数学理卷·2013届 福建省厦门市高三3月质量检查试题 (2013.03) word版
厦门市2013届高三质量检查
数学（理科）试卷
注意事项：
1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 1．已知全集U R =，集合{}
3A x x =<，{}
20B x x =-≥，则U A C B 等于（ ） A ．(,3]-∞ B ．(,3)-∞ C ．[2,3) D ．(3,2]-
2. 双曲线2
214
x y -=的渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．4y x =± C ．12y x =±
D ．14
y x =± 3. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（ ）
A ．20辆
B ．40辆
C ．60辆
D ．80辆 4. “a
b
e e >”是22log log a b >”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.函数()sin ()f x x x x =+∈R （ ）
A.是偶函数且为减函数
B. 是偶函数且为增函数
C.是奇函数且为减函数
D. 是奇函数且为增函数
6. 若不等式组,
0,1y x y x ≤??≥
??≤?
表示的平面区域为M ，不等式2
y x ≥表示的平面区域为N ，
现随机向区域M 内投掷一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为（ ）
A ．16
B ．13
C ．12 D. 23
7
俯视图
侧视图
甲每局比赛获胜的概率均为2
3
，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ）
A.
827 B. 6481 C. 49 D. 89
8. 在右侧程序框图中，输入5n =，按程序运行后输出的结果是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5 D.6
9．若函数3()3f x x x =-在2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（
）
A
．(
B ．[
C ．[)2,1-
D ．(2,1)-
10. ABC ?中，2,45BC A ==
，B 为锐角，点O 是ABC ?外接圆的圆心，则OA BC ?
的取值范围是（ ）
A. (-
B. (-
C. [-
D. (2,2)-
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。 11．若2()a i -为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a = . 12．已知3
sin(
),25
πx -=则cos 2x ＝ . 13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图
是半圆．．。现有一只蚂蚁从点A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 A 点，则蚂蚁所经过路程的最小值为________．
14．在含有3件次品的10件产品中，取出*
(10,)n n n N ≤∈件产品，
记n ξ表示取出的次品数，算得如下一组期望值n E ξ：
当n=1时， 0110
373711110103
0110
C C C C E C C ξ=?+?=;
当n=2时， 0211203737372222
1010106
01210
C C C C C C E C C C ξ=?+?+?=; 当n=3时， 031221303737373733333
101010109
012310
C C C C C C C C E C C C C ξ=?+?+?+?=; ……
观察以上结果，可以推测：若在含有M 件次品的N 件产品中，取出*
(,)n n N n N ≤∈件产品，记n ξ表示取出的次品数，则n E ξ=
． 15
．某同学在研究函数()f x =
的性质时，受到两点间距离公式的启发，将)(x f 变形为
2222)10()3()10()0()(++-+-+-=x x x f ，则)(x f 表示||||PB PA +（如图），下列关于函数)
(x f 的描述正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
①)(x f 的图象是中心对称图形； ②)(x f 的图象是轴对称图形；
③函数)(x f 的值域为)+∞
； ④方程[()]1f f x =.
三、解答题：本大题共6小题，共80
16.（本小题满分13分）
已知函数3
()cos 2
f
x x x ωω=
+（0>ω）的周期为4。 （Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）将()f x 的图象沿x 轴向右平移
2
3
个单位得到函数()g x 的图象， P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点（如图），求OQP ∠的大小。
17．（本小题满分13分）
如图，PA,QC 都与正方形ABCD 所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O （Ⅰ）求证：OP ⊥平面QBD;
（Ⅱ）求二面角P-BQ-D 平面角的余弦值；
（Ⅲ）过点C 与平面PBQ 平行的平面交PD 于点E ，求PE ED
的值.
18．（本小题满分13分）
某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元。此后该城市每年新增人口10万，医疗费用投入每年新增x 亿元。已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元。 （Ⅰ）求x 的值；
（Ⅱ）预计该城市从2013年起，每年人口增长率为10%。为加大医疗改革力度，要求将来10年医疗费用总．
投入．．
达到690亿元，若医疗费用人均投入每年新增y 元，求y 的值。 （参考数据：11
1.1
2.85≈） 19. （本小题满分13分）
已知函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=垂直，函数2
1()()2
g x f x x bx =+-． （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）设1212,()x x x x >是函数()g x 的两个极值点，若7
2
b ≥，求12()()g x g x -的最大值． 20. （本小题满分14分）
已知椭圆2
21:12
x C y +=. （Ⅰ）我们知道圆具有性质：若E 为圆O ：2
2
2
(0)x y r r +=>的弦AB 的中点，则直线AB 的斜率AB k 与
直线OE 的斜率OE k 的乘积AB OE k k ?为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆1C 的类似性质，并加以证明；
（Ⅱ）如图（1），点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴
交于C ，D 两点，求三角形OCD 面积的最小值；
（Ⅲ）如图（2），过椭圆22
2:182
x y C +=上任意一点P 作1C 的两条切线PM 和PN ，切点分别为M ，N.当点P 在椭圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
图（1） 图（2）
21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵=A ???
?
??3211 ，1223B ??= ???.
（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵1
-A ；
（Ⅱ）求直线01=-+y x 在矩阵1
A B -对应的线性变换作用下所得曲线的方程. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是22cos ,
2sin x θy θ=+??=?
（θ为参数）.
（Ⅰ）将C 1的方程化为普通方程；
（Ⅱ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线C 2的极坐标方程是()3
π
θρR =
∈， 求曲线C 1与C 2交点的极坐标．．．
. （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知正数x ，y ，z 满足62
22=++z y x ．（Ⅰ）求z y x ++2的最大值；（Ⅱ）若不等式
z y x a a ++≥-+221对满足条件的x ，y ，z 恒成立，求实数a 的取值范围．
厦门市2013届高三质量检查 数学（理科）评分标准
一．选择题； B C A B D
B A
C C A 10.分析1：BC=2，0
45A ∠=，所以2sin a
R R A
=
?=，如图建系， (1,0),(1,0)B C -(0,1)O ，求得圆O ：2
2
(1)2x y -+=，设(,)A x y ，则OA BC ?
分析2：||||cos ,4cos ,OA BC OA BC OA BC OA BC ?=?<>=<>
…
分析3：211()()()(22
OA BC OD DA BC DA BC AC AB AC AB c ?=+?=?=-+?-=-
又
2
sin sin sin 45b c B C ==， 所以
222211()))]22c b C B -=-=22221
()4(sin sin ) (2)
c b C B -=-= 二．填空题：
11. 1
± 12. 7
25
-
13.
(或 14.
mn
N
15．②③ 15.分析：如图设12(,0),(,0)P x Q x ，当P ，Q 关于3(,0)2
对称时，即
123
22
x x += 12()()f x f x =,所以f(x)关于
3
2
x =对称.
④设()f x t =，则()1f t
=10t =，则23t =，由③知无解. 三．解答题： 16.解：（1
）3
()cos 2f x x x =
+ω
ω1sin )2x x =ωω---------1分
cos
cos sin )33x x =+π
πωω)3
x =+π
ω----------3分
2=4,=
=
42
o T >ππ
ωω因为，所以 ------5分 ()s i n ()23
f x x ππ
+所以 ----6分
（2）将()f x 的图像沿x 轴向右平移
2
3
个单位得到函数()
2g x x π=-----------7分
因为P 、Q
分别为该图像的最高点和最低点，所以(1(3,
P Q ------------9分
所以2,4,OP PQ ==222cos 2OQ PQ OP OQ OQ QP θ+-===
?--------12分 所以6
π
θ=
----13分
法2：60,60,30=30o o o o POx P QOx θ∠=∠=∠=可以得所以
法3
：利用数量积公式cos QP QO QP QO
θ?==
=? ，=30o θ所以
17． 解：（Ⅰ）连接OQ ，由题知PA ∥QC,∴P 、A 、Q 、C 共面 BD ⊥AC,BD ⊥PA,PA∩AC=A ，
∴BD ⊥平面PACQ, ∴BD ⊥OP. -------1分
由题中数据得PA=2，AO=OC=2,OP=6,QC=1，OQ=3
∴△ PAO ∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC,
又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP ⊥OQ （或计算PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，OP ⊥OQ ）-----3分
∵OP ⊥BD, OP ⊥OQ,BD∩OQ=O ，∴OP ⊥平面QBD--------------------------4分 （Ⅱ）如图，以A 为原点，分别以AB,AD,AP 所在直线为X,Y ,Z 轴建立直角坐标系，
∴各点坐标分别为A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C （2,2,0），D （0,2,0）,P （0,0,2）,Q(2,2,1),O(1,1,0)-- -----------------5分
∴=(-2,0,2), =（0,2,1）,设平面PBQ 的法向量),,(z y x =
∴22020
n BP x z n BQ y z ??=-+=???=+=??
，得??
?-==z y z x 2， 不
妨
设
1
-=y ，
∴)2,1,2(-=n --------------------------------------------------------------------------------------------------6分
由（Ⅰ）知平面BDQ 的法向量)2,1,1(--=，---------------------------------------------------------------------------7分
>=OP n OP n ?= =? ， ∴ 二 面 角 P-BQ-D 平 面 角 的 余 弦 值 为 6 6 .-------------------------------------------------------------------------------------9分 （Ⅲ）设PE ED λ= ,∴()(1)0,2,2PD PE ED ED λ=+=+=- ,()1 0,2,21ED λ =-+ 222,,11CE CD DE λλ-??=+=- ? ++? ? ， -------------------------------------------------------------------------------------------11分 ∵CE ∥平面PBQ,∴CE 与平面PBQ 的法向量)2,1,2(-=n 垂直。 242440111n CE -?=-++==+++ λλλλ ,----------------------------------------------------------------------------------------1 2分 ∴2 1= λ. ∴ 1 2 PE ED =--------------------------------------------------------------------------------------------------------------13分 （方法二）在平面PAD 中，分别过D 点、P 点作直线PA 、AD 的平行线相交于点M ， 连结MC 交直线DQ 与点N ，在平面PQD 中过点N 作直线NE ∥PQ 交PQ 于点E ，----------------------------11分 由题可知CN ∥PB,NE ∥PQ,CN∩NE=N ∴平面CNE ∥平面PBQ,∴CE ∥平面PBQ----------------------------------12分 ∵CQ=1，MD=PA=2，∴1 2 QN ND = ∵NE ∥PQ, 1 2 PE ED =------------------------------------------------------------13分 18．本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力，考查等差等比数列的基本知识，考查数学建模及其应用 与计算的能力，考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力．满分13分. 解：（Ⅰ）依题意，从2002年起，该城市的人口数组成一个等差数列， 到2012年，11n =，该城市的人口数为200(111)10300+-?=万人， --------------------------------2 分 故2012年医疗费用投入为4 9 300101000310??=?元，即为30亿元， 由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列，--------------------------------------------------4 分 所以10(111)30x +-=，解得2x =，--------------------------------------------------------------------------------5 分 （Ⅱ）依题意，从2013年起（记2013年为第一年）， 该城市的人口数组成一个等比数列{}n a ， 其中1300(110%)300 1.1a =?+=?，公比 1.1q =，300 1.1n n a =?----------------------------------------6 分 医疗费用人均投入组成一个等差数列{}n b ， 其中11000b y =+，公差为y ，1000n b ny =+；---------------------------------------------------------------7 分 于是，从2013年起，将来10医疗费用总投入为： 1011221010S a b a b a b =+++ ，----------------------------------------------------------------------------------------8 分 21010300(1000) 1.1300(10002) 1.1300(100010) 1.1S y y y =+?++?+++? ， 2311101.1300(1000) 1.1300(10002) 1.1300(100010) 1.1S y y y =+?++?+++? ， 相减得：2 10 11 100.1300[1100 1.1 1.1 1.1(100010) 1.1]S y y y y -=++++-+? ， 11 1110 1.1 1.10.1300[1100(100010) 1.1]300(111750)1 1.1 S y y y --=+-+?=-+-， 所以3000(111750) n S y =+（万元），----------------------------------------------------------------------------12分 由题设，3000(111750)6900000y +=，解得50y =。------------------------------------------------------13 分 19. 本题主要考查函数的导数的几何意义，导数知识的应用等基础知识，函数的单调性、考查运算求解能力、 推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。满分13分. 解：（Ⅰ）∵()ln f x x a x =+，∴()1a f x x '=+ .------------------------------------------------------------------1分 ∵l 与直线20x y +=垂直，∴1 12x k y a ='==+=，∴1a =.---------------------------------3分 （Ⅱ）∵2 1()ln (1)2 g x x x b x =+--，∴21(1)1()(1)x b x g x x b x x --+'=+--=.---------------------------4分 由题知()0g x '<在(0,)+∞上有解，∵0x >,----------------------------------------------------------------5 分 设2 ()(1)1u x x b x =--+，则(0)10u => ∴只须21 02(1)40b b -?>????=-->? ------------------------------7 分 1331 b b b b >???>?><-? 或，故b 的取值范围为(3,)+∞.-------------------------------------------------8分 （Ⅲ）∵21(1)1 ()(1)x b x g x x b x x --+'=+--=，∴令()0g x '=，得：2(1)10x b x --+= ∴12121,1x x b x x +=-=， 法1：∵221211122211 ()()[ln (1)][ln (1)]22 g x g x x x b x x x b x -=+ ---+-- 22221112121212122211 ln ()(1)()ln ()()()22 x x x x b x x x x x x x x x x =+----=+--+- 2222 1112112122212221 111ln ()ln ()ln ()222x x x x x x x x x x x x x x x x -=--=-=------------------------------1 0分 ∵120x x <<，∴设12(01)x t t x = <<，令11 ()ln (),(01)2h t t t t t =--<<-------------------------11分 则2 22 111(1)()(1)022t h t t t t -'=-+=- <，∴()h t 在(0,1)上单调递减．-----------------------------------------12分 又∵72b ≥，∴225(1)4 b -≥，即22 121212()125()24x x x x t x x t ++==++≥ ∵01t <<，∴241740t t -+≥，∴104t <≤ ，115()()2ln248h t h ≥=-，故所求最小值为15 2ln28 ---13分 法2：同上得 2 12121ln )(21)()(x x x x b x g x g +--= - 2 2221ln 4)(21x x x b +-+-= 22ln 24)1(2 1x b b +---= 2 4)1()1(ln 24)1(2122 --+-+---=b b b b 2ln 2]4)1()1ln[(24)1(2 1 22---+-+---= b b b b --------------------------------------------10分 令51()2t b t =-≥ ， 则()2ln(2ln 2h t t =+-----------------------------------------11分 22 ()h t '== ≥ 0----------------------------------------------------------12分 ()h t 在5(,)2+∞上为增函数.当5 2 t = 时,15()2ln 2.8h t =- 故所求最小值为 15 2ln28 ----------------------13分 20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查类比推理论证能力、运算求解能力，考查一般到特殊的思想 方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。满分14分. 解：（Ⅰ）若A ，B 为椭圆2 21:12 x C y +=上相异的两点，00(,)E x y 为A ，B 中点，当直线AB 的斜率 AB k 与直线OP 的斜率 OP k 的乘积 k k ?必为定 值;---------------------------------------------------1分 证1：设1122(,),(,)A x y B x y ，则2 2112 222 1(1)21(2) 2 x y x y ?+=--????+=--?? （2）-（1）得： 21212121()() ()()02 x x x x y y y y +-++-=，-----------2分 仅考虑斜率存在的情况∴：0020AB x y k +?=?1 2 OE AB k k ?=-----------------------------------------4分 证2：设AB ：y kx b =+与椭圆2 21:12 x C y +=联立得：222(12)4220k x kbx b +++-= 122 412kb x x k +=-+，-----------------------------------------------------------------------------------------------------2分 所以00022 021 12122OE y kb b x y k k k x k =- ?=?==-?++12OE AB k k ?=-----------4分 （Ⅱ）（ⅰ）当点A 无限趋近于点B 时，割线AB 的斜率就等于椭圆上的B 的切线的斜率k ， 即12OB k k =- ，2 22y x k -= 所以点B 处的切线QB ：222222()122 x x y y x x x y y y -=--?+=----------------6分 令0=x ，21y y D = ，令22,0x x y C ==，所以2 22 y x S OCD =?-----------------8分 又点B 在椭圆的第一象限上，所以12 ,0,02 22 222=+>>y x y x 222 22 2222222 221y x y x y x =≥+=∴ 22 2222=≥=∴?y x S OCD ，当且仅当12222222 2==?= y x y x 所以当(1, 2 B 时，三角形OCD 的面积的最小值为2-------10分（没写等号成立扣1分） （ⅱ）设(,)P m n ，由（ⅰ）知点),(33y x M 处的切线为： 12 33 =+y y x x 又PM 过点(,)P m n ，所以 1233=+n y m x ，又可理解为点),(33y x M 在直线12 =+yn m x 上 同理点),(44y x N 在直线12=+yn m x 上，所以直线MN 的方程为：12 m x ny += --------------------------12 分 所以原点O 到直线MN 的距离 d = =，----------13分 所以直线MN 始终与圆22 1 2 x y +=相切. ------------------------14分 21. （1）选修4-2：矩阵与变换 本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识，考查书写表达能力、运算求解能力。满分7分 解：（Ⅰ）013 211det ≠== A ，∴矩阵A 可逆． ---------------------------------------------------------------------1分 且=-1 A ???? ? ??--1213 -------------------------------------------------------------------------------------------3 分 （Ⅱ）B A 1 -=????? ??--1213???? ??3221=???? ? ??1031 ---------------------------------------------------------------------------4分 设直线01=-+y x 上任意一点(,)P x y 在矩阵B A 1 -对应的线性变换作用下得到'''(,)P x y ， 则 ???? ? ??1031???? ? ??y x = ???? ? ??''y x ----------------------------------------------------------------------------------------------------5分 即：? ??='+='y y y x x 3，从而 ? ? ?'=' -'=y y y x x 3------------------------------------------------------------------------------6分 代入01=-+y x 得012=-'-'y x 即012=--y x 为所求的曲线方程。 -------------------------------------7分 （2）选修4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识，考查运算求解能力，数形结合思想。满分7分 解：（Ⅰ）C 1的普通方程为：4)2(2 2 =+-y x ---------------------------------------------------------------------------3分 （Ⅱ）法一：如图,设圆心为A ， 原点O 在圆上， 设 C 1与C 2相交于O 、B ，取线段OB 中点C ， 直线OB 倾斜角为 3 π ，OA=2，-----------------------------------------------4分 ∴OC=1 从而OB=2，-------------------------------------------------------------5分 ∴O 、B 的极坐标分别为).3 ,2(),0,0(π B O ------------------------------------7分 法二：C 2的直角坐标方程为：x y 3=--------------------------------------4分 代入圆的普通方程后，得4)3()2(22=+-x x ,即：0)1(=-x x ，得：1,021==x x ∴O 、B 的直角坐标分别为).3,1(),0,0(B O ---------------------------------------------------------------------5 分 从而O 、B 的极坐标分别为).3 , 2(),0,0(π B O ---------------------------------------------------------------------7 分 （3）选修4-5：不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，分类讨论思想。满分7分 解：（Ⅰ）由柯西不等式，2222222)2()121)((z y x z y x ++≥++++ ----------------------------------------------1分 即有36)2(2 ≤++z y x ， 又x 、y 、z 是正数，∴62≤++z y x 即z y x ++2的最大值为6，-------------------------------------2分 当且仅当1 21z y x ==，即当2,1===y z x 时取得最大值。-------------------------------------------------3分 （Ⅱ）由题意及（Ⅰ）得，6)2(21max =++≥-+z y x a a ------------------------------------------------------4 分 即： ---------------------------------------------------------------------6分 解得：a 无解 或 37 - ≤a 综上a 的取值范围为3 7 -≤a ------------------------------------------7 分 绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （ ） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 2． 131i i +=-（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i -- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ ρ，则=?b a ρρ（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ． (1)2n n + D ．(1) 2 n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（ ） A ． 2717 B ．95 C ．2710 D ．3 1 7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为 （A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D 3 D 1 1 A B 1 8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） 高中数学《集合》测试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 2．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］(2006年高考浙江理) 3．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4．已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}（2004全国Ⅱ1） 5．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012江西理） C 6．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 7．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ，则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------（ ） （A ） a ＞0，b 2―4ac ＞0 （B ） a ＞0，b 2 ―4ac ＜0 （C ） a ＜0，b 2―4ac ＞0 （D ） a ＜0，b 2―4ac ＜0 二、填空题 8．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{}321,,a a a A =，则满足 第一讲 坐标系 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以 答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2. ∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为 答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选 解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选 答案:C 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷I) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2 －2x ＞0}，B ＝{x | x ，则( )． A ．A ∩ B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ?A D ．A ?B 2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )． A ．－4 B ．45- C ．4 D ．4 5 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样 4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出 的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ．500π3cm3 B ．866π 3cm3 C ．1372π3cm3 D ．2048π 3cm3 7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 2014年全国高考数学卷文科卷1 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则M N =（ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(- 2．若0tan >α，则 A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 3．设i i z ++= 11 ，则=||z A. 2 1 B. 2 2 C. 2 3 D. 2 4．已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为 2，则=a A. 2 B. 2 6 C. 2 5 D. 1 5．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A.)()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(| x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 6．设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A.AD B. AD 2 1 C. BC 2 1 D. BC 7．在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)6 2cos(π+=x y ,④)4 2tan(π-=x y 中，最小 正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） 9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行. ●点击双基 1.（2005年春季，3）下列命题中，正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案：C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾. 答案：C 3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 解析：A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； B 错，若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； D 正确. 答案：D 4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题： .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β，求证：MN ∥平面α. 剖析：因为AB 与CD 是异面直线，故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率 是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程 为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3 ＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF | ＝POF 的面积为( )． A ．2 B ． ．．4 9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．5 2014年全国大纲卷高考文科数学真题及答案2014年普通高等学校统一考试(大纲) 文科数学 第?卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合，则中元素的个数为MNMN,,{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}( ) A(2 B(3 C(5 D(7 2.已知角的终边经过点，则( ) ,cos,,(4,3), 4334A( B( C( D( ,, 5555 xx(2)0，,,3.不等式组的解集为( ) ,||1x,, A( B( C( D( {|21}xx,,,,{|10}xx,,,{|01}xx,,{|1}xx,4.已知正四面体ABCD 中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( ) 3311A( B( C( D( 6336 35.函数的反函数是( ) yxx,，,,ln(1)(1) x3x3A(yex,,,,(1)(1) B(yex,,,,(1)(1) x3x3C(yexR,,,(1)() D(yexR,,,(1)() 06.已知为单位向量，其夹角为，则( ) ab、(2)abb,,,60 A(-1 B(0 C(1 D(2 7. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A(60种 B(70种 C(75种 D(150种 8.设等比数列的前n项和为，若则( ) {}aSSS,,3,15,S,nn246A(31 B(32 C(63 D(64 22xy 9. 已知椭圆C:，,1的左、右焦点为、，离心率FF(0)ab,,1222ab 3为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则CF,AFB4321 3 的方程为( ) 2222222xyxyxyx2A(，,1 B(，,y1 C(，,1 D(，,1 33212812410.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) 81,27,A( B( C( D( 16,9, 4422xy ,,,,1(0,0)ab11.双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距 22ab 离为，则C的焦距等于( ) 3 A(2 B( C(4 D( 2242 一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){} 2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----. (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况． (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展 1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ()()U U A B A B U ?=??=痧 . 3．奇数集：{}{}{} 21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数 2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第36讲空间向量及其应用 一．课标要求： （1）空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量； ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、 速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 加法交换率： 加法结合率： 数乘分配率： 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的 数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I ） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合M=｛x|-1＜x ＜3｝，N=｛x|-2＜x ＜1｝则M ∩N=（ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(- （2）若0tan >α，则 A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α （3）设i i z ++=11，则=||z A. 21 B. 22 C. 2 3 D. 2 （4）已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 2 5 D. 1 (5)设函数)(),(x g x f 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 （6）设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A. AD B. AD 21 C. BC D. BC 21 (7)在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ （8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体 的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷) 数 学(理科) 一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=? B 、A ∪B=R C 、B ?A D 、A ?B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B. 2、若复数z 满足错误！未找到引用源。 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4 （B ）－4 5 错误！未找到引用源。 （C ）4 （D ）45 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题. 【解析】由题知z =|43|34i i +- ==3455i +，故z 的虚部为4 5，故选D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样错误！未找到引用源。 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C. 4、已知双曲线C ：22 22 1x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A . 14y x =± B .13y x =± C .1 2y x =± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题. 高考数学真题分类汇编集合专题（基础题） 一、单选题 1.集合M={x|1＜x+1≤3}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（?R M）∩（?R N）等于（） A. （﹣1，3） B. （﹣1，0）∪（2，3） C. （﹣1，0]∪[2，3） D. [﹣1，0]∪（2，3] 2.已知R是实数集，M={x| ＜1}，N={y|y= +1}，N∩?R M=（） A. （1，2） B. [0，2] C. ? D. [1，2] 3.已知集合，，若，则实数的值为（） A. 1 B. C. 2 D. 4.已知集合，，则等于（） A. B. C. D. 5.已知集合A={x|x＞0}，函数的定义域为集合B，则A∩B=（） A. [3，+∞） B. [2，3] C. （0，2]∪[3，+∞） D. （0，2] 6.已知集合，，则（） A. B. C. D. 7.已知集合A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩（?R B）=（） A. {x|x≥4} B. {x|x＞4} C. {x|x≥﹣2} D. {x|x＜﹣2或x≥4} 8.已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝，Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若M∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝（3，4],则a+b＝（） A. 7 B. －1 C. 1 D. －7 9.已知集合A={2，4}，B={2，3，4}，，则C中元素个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 10.集合，，则的子集个数是________． 答案 一、单选题 1.D 2.D 3. A 4. C 5.B 6. D 7.B 8. D 9.B 二、填空题 10. 2 第1 页共1 页 2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学 第Ｉ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi += (A) 34i - (B) 34i + (C) 43i - (D) 43i + (2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B = (A) (0,2] (B) (1,2) (C) [1,2) (D) (1,4) (3) 函数21 ()log 1 f x x = -的定义域为 (A) (0,2) (B) (0,2] (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ (4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程3 0x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根 (B) 方程3 0x ax b ++=至多有一个实根 (C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程3 0x ax b ++=恰好有两个实根 (5) 已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是 (A) 33 x y > (B) sin sin x y > (C) 22 ln(1)ln(1)x y +>+ (D) 221111 x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是 (A) 0,1a c >> (B) 1,01a c ><< (C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<< (7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为 6 π ，则实数m = (A) 23 (B) 3 (C) 0 (D) 3- (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 x E O 高考数学专题：集合 最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 (1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A. (2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A. (3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B. (4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补 集为?U A 图形表示 集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且x?A} 4. (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. (2)子集的传递性：A?B，B?C?A?C. (3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. (4)?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B )，?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B ). 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)任何集合都有两个子集.( ) (2)已知集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ＝B ＝C .( ) (3)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (4)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) 解析 (1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的. (2)错误.集合A 是函数y ＝x 2的定义域，即A ＝(－∞，＋∞)；集合B 是函数y ＝x 2的值域，即B ＝[0，＋∞)；集合C 是抛物线y ＝x 2上的点集.因此A ，B ，C 不相等. (3)错误.当x ＝1，不满足互异性. (4)错误.当A ＝?时，B ，C 可为任意集合. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修1P7练习2改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤10}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A.{a }?A B.a ?A C.{a }∈A D.a ?A 解析 由题意知A ＝{0，1，2，3}，由a ＝22，知a ? A . 答案 D 3.（·全国Ⅰ卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________. A.? ? ???－3，－32 B.? ? ???－3，32 C.? ? ? ??1，32 D.? ?? ??32，3 解析 易知A ＝(1，3)，B ＝? ????32，＋∞，所以A ∩B ＝? ???? 32，3. 答案 D 4.（·石家庄模拟)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1，3}，B ＝{3，5}，则?U (A ∪B )等于( ) A.{1，4} B.{1，5} C.{2，5} D.{2，4} 解析 由题意得A ∪B ＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U ＝{1，2，3，4，5}，∴?U (A ∪B )＝{2，4}. 答案 D 2013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析 一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合{} {2|20,|A x x x B x x =->=<，则 ( ) A.A∩B=? B.A ∪B=R C.B ?A D.A ?B 考点 ：集合的运算 解析：A=(-,0)∪(2,+ ), ∴A ∪B=R. 答案：B 2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D . 45 考点 ：复数的运算 解析：由题知== = ，故z 的虚部为 . 答案：D 3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 考点 ：抽样的方法 解析：因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样. 答案：C 4.已知双曲线 ： （ ）的离心率为 ，则 的渐近线方程为 A. B. C.1 2 y x =± D. 考点 ：双曲线的性质 解析：由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为. 答案：C 5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s 属于 A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 考点 ：程序框图 解析：有题意知，当时， ，当 时， ， ∴输出s 属于[-3,4]. 答案：A 6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A . 3 5003 cm π B . 38663cm π C. 313723cm π D. 3 20483 cm π 考点 ：球的体积的求法 解析：设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则 ，解得R=5，∴球的体积为 35003 cm π = . 答案：A 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( ) A .3 B .4 C.5 D.6 考点 ：等差数列 2014年普通高等学校统一考试（大纲卷） 文科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N I 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α= A ．45 B ．35 C ．35- D ．45 - 3.不等式组(2)0||1 x x x +>?? 4.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为 A ．16 B ．13 D 5.函数1)(1)y x =+>-的反函数是 A ．3(1)(1)x y e x =->- B ．3 (1)(1)x y e x =->- C ．3(1)()x y e x R =-∈ D ．3(1)()x y e x R =-∈ 6.已知a b r r 、 为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -?=r r r A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 7. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S = A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 9. 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的直线交C 于A 、B 两点，若1AF B ? 的周长为，则C 的方程为 A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．22 1124 x y += 10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为 A ．814π B ．16π C ．9π D ．274 π 11.双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2 ，则C 的焦距等于 A ．2 B ． C ．4 D ． 12.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f += A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 6 (2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答） 14.函数cos 22sin y x x =+的最大值为 . 15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥??+≤??-≤? ，则4z x y =+的最大值为 . 16. 直线1l 和2l 是圆22 2x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分） 数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式.2014年高考全国2卷文科数学试题(含解析)
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