第88炼 含有条件概率的随机变量问题
第88炼 含有条件概率的随机变量问题
一、基础知识：
1、条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为|B A
2、条件概率的计算方法：
（1）按照条件概率的计算公式：()()
()|P AB P B A P A =
（2）考虑事件A 发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B 在这种情况下的概率 例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：
按照（1）的方法：设事件A 为“甲没中奖”，事件B 为“乙中奖”，则所求事件为|B A ，按照公式，分别计算()(),P AB P A ，利用古典概型可得：()25415
P AB A ==，()45P A =，所以()()()1|4
P AB P B A P A == 按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖。那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为14
3、含条件概率的乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =? ，此时()|P B A 通常用方案（2）进行计算
4、处理此类问题要注意以下几点：
（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）
（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别
（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。
二、典型例题：
例1：袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到的球
的编号为2，则把该球编号记下再把编号数改为1后放回袋中继续取球；若取到的球的编号为奇数，则取球停止，取球停止后用X 表示“所有被取球的编号之和”
（1）求X 的分布列
（2）求X 的数学期望及方差
思路：（1）依题意可知如果取球取出的是1,3，则取球停止，此时X 的值为1或3；当取球取出的是2号球时，按照规则要改为1号球放进去重取，再取时只能取到1或3，所有编号之和X 的值为3,5，所以可知X 可取的值为1,3,5，当1X =时，意味着直接取到了1号球（概率为
13）；当3X =时，分为两种情况，一种为直接取到3（概率为13
），另一种为取到了2（概率为13），改完数字后再取到1（概率为23）；当5X =时，为取到了2（概率为13
），改完数字后再取到3（概率为13），从而可计算出概率。进而得到分布列与期望方差 解：（1）X 可取的值为1,3,5
()113P X ∴== ()112533339
P X ==+?= ()1115339
P X ==?= X ∴的分布列为：
（2）1353999
EX =?+?+?= 222
12352312317613539999981
DX ??????=-+-+-= ? ? ??????? 例2：深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
（1）思路：第一次训练时所取得球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以可判断出ξ服从超几何分布，即可利用其公式计算概率与分布列，并求得期望
解：ξ可取的值为0,1,2
()2326105C P C ξ=== ()113326315
C C P C ξ?=== ()2326125
C P C ξ=== ξ∴的分布列为：
0121555E ξ∴=?+?+?= （2）思路：本题要注意一个常识，即新球训练过后就变成了旧球，所以要计算第二次恰好取到一个新球的概率，需要了解经过第一次训练后，所剩的球有几个新球，几个旧球。所以要对第一次取球的情况进行分类讨论：若第一次取2个新球，则第二次训练时有5旧1新；若第一次取到1个新球，则第二次训练时有4旧2新；若第一次取到2个旧球，则第二次训练依然为3旧3新，分别计算概率再相加即可
解：设事件i A 为“第一次训练取出了i 个新球”，则()23326
i i i C C P A C -= 设事件B 为“从六个球取出两个球，其中恰好有一个新球”
事件C 为“第二次恰好取出一个新球”
()()()()012P C P A B P AB P A B ∴=++
()()()21133300022663|25
C C C P A B P A P B A C C ?=?=?= ()()()1111334211122668|25
C C C C P A B P A P B A C C ?=?=?= ()()()213522222661|15
C C P A B P A P B A C C =?=?= ()()()()0123875
P C P A B P A B P A B ∴=++=
随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布 教学目标 （1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值 的离散型随机变量及其概率分布的概念； （2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象 的重要性； 教学过程 一、问题情境 在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X是0，1，…，10中的某个数； 抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2，3，4，5，6中的某一个数； 新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某个数； …… 二、建构数学 随机变量： 例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X表示掷得正面的次数，则随机变量X的可能取值有哪些？ （2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的可能取值有哪些？
．随机变量的概率分布： 随机变量分布列的性质： 数学运用 例2．从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即 1,0,X 当取到白球时， 当取到红球时，求随机变量X 的概率分布． 例3：同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．求两颗骰子中出现的最大点数X 的概率分布，并求X 大于2小于5的概率(25)P X ．
例4：从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑 球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列 练习： 1、设X的分布列为 X -1 1 2 P 1/3 1/2 1/6 求P(0 随机变量的概率 (选修2-3) 一、知识回顾 1. 离散型随机变量x 的概率分布 随机变量x 有n 个取值 x x x ,,, ，且),,2,1(,)(n i p x X P ===——概率分布列 性质：（1）01,(1,2, ,)i p i n ≤≤=；（2）121=+++n p p p 。 2. 两点分布或0-1分布： （0 第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题 (共90分) 一．选择题(每题2分共20分) 1．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ） A.≤0F(x )1≤ B.F(x )=P{X=x } C.F(x )=P{X x ≤} D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析： A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！B 是错误的。 2．设随机变量X 的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析：由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ D ） 4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)= 1 其它 2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5 解析：由分布函数F(x)性质：01)(≤≤x F ，A,B,C 都不满足这个性质，选D 4 x 31<<-x 4．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2 A. 0 B.83 C. 43 D. 85 解析：P{-2 第二章 随机变量及其分布 一. 填空题 1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =9 5 , 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 9 4951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2 = -p , 3 1=p 2719321)0(1)1(3 =?? ? ??-==-=≥Y P Y P 2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为c c c c 162 ,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++= c c c c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________. P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________. 解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1) 4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442 =+++k kx x 有实根的概率为_____. 解. k 的分布密度为??? ??=0 51 )(k f 其它50≤≤k P{02442 =+++k kx x 有实根} = P{03216162 ≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =5 3 515 2=?dk 5. 已知2}{,}{k b k Y P k a k X P =-== =(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 49 36,194==++b b b b 习题二 一、填空题 1. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为c c c c 162 , 85,43,21, 则c = 2______. 解. 2,16321628543211==+++=c c c c c c 2. 某射手每次命中目标的概率为，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为 k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,)2.0()8.0(33=-k C k k k . 3. 设X 服从参数为p 的两点分布，则X 的分布函数为 ?? ? ??≥<≤-<=1 ,110 ,10 ,0)(x x p x x F . 4. 设随机变量X ~B (2, p ), Y ~B (3, p ), 若9 5 )1(=≥X P , 则)1(≥Y P = 19/27 . 解. 9 4951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2 = -p , 3 1=p 2719321)0(1)1(3 = ?? ? ??-==-=≥Y P Y P . 5. 设随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则= =)4(X P 2 23 e -. 6. 已知连续型随机变量X 的分布函数为? ??≤>+=-0 ,00 ,)(2x x Be A x F x ，则=A 1 ， = B 1 - ，=<<)22 1 (x P 41---e e ，=)(x f ? ? ?≤>-0 ,00 ,22x x e x . 7. 设随机变量X 的概率密度函数? ??∈=其它 ,0] 2,0[ ,)(x Ax x f , 则=A , )(x F =???????>≤≤<2 ,120 ,4 ,02 x x x x ； =≤)21|(|x P 1 16 . Joint Distributions,Discrete Case In the following,X and Y are discrete random variables. 1.Joint distribution(joint p.m.f.): ?De?nition:f(x,y)=P(X=x,Y=y) ?Properties:(1)f(x,y)≥0,(2) x,y f(x,y)=1 ?Representation:The most natural representation of a joint discrete distribution is as a distribution matrix,with rows and columns indexed by x and y,and the xy-entry being f(x,y).This is analogous to the representation of ordinary discrete distributions as a single-row table.As in the one-dimensional case,the entries in a distribution matrix must be nonnegative and add up to1. 2.Marginal distributions:The distributions of X and Y,when considered separately. ?De?nition: ?f X(x)=P(X=x)= y f(x,y) ?f Y(y)=P(Y=y)= x f(x,y) ?Connection with distribution matrix:The marginal distributions f X(x)and f Y(y) can be obtained from the distribution matrix as the row sums and column sums of the entries.These sums can be entered in the“margins”of the matrix as an additional column and row. ?Expectation and variance:μX,μY,σ2 X ,σ2 Y denote the(ordinary)expectations and variances of X and Y,computed as usual:μX= x xf X(x),etc. https://www.360docs.net/doc/903699995.html,putations with joint distributions: ?Probabilities:Probabilities involving X and Y(e.g.,P(X+Y=3)or P(X≥Y)can be computed by adding up the corresponding entries in the distribution matrix:More formally,for any set R of points in the xy-plane,P((X,Y)∈R))= (x,y)∈R f(x,y). ?Expectation of a function of X and Y(e.g.,u(x,y)=xy):E(u(X,Y))= x,y u(x,y)f(x,y).This formula can also be used to compute expectation and variance of the marginal distributions directly from the joint distribution,without?rst computing the marginal distribution.For example,E(X)= x,y xf(x,y). 4.Covariance and correlation: ?De?nitions:Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=E((X?μX)(Y?μY))(Covariance of X and Y),ρ=ρ(X,Y)=Cov(X,Y) σXσY (Correlation of X and Y) ?Properties:|Cov(X,Y)|≤σXσY,?1≤ρ(X,Y)≤1 ?Relation to variance:Var(X)=Cov(X,X) ?Variance of a sum:Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)(Note the analogy of the latter formula to the identity(a+b)2=a2+b2+2ab;the covariance acts like a “mixed term”in the expansion of Var(X+Y).) 1 第二章 随机变量及其概率分布 【内容提要】 一、随机变量及其分布函数 设()X X ω=是定义于随机试验E 的样本空间Ω上的实值函数，且x R ?∈， {}()X x ωω≤是随 机事件，则称()X X ω=为随机变量，而称()()()F x P X x ω=≤为其概率分布函数。 随机变量()X X ω=的概率分布函数()()()F x P X x ω=≤具有如下性质: ⑴．非负性: x R ?∈，有0()1F x ≤≤； ⑵．规范性: ()0,()1F F -∞=+∞=； ⑶．单调性: 若12x x ≤，则12()()F x F x ≤； ⑷．右连续性: x R ?∈，有(0)()F x F x +=。 二、离散型随机变量 1．离散型随机变量及其概率分布律 若随机变量()X X ω=只取一些离散值12n x x x -∞<<=其中而。 三、连续型随机变量 第二章 随机变量及其函数的概率分布 §2.1 随机变量与分布函数 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 一、 填空题 1. 某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,) 2.0()8.0(33=-k C k k k ； 2. 设随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则==)4(X P 0.0902 ； 3. 设X 服从参数为p 的两点分布，则X 的分布函数为 ?? ? ??≥<≤-<=1 ,110 ,10 ,0)(x x p x x F ； 4. 已知随机变量X 的概率分布：P(X =1)=0.2, P(X =2)=0.3, P(X =3)=0.5, 则其分布 函数)(x F = 0 10.2 120.5 231 3x x x x =λ==则且,0),,2,1()(b k b k X P k 为（B ） (A) λ>0的任意实数; (B) ；11+=b λ (C) λ=b +1; (D) 1 1 -=b λ. 三、 计算下列各题 1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。 解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(5 10 41 ===-k C C k X P k 所以X 的分布列为 浅谈如何简单求随机变量函数的概率密度函数的方法 摘要:针对教材中给出的求连续型随机变量函数的概率密度的方法的单一,在借鉴前人研究成果的基础上,提出求概率密度的四步教学法。 概率论与数理统计就是一门很有特色的数学分支,无论就是综合类大学还就是高职、高专院校,都将它作为一门必修课。在大学《概率论与数理统计》中,随机变量函数就是一个重点也就是一个难点,尤其就是连续性随机变量函数的概率密度,教材中只就是一般给出两种方法:一种就是先求其分布函数,然后对分布函数求导,来得概率密度函数;二就是教材中的定理1[1] 关键字: 随机变量函数 概率密度 一、 定义1:如果存在一个函数()g x ,使得随机变量,X Y 满足()Y g X = 则称随机变 量Y 就是随机变量X 的函数,那么随机变量Y 的概率密度函数称为随机变量函数的概率密度函数。 二、 (经典公式法)定理1:设随机变量X 具有概率密度 (),X f x x R ∈,又设 ()y g x =出处可导且恒有 ()()''0(0) g x g x ><或则 () Y g X =就是一个连续性 随机变量,其概率密度函数 ()()()11' ,0,X Y f g y g y y f y αβ--???< 随机变量的概率分布 一、填空题 1．某射手射击所得环数X 的概率分布为 解析 P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 0.79 2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于________． 解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1， 得P (X ＝0)＝1 3. 答案 1 3 3．(优质试题·常州期末)设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为： 则q 的值为________解析 由概率分布的性质知??? ?? 2－3q ≥0， q 2 ≥0， 13＋2－3q ＋q 2 ＝1， 解得q ＝32－33 6. 答案 32－33 6 4．设离散型随机变量X 的概率分布为 解析由概率分布的性质，知 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0， ∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0) ＝P(X＝4)＋P(X＝0) ＝0.3＋0.2＝0.5. 答案0.5 5．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则“放回5个红球”事件可以表示为________． 解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 答案ξ＝6 6．(优质试题·南通调研)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是________． 解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布 问题，故所求概率为P＝C23C14 C37＝ 12 35. 答案12 35 7．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________． 解析设X取x1，x2，x3时的概率分辊为a－b，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a 随机变量及其分布问题 1、假设随机变量X 的绝对值不大于1，1(1),8P X =-= 1 (1).4 P X ==在事件(11)X -<<出现的条件下，X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求X 的分布函数()()F x P X x =≤ 解：当1x <-时，()0F x =。 当1x =-时，()()(1)(1)F x P X x P X P x x =≤=≤-+-<≤ 1 (1)8 P X x = +-<≤ 而 5(11)1(1)(1)8 P X P X P X -<<=-=--==， 因此 (1)(1,11)P X x P X x X -<≤=-<≤-<< (11)(111)P X P X x X =-<<-<<-<< 5155 8216 x x ++=?= ， 于是，得 5155 ()8216 x x F x ++=?= 当1x ≥-时，()1F x =。 故所求分布函数为 0, 1 55(), 11161, 1 x x F x x x <-??+? =-≤≤??≥?? 评述 分由函数可以完整地描述任何类型随机变量的取值规律，这里的随机变量包括离散 型、连续型和混合型在类。 2、一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿号灯的路口，每个路口的信号灯为红或绿与其他路口的信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两 种信号显示的时间相等。以X 表示该汽车遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。 解 设i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”（i =1，2，3）。依题意，1A ，2A ，3A 相互独立。X 的可能取值是0，1，2，3。于是，得X 的概率分布为 11 (0)(),2 P X P A === 第十九讲概率、随机变量及其分布列 概率、随 机变量及 其分布列 概率几何概型古典概型相互独立事件同时发生的概率 独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率条件概率 随机变 量及分 布列 离散型随机变量及 分布列的概念 离散型随机变量的均值、方差 1．(古典概型)(2013·课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是() A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 【解析】从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为 4 12＝ 1 3. 【答案】 B 2．(数学期望)(2013·广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为 X 12 3 P 3 5 3 10 1 10 则X的数学期望E(X)＝() A. 3 2B．2 C. 5 2D．3 【解析】E(X)＝1× 3 5＋2× 3 10＋3× 1 10＝ 3 2，选A. 【答案】 A 3．(几何概型)(2013·陕西高考) 如图6－2－1，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有 一个通信基战，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( ) 图6－2－1 A ．1－π 4 B.π2－1 C ．2－π 2 D.π4 【解析】 取面积为测度，则所求概率为P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－π×12×14×22×1＝2－ π 22＝1 －π 4 . 【答案】 A 4．(正态分布)已知随机变量ξ～N (u ，σ2)，且P (ξ<1)＝1 2，P (ξ>2)＝p ，则P (0<ξ<1)＝ ________. 【解析】 由P (ξ<1)＝1 2可知，此正态分布密度曲线关于直线x ＝1对称，故P (ξ≤0)＝ P (ξ≥2)＝P (ξ>2)＝p ，易得P (0<ξ<1)＝P (ξ<1)－P (ξ≤0)＝1 2 －p . 【答案】 1 2 －p 5．(随机变量的方差)(2013·上海高考)设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，x 3，…，x 19，则方差Dξ＝________. 【解析】 由等差数列的性质，x ＝S 1919＝x 1＋x 192＝x 10. ∴Dξ＝1 19 [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 19－x )2] 认识随机变量 教学目标： 1.了解随机变量的意义，并能说明随机变量取的值所表示的随机试验的结果 2. 熟练掌握用随机变量表示随机试验的结果；理解一维随机变量的意义。 教学重难点：理解一维离散型随机变量的意义，熟练掌握一维随机变量的表示。 随机事件概念的透彻理解及对随机变量引入目的的认识。 思维导航 1、 正四面体玩具投掷问题：投掷一次观察落地一面的颜色，有多少种可能的结果呢？ 这些结果可以用数字表示吗？ 2、 等候时间问题：在实际生活中我们有很多情况下会需要等候，那么等候时间有范围 限制吗？观察这些结果可以用数字表示吗？ 又如投掷骰子，观察出现的点数、每天进入某游乐园的人数、每个月武汉市的最高温度等等。 3、 在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各 种结果.也就是说，把试验结果数值化. 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系. 概念导入： 例：掷一颗骰子得到的点数，分别用1、2、3、4、5、6来表示； 例：测试一个灯泡的使用寿命，结果对应着（0，+∞）中的一个实数； 例：投篮一次“命中”可用1表示，“没有命中”可用0表示； 例：从一批产品中随机抽取一个检验，“次品”用0表示，“合格品”用1表示等等。 发现：试验结果与实数建立了对应关系 ①每一个试验的结果可以用一个确定的数字来表示；每一个确定的数字都表示一种试验结果. ②同一个随机试验的结果,可以赋不同的数字; ③数字随着试验结果的变化而变化，是一个变量； 随机变量的概念 1.随机变量：一个变量X 的取值取决于随机试验E （现象）的基本结果ω，则该变量)(ωX 称为随机变量. 随机变量常用大写字母X 、Y 、Z 等表示，其取值用小写字母x 、y 、z 等表示. 2.离散型随机变量和连续型随机变量：一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话的呼叫次数），则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。 随机变量的概率 姓名 1某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按 照题目要求独立完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过. 已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. 求： (1) 分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力. 解：（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η， 则ξ取值分别为1，2，3；η取值分别为0，1，2，3。 51)1(362214===ξC C C P ，53)2(361224===ξC C C P ，5 1 )3(3 60 234===ξC C C P 。 ∴考生甲正确完成题数的概率分布列为 25 1 3532511=?+?+?=ξE 。 ∵==)0(ηP 27 1)3 2 1(3 3= -C ， 同理：276)1(= =ηP ，2712)2(==ηP ，27 8)3(==ηP 。 ∴考生乙正确完成题数的概率分布列为： 227 832712227612710=?+?+?+? =ηE 。 （2）∵5 2 51)32(53)22(51)12(222 =?-+?-+? -=ξD ， 3 2278)32(2712)22(276)12(271)02(2222=?-+?-+?-+? -=ηD 。 （或3 2 31323=?? ==ηnpq D ） 。∴η<ξD D 。 ∵8.05153)2(=+= ≥ξP ，74.027 82712)2(≈+=≥ηP ， ∴)2()2(≥η>≥ξP P 。 2. 2某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有A 、B 两项技术指标需要检 测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为5 12 ，至少一项技术指标达标的概率为 11 12 ．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品. （Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？ （Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？ （Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求E ξ与D ξ. 解：（Ⅰ）设A 、B 两项技术指标达标的概率分别为1P 、2P 由题意得：121212 5(1)(1)12 111(1)(1)12 P P P P P P ? ?-+-?=????--?-?= ?? 解得：1232,43P P ==或12 23 ,34 P P ==，∴1212P P P ==. 即，一个零件经过检测为合格品的概率为12 . （Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为 5 5 455 5111312216 C C ????--= ? ????? （Ⅲ）依题意知ξ～B(4,12)，1422E ξ=?=，114122 D ξ=??= 3 某市举行的一次数学新课程骨干培训，共邀请15名使用不同版本教材的教师，数 随机变量及其概率分布、超几何分布 沙市五中高三数学组 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．设X 则q的值为________ 2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为________． 3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a 2k ，k＝1,2,3,4.则P(2<ξ≤4) ＝________. 5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，若P(X＝k)＝C4 7 C6 8 C10 15 ，则k＝________. 6 7．某电子管正品率为34，次品率为1 4 ，现对该批电子管有放回地进行测试， 设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)＝______. 8.如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝_______. 二、解答题(共42分) 9．(12分)袋中有同样的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求随机变量ξ的概率分布． 10．(14分)设离散型随机变量ξ的分布列P ? ? ???ξ＝k 5＝ak ，k ＝1,2，3,4,5. (1)求常数a 的值；(2)求P ? ? ???ξ≥35； (3)求P ? ????1 10 <ξ<710. 11．(16分)某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品． (1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的概率分布； (2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率． 《2.1 随机变量及其概率分布》教案 教学目标: 1?理解离散型随机变量的分布列的意义,会求某些简单的离散型随机变量的分布列; 2?掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质,并会用它来解决一些简单的问题. 3. 理解三个分布的意义. 教学重点: 离散型随机变量的分布列的意义及基本性质. 教学难点: 分布列的求法和性质的应用. 教学过程; 一．复习引入: 1.随机变量 2.随机变量常见的类型 二?离散型随机变量及其分布: 1. 如果离散型随机变量X的所有可能取得值为x1,x2,…,x n;X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率为p1,p2,…,p n,则称表 2. 离散型随机变量的分布列的两个性质: ⑴; ⑵. 例:某人射击4发子弹,击中目标则停止射击或直至射击完毕,该人每次击中目标的概率为0.8,求(1)该人射击子弹的分布列;(2)P{X<3},P{1 2.二项分布 定义若随机变量X的可能取值为0,1,…,n,而X的分布律为 其中0 第3章 随机变量的数字特征 1，在下列句子中随机地取一单词，以X 表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E . “They found Peking greatly changed ” 解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为 5/29)77654(5 1 )(=++++=X E . 2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。 解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为 29/175)147665544(29 1 )(=?+?+?+?= Y E . 3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。 解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为 1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221 3 12 110222==C C C p 。 所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为 )(2 1 222112290116台=?+?+?= E 。 4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。 解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为 得分的数学期望为 )(12 49)121110987(361)54321(61点=++++++++++= E 。 5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。 （2）设随机变量X 的分布律为 Λ,4,3,2,1,6 }{2 2--== =k k k X P π， 问X 的数学期望是否存在？随机变量的概率
第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案范文
《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布
随机变量及其概率习题
联合概率分布：离散与连续随机变量
随机变量及其概率分布
第二章随机变量及其函数的概率分布
求随机变量函数的概率密度函数的教学方法
随机变量的概率分布
概率论与数理统计随机变量及其分布问题
随机变量及概率
概率论与数理统计：认识随机变量
随机变量的概率
随机变量及其概率分布、超几何分布
《2.1 随机变量及其概率分布》教案
概率论习题答案第3章_随机变量的数字特征