2009年新疆乌鲁木齐市中考数学试题及答案

新疆乌鲁木齐市2009年中考卷

一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）每题的选项中只有一项符合题目要求． 1．2-的绝对值是（ ） A ．2-

B ．2

C ．12

-

D ．

12

2．下列运算中，正确的是（ ）

A ．6

2

3

x x x ÷= B ．22(3)6x x -= C ．3232x x x -= D ．327

()x x x = 3．若相交两圆的半径分别为1和2，则此两圆的圆心距可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

4．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

5．下列几何体中，其主视图、左视图与俯视图均相同的是（ ） A ．正方体 B ．三棱柱 C ．圆柱 D ．圆锥 6．如图1，正比例函数y m x =与反比例函数n y x

=

（m n 、是

非零常数）的图象交于A B 、两点．若点A 的坐标为（1，2），

则点B 的坐标是（ ）

A ．(24)--，

B ．(21)--，

C ．(12)--，

D ．(42)--，

7．要得到二次函数2

22y x x =-+-的图象，需将2

y x =-的图象（ ）

A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位

B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位

C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位

D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案直接填在答题卡的相应位置处．

8．在平面直角坐标系中，点(12)A x x --，

在第四象限，则实数x 的取值范围是 ． 9．如图2，在A B C △中，D E B C ∥，若123A D D E B D

===，

，，

则

B C = ．

10．化简：

2

2

444

2

x x x x x ++-

=-- ．

11．某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元

的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等式为 ．

12．瑞瑞有一个小正方体，6个面上分别画有平行四边形、圆、等腰梯形、菱形、等边三角形和

直角梯形这6个图形．抛掷这个正方体一次，向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．

13．如图3，点C D 、在以A B 为直径的O ⊙上，且C D 平分A C B ∠，若215AB CBA =∠=，°，

则C D 的长为 ．

三、解答题（本大题Ⅰ-Ⅴ题，共10小题，共98分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明、证明过程或演算过程． Ⅰ．（本题满分12分，第14题6分，第15题6分） 14

．计算：?

÷

??

．

15．解方程

3312

2x x x

-+

=--．

Ⅱ．（本题满分28分，第16题7分，第17题10分，第18题11分）

16．如图4，将A B C D 的对角线B D 向两个方向延长至点E 和点F ，使B E D F =，求证四边形A E C F 是平行四边形．

A

D E

C

B

图2

A F

C E B

D 图4 图3

17．某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对A、B两种商品实行打折出售．打折前，购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元．而店庆期间，购买50件A商品和50件B商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？

18．如图5，在A B C

△中，A B A C

=，以A B为直径的O

⊙交B C于点M，M N A C

⊥于点N．

（1）求证M N是O

⊙的切线；

（2）若1202

BAC AB

∠==

°，，求图中阴影部分的面积．

Ⅲ．（本题满分34分，第19题12分，第20题10分，第21题12分）

19．某中学组织全校4 000名学生进行了民族团结知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图6的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．

请根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布表；

（2）补全频数分布直方图；

（3）上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内？

（4）学校将对成绩在90.5~100.5分之间的学生进行奖励，请估计全校4 000名学生中约有多少名获奖？

20．九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A处测得南岸的一尊石雕C在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B处，又测得石雕C在其南偏东30°方向．你认为此方案能够测得该公园的湖心亭A处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？

21．有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：

图5

D C

图7 /分

（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？

（2）若此单位恰好花费7 500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？

Ⅳ．（本题满分10分）

22．星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数关系如图8所示．

（1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？

（2）当0.5

x≥时，求储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数解析式；

（3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．Ⅴ．（本题满分14分）23．如图9，在矩形O A B C中，已知A、C两点的坐标分别为(40)(02)

A C

，、，，D为O A的中点．设点P是A O C

∠平分线上的一个动点（不与点O重合）．

（1）试证明：无论点P运动到何处，P C总与P D相等；

（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O P D

、、三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，P D E

△的周长最小？求出此时点P的坐标和P D E

△的周长；

（4）设点N是矩形O A B C的对称中心，是否存在点P，使90

C P N

∠=°？若存在，请直接写出点P的坐标．

)

C

图9

新疆乌鲁木齐市2009年高中招生考试

数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．C 7．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 8．2x > 9．8 10．

22

x - 11．500.31200x +≤ 12．13

13

三、解答题（本大题共10小题，共98分）

Ⅰ．（本题满分12分，第14题6分，第15题6分） 14

．解：原式?

=÷ ?······································································ 3分

143

=

=． ··················································································· 6分

15．解：方程两边同乘以2x -，得3(3)2x x --=-，即28x =，解得4x =． ··········· 4分 检验：4x =时，20x -≠，

∴原方程的解是4x =． ········································································································ 6分 Ⅱ．（本题满分28分，第16题7分，第17题10分，第18题11分） 16．证明：连接A C 、，设A C 与B D 交于点O ．

∵四边形A B C D 是平行四边形，∴O A O C O B O D ==，， ············································· 5分 又∵B E D F =，∴O E O F =． ·························································································· 6分 ∴四边形A E C F 是平行四边形． ·························································································· 7分 17．解：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意有

58463108x y x y +=??+=?解之，得16

4

x y =??

=? ························································································· 8分 打折前购买50件A 商品和50件B 商品共需16504501000?+?=元． ∴打折后少花(1000960)40-=元．

答：打折后少花40元． ······································································································· 10分

18．（1）证明：连接O M ．

∵O M O B =，∴B O M B ∠=∠，∵A B A C =，∴B C ∠=∠． ∴O M B C ∠=∠，∴O M A C ∥．

又M N A C ⊥，∴O M M N ⊥，点M 在O ⊙上，∴M N 是O ⊙的切线． ····················· 5分 （2）连接A M ．∵A B 为直径，点M 在O ⊙上，∴90A M B ∠=°．

∵120A B A C B A C =∠=，°，∴30B C ∠=∠=°，∴60A O M ∠=°． 又∵在R t A M C △中，M N A C ⊥于点N ，∴30A M N ∠=°．

1sin sin 30sin 302

A N A M A M N A C =∠==

°°，

co s sin 30co s 302

M N A M A M N A C =∠== °°， ····················································· 8分

∴()2

8

A N M O A N O M M N

S +=

=

梯形，2

60π1π360

6

O A M S =

=

扇形，

∴24

S =

阴影．·········································································································· 11分

Ⅲ．（本题满分34分，第19题12分，第20题10分，第21题12分）

19．解：（1）

（每空1分） ······································ 6分 （2）略； ································································································································ 8分 （3）80.5~90.5； ·················································································································· 10分 （4）1480人． ····················································································································· 12分 20．解：此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离． 过点A 作南岸所在直线的垂线，垂足是点D ，AD 的长即为所求． 在R t A D C △中，∵9045A D C D A C ∠=∠=°，°，∴D C A D = 在R t B D C △中，∵9030B D C D B C ∠=∠=°，°，∴B D D = ······························ 7分

由题意得：10A B B D A D D A D ==-=

-，解得13.7A D =

答：该公园的湖心亭A 处到南岸的距离约是13.7米． ······················································ 10色 21．解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用6(800206)4080?-?=（元）；在乙公司购买需要用75%80063600??=（元）4080<（元）．应去乙公司购买； ······················ 3分 （2）设该单位买x 台，若在甲公司购买则需要花费(80020)x x -元；若在乙公司购买则需要花费

75%800600x x ?=元；

①若该单位是在甲公司花费7 500元购买的图形计算器， 则有(80020)x x -7500=，解之得1525x x ==，．

当15x =时，每台单价为8002015500440-?=>，符合题意，

当25x =时，每台单价为8002025300440-?=<，不符合题意，舍去． ················· 10分

②若该单位是在乙公司花费7 500元购买的图形计算器，则有6007500x =，解之得12.5x =，不符合题意，舍去．

故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台． ······················································ 12分 Ⅳ．（本题满分10分） 22．解：（1）由图可知，星期天当日注入了1000020008000-=立方米的天然气； ··· 2分 （2）当0.5x ≥时，设储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数解析式为：

y kx b =+（k b ，为常数，且0k ≠），∵它的图象过点(0.510000)，

，(10.58000)，， ∴0.51000010.58000

k b k b +=??

+=? 解得20010100

k b =-??

=?

故所求函数解析式为：20010100y x =-+． ····································································· 6分 （3）可以．

∵给18辆车加气需1820360?=（立方米），储气量为100003609640-=（立方米）， 于是有：964020010100x =-+，解得： 2.3x =，

而从8：00到10：30相差2.5小时，显然有：2.3 2.5<，

故第18辆车在当天10：30之前可以加完气． ··································································· 10分 Ⅴ．（本题满分14分） 23．解：（1）∵点D 是O A 的中点，∴2O D =，∴O D O C =． 又∵O P 是C O D ∠的角平分线，∴45P O C P O D ∠=∠=°， ∴P O C P O D △≌△，∴P C P D =． ··············································································· 3分 （2）过点B 作A O C ∠的平分线的垂线，垂足为P ，点P 即为所求． 易知点F 的坐标为（2，2），故2B F =，作P M B F ⊥， ∵P B F △是等腰直角三角形，∴112

P M B F ==，

∴点P 的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点，

∴设抛物线的解析式为2

y a x b x =+．

又∵抛物线经过点(33)P ，

和点(20)D ，， ∴有933420

a b a b +=??

+=? 解得12

a b =??

=-?

∴抛物线的解析式为2

2y x x =-． ······················································································ 7分

（3）由等腰直角三角形的对称性知D 点关于A O C ∠的平分线的对称点即为C 点．

连接E C ，它与A O C ∠的平分线的交点即为所求的P 点（因为P E P D E C +=，而两点之间线段最短），此时P E D △的周长最小．

∵抛物线2

2y x x =-的顶点E 的坐标(11)-，

，C 点的坐标(02)，， 设C E 所在直线的解析式为y kx b =+，则有12k b b +=-??=?，解得32k b =-??=?

．

∴C E 所在直线的解析式为32y x =-+．

点P 满足32y x y x =-+??=?，解得12

1

2x y ?=????=??，故点P 的坐标为1122?? ???，．

P E D △

的周长即是C E D E +=

．

（4）存在点P ，使90C P N ∠=°．其坐标是1122??

???

，或(22)，． ···································· 14分