数列综合测试(带答案详解)

数列综合测试

一、选择题。(10×5’=50’)

1、含2n+1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） A 、

n

n 12+ B 、n

n 1+ C 、

n

n 1

- D 、n

n 21+

解：)(,2

)

)(1(222421211231n n n n a a n a a a S a a n a a a S +=+++=++=+++=++ 偶奇；

又n n a a a a 22121+=++，n

n S S 1+=

∴

偶

奇。

2、若等差数列{}n a 共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和为286=n S ，则n= （ ）

A 、25

B 、26

C 、26或27

D 、27 解：由题意知214321=+++a a a a ，67321=+++---n n n n a a a a ，

由等差数列性质知3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a . 88)(41=+∴n a a ，221=+∴n a a .

又由)(2

1n n a a n S +=

，即.26,2

22286=∴?=

n n

3、等差数列{}n a 中，1291,0S S a =<，数列前多少项和最小（ ） A 、9 B 、10 C 、11 D 、10或11 取最小值。

时，或当项起为正值。，从第项均为负，因此数列的前

数列为递增数列。又解：n S n a a a a a a a S S 111012010.0.0,03,0,1111111121110129=∴=∴<=∴=∴=++∴=

4、已知数列{}n a 的前n 项和1-=n

n a S （a 是不为0的常数），那么数列{}n a （ ）

A 、一定是等差数列

B 、一定是等比数列

C 、或者是等差数列或者是等比数列

D 、既不是等差数列也不是等比数列

{}{}C

a a a a a a a a N n a

a a n a

a a a S S a n a S a a S n n

n n n n n n n n

n n n n

n 答案：为等比数列。

所以时，因为当为等差数列；此时时，当的通项公式为

满足上式，所以此数列

时，当解：,1,01).

()1(1.

)1()1()1(2.1,11*

1

1

1

111=≠==∈-==-=---=-=≥-==∴-=+----

5、等比数列{}n a 中，若30,102010==S S ，则30S 等于（ ） A 、40 B 、50 C 、60 D 、70 解法一：设公比为q.

.

70)421(10)1(1)1(1)1(.2,3q 1301)1(101)

1(.

1,2030,1020

10

130

13010

1020

11012010=++=++--=

--=

∴?????

??=∴=+=--=--≠∴≠==q

q q

q a q

q a S q q q a q q a q S S 两式作商得，，于是

.

7030,10,,3020102030102010=∴==--S S S S S S S S 又成等比数列，解法二：

6、已知数列{}n a 为等差数列，105531=++a a a ，99642=++a a a ，则20a 等于（ ） A 、-1 B 、1 C 、3 D 、7

{}.

1)2(1735172335

3205316423=-?+=+=∴-=∴+++=++∴=∴d a a d d a a a a a a a a n 为等差数列

解：

7、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且321,2,4a a a 成等差数列。若41,1S a 则==（ ） A 、7 B 、8 C 、15 D 、16 15

,2,044,44,44,2,442

12

11231321==∴=+-∴=+=+∴S q q q q a q a a a a a a a a 即成等差数列，解：

8、数列1,),2(3),1(2,1?--?n n n n 的和为（ ） A 、)2)(1(6

1++n n n B 、)12)(1(6

1++n n n

C 、)3)(2(3

1++n n n D 、)2)(1(3

1++n n n

)

2)(1(6

1)]12()1(3)[1(6

1)

12)(1(6

1)1(2)1()321()1)(321(,

)1()]1([2

2

2

2

2

++=

+-++=++-

+?+=++++-+++++=∴-+=--=n n n n n n n n n n n n n n n n S k n k k n k a n k 解：数列通项公式为

9、有200根相同的圆钢，将其中一些堆放成纵断面为正三角形的垛，要求剩余的根数尽可能的少，这时剩余的圆钢有（ ）

A 、9根

B 、10根

C 、19根

D 、20根

解：设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层圆钢数组成以1为首项，1为公差的等差数列，且剩余的圆钢数小于n ，

.

102

2019-20019.

19,.

2

11601n 2

3-1609,200

2)1(2)1(200*

（根）层，剩余的圆钢数为

所以堆解得依题意得：=?=∴∈-≤

≤?????≤+≤+-n N n n n n n n

10、某人从1月份开始，每月份初存入银行100元，月利率是2.8‰（每月按复利计算），

到12月底取出本利和应为（ ）

A 、1223.4元

B 、1224.4元

C 、1222.1元

D 、1225.0元

{}1

.12221

%8.21(]

1%8.21[%8.2110012.

%8.21(100121212%8.21(10012122%8.21(1001211

12

12

121211

212

1=-+-++=

+=+=+=--）（）（）（项和为：

的前则等比数列）月底本利和是

到月份开始存入银行，到）

月底本利和是

到月份开始存入银行，到）

月底本利和是月份开始存入银行，到解：o o o S a o a o a o a n

，

二、填空题。(5×5’=25’) 11、数列{}n a 满足

2,111+=

=+n n

n a a a a ，则数列通项公式为

.

1

212112211)

11(211122111-=

∴=+∴??????+∴+=+∴+=+=++n

n n

n

n n

n n n n n a a a a a a a a a 为公比的等比数列，

为首项，以是以数列解：

12、已知数列{}n a 的前n 项和35-=n

n S ，则数列通项公式为

????

?≥?==∴===?=-=∴-=∴-=-----)

2(,54)1(,2215

43

5,351

111

11

1n n a S a n S S a S S n n n n n n n n n n 时，当解：

13、设{}n a 是首项为1的正项数列，且),3,2,1(0)1(12

21 ==?+-+++n a a na a n n n n n ，则它的通项公式为

{}1

)1(,0)]()1[(1111+=

∴=+∴=+-+++++n n a a na a n a a a na a n n

n n n n n n n n 是各项为正数，

14、若函数2001*

11,),(,1,4

4)(x N x x f x x x x x f n n 则且∈==+=+=

.501

1

320014,3441111

41

11.

4

111.14

11,4

420011

1

1=+=+=-+=?

????

?=

-

+

=

+=+++x x x n x x x x x x x x x n n n n

n n

n n n n 所以，得）（由

为公差的等差数列。

为首项，是以数列即

两边取倒数，得

解：

15、?++?+?89sin 2sin 1sin 222 =

.

28989

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1sin (21sin 89sin 88sin 2sin 89sin 1sin 21sin 2sin 88sin 89sin 89sin 3sin 2sin 1sin 2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

∴=?+?+?+?+?+?=?+?++?+?+?+?=?

+?++?+?=?++?+?+?=S S S S S 即）（）（）（两式相加，得：，则解：设

三、解答题。(75’)

16、（8分）已知数列{}n a 是等差数列，6.0,501-==d a ， （1）从第几项开始有0

.

4.2108S 846

503.120

503)6

503(3.03.503.0)6.0(2)1(50(2)S

.085,085,.

3.846

.06.50,06.506.0.6.506.0)1(6.050,6.0,50)1(84n 2

2

2

n

*

1=+

-

-=+-=-?-+

=<≥∈≈≥

≤+-+-=--=∴-==S n n n n n n n a n N n n n n n a d a n n 达到最大值

时，的自然数，即

取接近于当项开始各项均小于即从第时，故由于则令解：

17、（8分）已知数列x x x f --=22)(，数列{}n a 满足n a f n 2)(log 2-=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是递减数列。 {}是递减数列。

数列，，又证明：

，解得，，解：n n n n n

n n n n n n n

n a a n x

x

a a a a n n n n n

n n n a a n n a a n n a na a n a a n n a f x f n

n

∴<><++++++=

-++-++=

-+=∴>+±-==-+∴-=-

∴-=-∴-=-=++--122

22

12

2

2

log

log

2

0,

1)

1(1)1(11)

1(1)1()2(.

1,0.

1012,

2122

2

,2)(log

22)()1(2

2

18、（10分）等差数列的前n 项和n n S n 2

2052

32

+

-=，求此数列{}n a 的前n 项和n T 。

{}{}?????

≥+-≤+-=+-=+

-

-?+?-=-=+++-+++=+++-+++=++++++=≥+

==+++=+++=≤∴<≥>≤≤≥+-=∈+-=∴=+-=-+

--

-+

-

=-=≥=?+

?-

==-)

35(,350222052

3)34(,2205233502

2

2052

3)

2

2052

3()342

205342

3(22)()(2)()(35,

2

2052334.035,034,

7.34,01043).(10431.

1043)]1(2

205)1(2

3[)2

20523(2.10112

205123222

2

2

34213421363534213534212

2121*

2

2

12

11n n n n n n T n n n n S S a a a a a a a a a a a a a a a a a T n n n S a a a a a a T n a a n a n n n a N n n a a n n n n n n S S a n S a n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n 故时，当时，当来说：

对于数列

时，当时，即当得令通项数列也适合上式，时，当解：

19、（10分）一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。

.9

50

910-92186259232),32()4()4(2,

,,2

222

，，或

，，故所求的等比数列为

或解得，则为解：设所求的等比数列

??????????-==

==???+?=++=+q a q a q a a aq aq a aq aq aq a 20、（14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知.24,111+==+n n a S a

（1）设n n n a a b 21-=+，证明数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式。 {}.

2

)13(,4

14343)

1(2

12

4

3212.

4

32

2

,232)1()2(23,2)2(2244.

242,24.32,523,24,241)1(2

1

11

1111111111211212111-++-++-+-++-++?-=∴-

=-+=

∴?

??

???∴=

-

∴

?=-=∴-=-=-∴-=-=∴+=≥+==-=∴=+=+=++==n n n

n n n

n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n a a a a a a b b a a b a a a a a a S S a a S n a S a a b a a a a a a S a 为公差的等差数列。

为首项，以

是以数列可得由为公比的等比数列。为首项，以是以又时，有则当由有及由解：

21、（16分）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的*

N n ∈，点),(n S n 均在函数

均为常数）且r b b b r b y x

,,10(≠>+=的图象上。

（1）求r 的值；

（2）当b=2时，记

)

(41*

N n a n b n

n ∈+=

，求{}n b 的前n 项和n T 。

{}.

2

32

32

12

1232

12

14

3212

11)2

1

1(21

2

1.

2

12

12

1

212

12

2212

124232221,

2

12

42

32

2,

2

12

41412)1(2)2(.)1(,1,

)1()(2,

1,

,,10),()1(1

1

2

1

2

1

32

1

5

4

3

2

2

5

4

3

1

4

3

2

1

1

1

1

1

1

1

1

111*+++++-+++++--------+-

=+-

-=

+-

-

=

+-

--?+

=

+-

+

++

+

+

=

∴+++++=+++++

=∴+=

?+=

+=

=-=-=-=-=-=-=+-+=-=≥+===+=≠>+=∈n n n

n n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n

n n

n n n x

n x

n n n T n n n T n T n T n n a n b b b a b b

b a b r a b b b b r b r b S S a n r b S a n r b S r b b b r

b y S n N n 所以，，时，当，所以公比为为等比数列，所以又时，当时，当所以均为常数）的图象上。且（，均在函数，点因为对任意的

解：

22、学数学，其实是要使人变得聪明，使人的思维更加缜密。在美国广泛流传的一道数学题目是：老板给你两种加工次的方案：一是每年增长薪水1000元，二是每半年增加300元，请选择一种。

（1）如果在该公司干10年，选择第二种方案比第一种多加薪多少元？

（2）若第二方案改成每半年增加a 元，问：a 为何值时，选择第二种方案总是比第一种方案加薪多？

一方案加薪多。

时，总是第二方案比第即当时取最大值，即在而

都成立。

对）（元）

（）（元）（元）：

年末，依第一方案可得）在第：（3

1000.

3

10003

250250.3

2501

225011

2250,1

225025012)1(500对所有正整数恒成立。1)+n （500n >1)+an(2n 由题题意1).

+an(2n =+2n)+3+2+a(1:第二方案得

1+n 500n =+n +3+2+11000年末，第一方案得：n (2)第元。

8000择第一方案多加薪

年，选，选择第二方案10在公司干80000

=55000-63000(63000=)20×300+19×300(+)4×300+3×300(）2×300+300（第二方案得：

）00055=+100000+3000+2000+1000101解*

>=+

>∴≤+=+∈++

=++>+a a n n n N n n n n a