人教B版数学必修四同步过关提升特训:2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

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人教B版数学必修四同步过关提升特训:2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

课时过关·能力提升

1.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c=1,则c的坐标为()

A.(3,-2)

B.(3,2)

C.(-3,-2)

D.(-3,2)

c=(x,y),则有

解得故c=(-3,-2).

2.已知m=(a,b),向量n与m垂直,且|m|=|n|,则n的坐标为()

A.(b,-a)

B.(-a,b)

C.(-a,b)或(a,-b)

D.(b,-a)或(-b,a)

3.已知点A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),则四边形ABCD是()

A.梯形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

=(3,-2),=(4,6),=(-3,2),

所以,且=0,

即,所以四边形ABCD是矩形.

4.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(3,0),则|2a-b|的最大值为()

A.4

B.2

C.25

D.5

2a-b|=,

因此当cos<2a,b>=-1时,|2a-b|取得最大值5.

5.在Rt△ABC中,∠C=,AC=3,取点D使=2,则等于()

A.3

B.4

C.5

D.6

C为原点,分别以CA,CB所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设CB=a,

∴C(0,0),A(3,0),B(0,a).

设D点坐标为(m,n),

∵=2,

即(m,n-a)=2(3-m,-n),得m=2,n=.

∴·(3,0)=6,故选D.

6.已知O为坐标原点,=(3,1),=(-1,2),,则满足的向量

的坐标为.

7.设O为原点,已知点A(a,0),B(0,a)(a>0),点P在线段AB上,且=t(0≤t≤1),则的最大值为.

·()=·(+t)=+t=a2+t(a,0)·(-a,a)=a2+t(-a2+0)=(1 -t)a2.

∵0≤t≤1,∴0≤1-t≤1,

∴的最大值为a2.

2

8.以原点及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使∠B=90°,求点B和向量的坐标.

,设点B的坐标为(x,y),则=(x,y),=(x-5,y-2).

∵,

∴x(x-5)+y(y-2)=0,

即x2+y2-5x-2y=0.

∵||=||,

∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2,

即10x+4y=29.

解方程组

∴点B的坐标为;

当点B的坐标为时,;

当点B的坐标为时,.

综上,点B的坐标为,

或点B的坐标为.

★9.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|k a+b|=|a-k b|(k>0).

(1)用k表示数量积a·b;

(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ.

由|k a+b|=|a-k b|,

得(k a+b)2=3(a-k b)2,

∴k2a2+2k a·b+b2=3a2-6k a·b+3k2b2.

∴(k2-3)a2+8k a·b+(1-3k2)b2=0.

∵|a|=1,|b|=1,

∴k2-3+8k a·b+1-3k2=0,

∴a·b=.

(2)由(1),得a·b=,由函数的单调性的定义,易知f(k)=在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故当k=1时,a·b的最小值为f(1)=×(1+1)=.此时a,b的夹角为θ,则cos θ=,∴θ=60°.

★10.

如图,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),.

(1)求x与y的关系式;

(2)若,求x,y的值及四边形ABCD的面积.

∵=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),

∴=-=(-x-4,2-y).

∵=(x,y),

∴x(2-y)-(-x-4)y=0,

∴x与y的关系式为x+2y=0.

(2)因为=(6,1)+(x,y)=(x+6,y+1),=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3).

∵,∴=0,

即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.

又由(1)的结论x+2y=0,

得(6-2y)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.

化简,得y2-2y-3=0.

∴y=3或y=-1.

①当y=3时,x=-6,于是=(-6,3),=(0,4),=(-8,0).

∴||=4,||=8.

∴S四边形ABCD=|||=16.

②当y=-1时,x=2,

于是有=(2,-1),=(8,0),=(0,-4),

∴||=8,||=4.

∴S四边形ABCD=|||=16.

综上,四边形ABCD的面积为16.

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