上，且椭圆1E 经过(),2(0)P m m ->，过点P 的直线

l 与1E 交于点Q ，与抛物线2E ： 24y x =交于A 、B 两点，当直线l 过2F 时1PFQ ?的周长为

（Ⅰ）求m 的值和1E 的方程；

（Ⅱ）以线段AB 为直径的圆是否经过2E 上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由。

【思路点拨】（1）由1PFQ ?的周长为a,再根据椭圆1E 经过(),2P m -求得m.

（2）设直线l 方程():52x n y -=+ ，与抛物线方程联立方程组，消x 得关于y 的一元二次方程，结合韦达定理，化简以线段AB 为直径的圆方程，按参数n 整理，根据恒等式成立条件求出定点坐标

5.已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；

（2）若y 轴上存在一点()0,(0)M m m >，使线段AB 经过点M 时，以AB 为直径的圆经过原点，求m 的值；

（3）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ?是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ?面积的最小值.

【思路点拨】（1）根据抛物线的定义，丨QF 丨=丨QQ 1丨，即可求得p 的值，即可求得抛物线方程； （2）设AB 的方程，代入椭圆方程，由0OA OB ?=，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m 的值；

（3）设2

11,

4x A x ?? ??

?， 2

22,

4x B x ?? ?

??， 2

33,4x C x ?? ??

?，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =，则有21

14x x k +=

， 3124

x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ?=-，由AB AD =，

即2131x x x x -=-，进而化简求出1x ，得： 3112

11

44

22k x k k -=+， ()

2

222

112114411||122ABD

k S AB k k k ???+=?=?+? ?+??

，即可求得△ABD 面积的最小值．

（3）如图所示，

设2

11,

4x A x ?? ??

?，

2

2

2,4x B x ?? ?

??， 2

33,4x C x ?? ??

?，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =， 则有21

14x x k +=

， 3124

x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ?=-， 又因为ABD ?是以A 为顶点的等腰直角三角形，所以AB AD =，

2131x x x x -=-，将23,x x 代入得：

6.已知椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>）经过点P ? ??

，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）动直线l ： 1

03

mx ny n ++

=（m ， n R ∈）交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T .若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】（1）由题设知，所以 222212x y b b += ，椭圆经过点P （1， 2

），代入可得b=1，

.

（2）首先求出动直线过（0，﹣

13）点．当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：x 2

+（y+13）2=169

；当l 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：x 2+y 2

=1．由22116

22{ 391

x y x y ++=+=（）．由此入手可求出点T 的

坐标．

（2）首先求出动直线过10,3??- ???

点.

当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程： 22

21433x y ?

???++= ? ??

???

当L 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程： 2

2

1x y +=

由22

2

2214{ 331

x y x y ????++= ? ?

????+=解得0{ 1

x y == 即两圆相切于点()0,1，因此，所求的点T 如果存在，只能是()0,1，事实上，点()0,1T 就是所求的点. 证明如下：

当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点()0,1T 当直线L 不垂直于x 轴，可设直线L ： 13

y kx =-

由2

213

{

12

y kx x

y =-

+=消去y 得： ()2218912160k x kx +--=

7.如图，曲线C 由上半椭圆1C ： 22221y x a b

+=（0a b >>， 0y ≥）和部分抛物线C ： 2

1y x =-+（0y ≤）

连接而成， 1C 与2C 的公共点为A ， B ，其中1C 的离心率为

2

．

（1）求a ， b 的值；

（2）过点B 的直线l 与1C ， 2C 分别交于点P ， Q （均异于点A ， B ），是否存在直线l ，使得以PQ 为直径的圆恰好过A 点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）在1C ， 2C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()1,0A -， ()1,0B 是上半椭圆1C 的左、

右顶点，设1C 半焦距为c ，由

c a =

2221a c b -==，联立解得a ；（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为()2

2104

y x y +=≥，由题意知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为()1y k x =-（0k ≠），代入1C 的方程，整理得： ()

222

4240k x kx k +-+-=，设点P 的坐标为(),P P x y ，由根公式，得点P 的

坐标为22248,44k k k k ??-- ?++??

，同理，得点Q 的坐标为()2

1,2k k k ----．由 10AP AQ ?=，即可得出k 的值，

从而求得直线方程.

8.已知过点()0,1A 的椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左右焦点分别为12F F 、， B 为椭圆上的任意一点，

1122,F F 成等差数列. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）直线():2l y k x =+交椭圆于,P Q 两点，若点A 始终在以PQ 为直径的圆外，求实数k 的取值范围. 【思路点拨】（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出,a c 的关系，再根据椭圆C 过点A ，求出,a b 的值，即可写出椭圆的标准方程； （2）设()()1122

,,,Px y Qx y ，

根据题意知12,0x y =-=，联立方程组，由方程的根与系数的关系求解22,x y ，

再由点A 在以PQ 为直径的圆外，得PAQ ∠为锐角， 0AP AQ ?>，由此列出不等式求出k 的取值范围

.

（2）设()11,P x y ， ()22,Q x y ，联立方程()2

2

2{ 1

4y k x x y =++=，消去y 得：

()()

2

2

2214161640k x

k x k +++-=；

依题意直线():2l y k x =+恒过点()2,0-，此点为椭圆的左顶点，∴12x =-， 10y =，①

由方程的根与系数关系可得， 2

122

1614k x x k -+=+；②

可得()()121222y y k x k x +=+++ ()124k x x k =++；③

由①②③，解得222

2814k x k -=+， 2

2414k

y k =+； 由点A 在以PQ 为直径的圆外，得PAQ ∠为锐角，即0AP AQ ?>； 由()2,1AP =--， ()22,1AQ x y =-，

∴22210AP AQ x y ?=--+>；即222

4164101414k k

k k

-+-<++， 整理得， 2

20430k k -->，解得： 310k <-

或12

k >. ∴实数k 的取值范围是310k <-

或1

2

k >. 9.已知动点M 到点N （1，0）和直线l ：x=﹣1的距离相等． （1）求动点M 的轨迹E 的方程；