A ．小于
22 B ．大于2
2
C ．小于23
D ．大于23
考点二：正弦和余弦之间的关系
【例2】、如图，在R t △ABC 中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,，∠C=90°。
sinA=__________；cosB=___________；则sinA________ cosB
cosA=_________；sinB=____________；则cosA________ sinB
思考：sin(90°-α)=____________；cos(90°-α)=_______________。
[实战演练1]：
（1）已知2
1
sin =
A ，且A
B ∠-?=∠90，则B cos =________； （2）、已知6807.0647cos ='?，则4542sin '?=___________。
（3）、已知5736.035sin =?，则5736.0cos______=。 考点3：用同角的正弦和余弦之间的关系解题
【例3】、1、已知：∠A 是锐角，求证：1cos sin 2
2
=+A A
2、已知，cosA=
5
3
，则sinA=_______ 3、已知0＜α＜45°，化简|)-90cos(cos sin 21ααα?+-
4、计算：0
2
2
2
2
2
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin +++++
[实战演练2]：
（1） 如果α是锐角，且154sin sin 2
2
=+
α，那么α的度数为（ ）
A ．45°
B ．46°
C ．36°
D ．26°
（2）．如果α是锐角，且5
4cos =
α，那么)90cos(α-
的值是（ ） A ．54 B ．43 C ．53 D ．5
1
（3）．在ABC Rt ?中，
90=∠C ，下列式子不一定成立的是（ ）
A ．
B A sin sin = B ．B A sin cos =
C ．B A cos sin =
D ．C B A sin )sin(=+ （4）．在ABC ?Rt 中，?=∠90C ，下列等式一定成立的是（）
A ．
B A sin sin = B ．A A cos sin = C.
C B A cos )sin(=+
D ．B A cos sin = （5）在ABC ?中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c 。C ∠为直角 （1）已知?=∠=60,32B a ，求c 。 （2）已知10,20==a c ，求A ∠。
三、【全能训练】
A 组
（一）、填空题:
1．比较大小：.46sin ________47sin ， ??50cos ______48cos 2． 已知αcos 36sin =?)900(?<
3． 将?21cos ，?37cos ，?41sin ，?46cos 的值，按由小到大排列是________________
4．在ABC ?中，?=∠90C ，若5
1cos =B ，则B 2
sin =________ 5．如果α是锐角，且5
4
cos =
α，那么)90sin(α-?的值为_________. 6．在ABC Rt ?中，
90=∠C ，如果
30=∠A ，那么=+B A cos sin _________. 7．
30cos 30sin 2
2
+的值为__________， ________18sin 72sin 22=+
（二）、选择题：
8．已知α为锐角，且αcos 的值小于2
1
，那么α∠（ ） A ．大于?60 B ．大于?30 C ．小于?30 D ．小于?60
9．如果A ∠是锐角，且4
3
sin =A ，那么（）
A ．?<∠
B ．?<∠
C ．?<∠
D ．?<∠
10．若?=+90βα，则正确的是（ ）
（A ）0sin sin =-βα （B ）0cos sin =-βα （C ）0cos cos =-βα （D ）0cos sin =+βα 11．如图，ABC ?中，5
4
cos ,90=
=∠B C
，则AC ：BC ：AB ＝（ ） A ．3 ：4 ：5 B ．4 ：3 ：5 C ．3 ：5 ：4 D ．5 ：3 ：4
12．在ABC ?中，
90=∠C ，且5
3
cos =
A ，那么
B cos 的值等于（ ） A ．43 B ．34
C ．54
D ．5
3
（三）、判断题：
13、 对于任意锐角α，都有1sin 0<<α和1cos 0<<α（ ） 14、 对于任意锐角21,αα，如果21αα<，那么21cos cos αα<（ ） 15、 如果21sin sin αα<，那么锐角<1α锐角2α（ ） 16、 如果21cos cos αα<，那么锐角>1α锐角2α（ ）
（四）、解答题：
17、在中ABC ?Rt ，其中两边长为3和4，求∠B 的余弦值。
B 组
1．已知1sin 40sin 2
2=+?α，则锐角α=_________。 2．在5
4
sin ,51cos ,90-===∠n B A C ABC Rt
中，?那么n 的值是___________。 3．已知,cos sin ,
cos sin n m ==+αααα 则m 、n 的关系是（ ）
A ．n m =
B ．12+=n n
C ．122
+=n m D ．n m 212
-= 4、如图，在菱形ABCD 中，已知A E ⊥BC 于E ，BC=1，cosB=
5
,求这个菱形的面积。
C 挑战中考
（北京市中考试题） 在中ABC ?Rt ，?=∠90C ，斜边5=c ，两直角边的长b a 、是关于x 的一元二次方程0222
=-+-m mx x 的两个根，求ABC ?Rt 较小锐角的正弦值.
家庭作业
第一部分：选择题
1、若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（ ）
A 、sin α随α的增大而增大
B 、cos α随α的增大而减小
C 、sin α和con α的值不会超过1
D 、sin α、cos α的值都随α的增大而增大 2、若∠A=41°，则cosA 的大致范围是（ ） A ．0＜cosA ＜1 B.
21＜cosA ＜22 C. 2
2＜cosA ＜23 D. 23＜cosA ＜1 第二部分：填空题
3、.比较大小：sin23°______sin33°;cos67.5°_________cos76.5°。
4、若sin α=
2
2
,则锐角α=________.若2cos α=1,则锐角α=_________. 第三部分：解答题
5、已知：如图6，在△ABC 中， CD ⊥AB ，sin A =4
5
，AB =13，CD =12，E 是BC 边是的中 点，连接DE 。
求AD 的长和cos ∠BDE 的值.
6、（2011广东东莞，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠C =30°．折叠纸片使BC 经过点D ．点C 落在点E 处，BF 是折痕，且BF = CF =8． （l ）求∠BDF 的度数；
（2）求AB 的长．
第十二讲 正 切 与 余 切 (一)
一、【探索新知】
重点1：正切、余切概念：
(1) 在ABC Rt ?中，A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。
即 的邻边
的对边
A A A ∠∠=t a n
（或b a A =tan ）
(2) 在ABC Rt ?中，A ∠的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，
记作A cot ，
即 的对边
的邻边
A A A ∠∠=cot （或a b A =cot ）
重点2．同角的正切值与余切值之间的关系
A A cot 1tan =
（或A
A tan 1
cot =， 1cot tan =?A A ） 重点3： 特殊角的正切值与余切值：
3
330tan =
； 145tan = ； 360tan =
； 330cot = ； 145cot = ； 3360cot = ． 二、【精讲精练】
考点一：正切、余切的定义
【例1】 在ABC Rt ?中，
C ∠为直角，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为c b a 、、。3=a ，4=c ，求A tan ，A cot ，B tan ，B cot
考点二：特殊角的三角函数值 【例2】求下列各式的值：
（1）
45cot 30tan 330sin 2++； （2）．?
+??
?--?-?60tan 45cot 30cot 45tan 160cot 130tan 22
[实战演练2]：
1．求下列各式的值
（1)tan45°－sin30°·cos60° （2） 0
0045
tan 260tan 1
60sin --
b
考点3：已知三角函数值求角度 【例3】填空：
1、若3tan =A ，则.______=∠A
2、.__________35cot 45tan 35tan =??
3、若1cot 47tan =?β ，则锐角._________=β
[实战演练3]：
1．若∠A 是锐角，且tanA=
3
3
,则cosA=_________ 2．在△ABC 中，若tanA=1，sinB=
2
2
，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．一般
三、【全能训练】
A 组
（一）、选择题：
1. ABC ?Rt 中，?=∠90C ，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，则b
a
叫A ∠的（ ）
A ．正弦
B ．余弦
C ．正切
D ．余切
2. 在ABC ?中，3
3
tan =
A ，1cot =
B ，则AB
C ?为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．不能确定 3. 在ABC ?Rt 中，?=∠90C ，下列关系式中正确的有（ ）
（1）A a b tan ?= （2）B b a cot ?= （3）B a b tan ?= （4）A b a cot ?=
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．计算2
2
)3
1(45tan 60sin --
-?
，结果正确的是（ ） A ．
49 B ．49- C ．411 D ．4
11- （二）、填空:
5、 在ABC ?中，?=∠90C ，3=a ，5=c ，则A t a n =_________，A cot =__________ 6．在ABC ?中，C ∠为直角，已知15=a ，
30=∠A ，则b =_______. 7．在_________,1,2tan ,,===∠=∠?b a B Rt C ABC Rt 则若中
8．等腰梯形腰长为6，底角的正切为4
2
，下底长为212，则上底长为 ，高为 。
9．在A B C ?Rt 中，?=∠90C ，3cot =A ，则2
t a n s i n c o t C
B A ++的值为____________。 （三）、求下列各式的值：
10、 30cos 230tan 330sin +- 11、
60sin 260cos 230cot 5+- 12、?-??-?45tan 260tan 45cot 60sin 13、?-?
?+
??+?60sin 460tan 45tan 30cos 30sin 260cot 32
14、（2010 成都中考）1
)2
1
(12)6.3(30tan 6-+--+?π
15、（2010 青羊中考模拟）计算：(12009-)0+9－｜cos30°－1｜-3)1(--
16、（2010 锦江中考模拟）计算： 2
1+12--）（+2sin60°—?60tan 1—
（四）、解答题：
17．在ABC ?Rt 中，?=∠90C ，4
3
tan =
A ，135=c ，求a ，b .
B 组
18．如图，已知ABC ?中，?=∠90C ，D 是BC 边中点，且?=∠120BDA ，3=AC ，求B tan .
19．在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先在A 处安
置测倾器，测得塔顶C 的仰角∠CFE ＝21°，然后往塔的方向前行50米到达B 处，此时测得仰角∠CGE ＝37°，已知测倾器高1.5米．请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度．
（参考数据：3sin375≈ ，3tan374≈ ，9
sin 2125≈ ，3
tan 218≈ ）
C 挑战中考
20、（2010 武侯中考模拟）如图ΔABC 中，AD 是BC 边上的高，tan ∠B=cos ∠DAC 。 （1）求证：AC=BD
（2）若sin ∠C=13
12
,BC=12，求AD 的长．
A
B
D
C
F
G E
第2题图
家庭作业
第一部分：选择题
1．一个直角三角形的两条边长为3、4，则较小锐角的正切值是（ ） （A ）
43 （B ）34 （C ）43或3
7 （D ）不同于以上 第二部分：填空题
1、比较大小： ,tan 0
43____ tan 0
43. tan 0
56＞ cot 0
56. tan 0
43____ cot 0
41 3、a= sin 0
60，b= cos 0
45，c= tan 0
30，则它们之间的大小关系是用“＜”连接起来为______. 2、在Rt ABC △中，ACB ∠=90，tanA ＝1
3
，则sinB ＝
第二部分：解答题
1．计算: (1)2sin30°+3cos60°-4tan45° (2)
60
sin 60cos 45tan -·tan30°
2、在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （－4,1），B （－1，3），C （－4,3），试求tanB 的值。
3．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝38，∠A 的平分线AD ＝16， 求∠B 的度数以及边BC 、AB 的长。
第十三讲 正 切 和 余 切 (二)
一、【探索新知】
重点1、正切、余切三角函数的增减性
锐角的正切值随角度的增加（或减小）而增加（或减小）；锐角的余切值随角 度的增加（或减小）而减小（或增加）。
当0
45=α时，tan α=cot α；
当045 α时，tan α＜cot α，且cot α＞1 当?45 α时，tan α＞cot α，且cot α＜1.
重点2、互为余角的正切、余切之间的关系
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
即 ()
A A -= 90cot tan ， ()
A A -= 90tan cot ． 重点3、同角的正弦、余弦与正切、余切的关系：
A A A cos sin tan =
A
A
A sin cos cot =
二、【精讲精练】
例1、 如图，在R t ⊿ABC 中，∠A 为锐角，求证：
①()
A A -= 90cot tan ， ()
A A -= 90tan cot ②A A A cos sin tan = A
A
A sin cos cot =
【实战演练】：
1．若锐角A 、B 满足条件：?<<
（A ）
B A sin sin > （B ）B A cos cos > （
C ）B A tan tan > （
D ）A B cot cot > 2．在，中，
90=∠C ABC ?如果4
3
tan =
A ，那么
B cot 的值等于（ ） A ．43 B ．34
C ．54
D ．5
3
3. 已知2)90tan(
=-?α，则αcot =__________ 4. 已知A ∠为锐角，则下列各式中不正确的是（ ）
A ．A A A cos sin cot =?
B ．A A A cos sin tan =?
C ．1)90tan(
tan =-??A A D ．A A A sin cos tan =?
5、求值：;70
tan 20tan 30cot 45sin 22460tan 460tan 2
---+-
6、已知梯形ABCD 中，上底cm 2=AD ，一腰5cm C =D ，且5
4sin ,23tan ==
C B ， 求梯形的面积
三、【全能训练】
A 组 基础提升
（一）、填空（或选择）：
1、比较大小：
①
50tan ___45tan ②
40cot ___30cot ③
36tan ___53cot
2、比较大小（用>、<、=号连接）：（其中?=+90B A ）
A A tan _____sin ，
B A c o s ______s i n ，
A A
A
tan _____cos sin 3．若A ∠是锐角，且?=-?36cot )90tan(
A ，则_____=∠A 。 4．如图，ABC ?中，A
B CD Rt ACB ⊥∠=∠,于点D ，
若BD:AD=1 ：4，
则BCD ∠tan 的值是（ ） A ．
41 B ．31 C ．2
1
D ．2 5．下列各式中符号为正的是（ ）
（A ）?-?40sin 80cos （B ）?-?50cot 50tan （C ）?-?20cot 70tan （D ）?-?45tan 89sin
6．已知Rt ABC ?中，?=∠90C ，下列结论正确的是（ ） （A ）A A ∠>∠tan sin （B ）B B ∠=∠cot cos
（C ）B A ∠<∠cos sin （D ）
A A
A
∠=∠∠tan cos sin
7．在Rt ABC ?中，?=∠90C ，则B A tan tan ?等于（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）不确定
8．已知：如图，在ABC ?中，BC AD ⊥于D ，
3,5,60===∠AD AC B ，则BC=________。
（二）、计算下列各题：
9、100100
2
2
)25tan 2()65tan 2
1(30cot 230tan ???-?+-?
10、???????????????80tan 70tan 60tan 50tan 40tan 30tan 20tan 10tan .
.
（三）、解答题：
11．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，两直角边的和为14，求这个直角三角形的面积。
12、已知：在ABC Rt ? ， 斜边ABC Rt A AB ?求,4
3
tan ,10=
=的周长。
13．如图，AC ⊥BC ，cos ∠ADC ＝4
5 ，∠B ＝30°AD ＝10，
求 BD 的长。
B 组 培优训练
1、已知ABC ?中，C ∠是锐角；,,b AC a BC ==证明.sin 2
1
C ab S ABC =的面积?
2．已知：如图，在BC D B ACB ABC Rt 是中，,5
3
sin ,90=
=∠
?边上一点，且?=∠45ADC ，DC = 6 。求.的正切值BAD ∠。
C 挑战中考
3、（2009昆明）17. 如图17，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AQ 延长线上B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上.
（1）已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；
（2）此时，在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 约为多少？（结果可保留根号）
D
C
图17
家庭作业
学生姓名：_________
第一部分：选择题
1、在三角形ABC 中，∠C 为直角，如果3
2
sin =
A ，那么
B tan （ ） A ．53 B ．35
C ．5
2 D ．25
第二部分：填空题
2、比较大小： ,tan 0
43____ tan 0
43. tan 0
56＞ cot 0
56. tan 0
43____ cot 0
41 3、如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点
测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为 米．
4、如图，在△ABC 中，∠C=90°,∠B=60°,D 是AC 上一点，AB DE ⊥于E ,且
,1,2==DE CD 则BC 的长为
5、如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A '''，使点B '与C 重合，连结B A '，则C B A ''∠tan 的值为 .
第三部分：解答题
1．在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,CD=1,已知AD 、BD 的长是关系x ?的方程x 2+px+q=0的两个根,且tanA-tanB=2.求p 、q.
如图，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN
，若
。（1）求△ANE 的面积；
（2）求sin ∠ENB 的值。
A B C （第3题图） D
E
B
C A
D l （第1题图） A /
（B /） C / A B （第4题图）
培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
任意角的三角函数-讲义
１．2任意角的三角函数 (一)、任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y , 那么: (1）y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin y α=; （２）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=; （３)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=; 可以看出:当()2k k Z π απ=+∈时,α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标0x =,所以 tan y x α=无意义，除此之外，对于确定的角α，以上三个值都是唯一确定的。 正弦，余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将它们统称为三角函数。 注:取角α的终边上任意一点(,)P a b (原点除外) ,则对应的角α的正弦值 sin α=，余弦值cos α=tan b a α=。注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理。 例1、有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin α>0,,则α是第一、二象限的角; ④若α是第二象限的角，且(,)P x y 是其终边上一点,则 cos α=（其中正确的命 题的个数是） . Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４ 例２、若sin 0θ<且tan 0θ>,则θ是第_____＿____象限角。 例３、若sin cos 0θθ>,则θ在(） A 、第一或第二象限 B 、第一或第三象限 C 、第一或第四象限 Ｄ、第二或 四象限 例4、已知sin sin ,cos cos ,sin cos 0θθθθθθ=-=-?≠且，判断点(tan ,sin )P θθ在 第几象限。 例５、已知角α的终边过点(3,4)(0)P a a a -≠,求2sin cos αα+的值 例6、有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin 0α>,则α是第一、二象限角;
培优锐角三角函数
锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（ ） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则 下列式子正确的是（ ） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。
培优锐角三角函数之欧阳光明创编
锐角三角函数 欧阳光明（2021.03.07） 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）
A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2)
人教版数学必修四三角函数复习讲义
人教版数学必修四三角函数 复习讲义 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，
()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线 OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形 式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 例4．已知cos(π+α)=－2 1，2 3π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．
数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上． （1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离； （2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈） 【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可； （2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】 （1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ?????∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC 中，sin AC B AB = ，所以3sin 3725155 AC AB ? =?=?=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里. （2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中，4 sin 15125 CM AC CAM =?∠=? =，3 cos 1595 AM AC CAM =?∠=?=. 在Rt ADM △中，tan MD DAM AM ∠=， 所以tan 7636MD AM ?=?=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC = +=+==-=，.
任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义
任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S=. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式: 角α的弧度数的绝对值|α|=l r(弧长用l表示) 角度与弧度的换算①1°=π180rad,②1rad=180π° 弧长公式弧长l= 扇形面积公式S=12lr=12|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=,cos α=,tanα=y x(x≠0). (2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α 的、和. 图3-16-1 常用结论 象限角与轴线角 (1)象限角
(2)轴线角 题组一常识题 1.[教材改编]终边在射线y=-3x(x<0)上的角的集合是. 2.[教材改编](1)67°30'=rad; (2)π12=°. 3.[教材改编]半径为120mm的圆上长为144mm的弧所对圆心角α的弧度数是. 4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sinα-cosα+tanα=. 题组二常错题 ◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错. 5.在△ABC中,若sin A=. 6.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围 是. 7.已知角α的终边落在直线y=-3x上,则|sinα|sinα-|cosα|cosα=. 8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为cm2. 课堂考点探究 探究点一角的集合表示及象限角的判定 1(1)设集合M=x x=k2·180°+45°,k∈Z,N=x x=k4·180°+45°,k∈Z,那么() A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? (2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是. 图3-16-2 [总结反思]把角表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限. 式题(1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.
锐角三角函数超经典讲义
锐角三角函数 知识点一：锐角三角函数 1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin 。 3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos 。 4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan 。 sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。 考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=5 4 ，则AC ：BC ：AB=（ ） A 、3：4：5 B 、5：3：4 C 、4：3：5 D 、3：5：4 2、已知锐角α，cosα= 3 5 ，sinα=_______，tanα=_______。 3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB= = ______。 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 1 3 ，则BC 等于_______。 5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ） A 、ncosB B 、1 n cosB C 、cos n B D 、不变 考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形 例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三
三角函数讲义
三角函数 知识点精讲： 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。 ????? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为___________________________________ 第二象限角的集合为___________________________________ 第三象限角的集合为___________________________________ 第四象限角的集合为___________________________________ 终边在x 轴上的角的集合为______________________________ 终边在y 轴上的角的集合为______________________________ 终边在坐标轴上的角的集合为____________________________ 3、与角α终边相同的角的集合为{} 360,k k ββα=?+∈Z 二、弧度制 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。 360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==． 三、任意角的三角函数 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的
人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），
它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα
锐角三角函数(培优)
知识要点 1、 锐角三角函数定义？ 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300 、450 、600 、的记忆规律： 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900 之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系：sin 2A ＋cos 2 A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tan B ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式？ Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900 －A ）＝ctan A ； 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ． 2 1 B ．33 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小 5 1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝ 54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 4 3 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90?，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A. 513 B. 1213 C.10 13 D.512 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG = 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）．
任意角的三角函数教案(第一课时)
任意角的三角函数教案（第一课时） 一．教材分析 三角函数是函数的一个基本组成部分，也是一个重要组成部分，在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识。初中已经学习过锐角的三角函数，教材第一节学习了任意角的表示方法，这些是学习任意角三角函数的基础。本节课的主要内容是：弦、余弦、正切的定义；正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号 二．教学目标 1、理解任意角的三角函数的定义； 2、会求任意角的三角函数值； 3、体会类比，数形结合的思想。 三.重点，难点 教学重点：理解任意角的三角函数的定义。 教学难点：从函数的角度理解三角函数。 四，教学过程 （一） 新课引入 （二） 练习：sin30= cos30= tan30= 那么300度，30000度呢？ 我们已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限。在α的终边上任取一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,表示三角函数；
sin α=r b , cos α=r a , tan α=a b .取P ，使r=1,则sin α=b cos α=a tan α=a b ,引入单位圆的概念。 （三） 概念介绍 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ），那么， （1） y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α＝y ； （2） x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； （3） x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=x y 。 正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。 （四） 例题讲解 例一 求3 5π的正弦，余弦和正切值。 小结：让学生熟悉三角函数的概念，用单位圆表示三角函数。 例二 已知角α的终边经过p （－3，－4），求角α的正弦，余弦，正切值。 小结：通过这道题的求解，让学生知道质押知道终边上一个点的左边就可以求出三角函数值，于是用角的终边上任意点坐标的比值来定义三角函数和用单位圆是等价的。引导学生思考这种“等价性”的原因，并让他们自己给出新的定义： 角α的终边上一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,则 （1） r b 叫做三角形的正弦，即sin α=r b ; （2） r a 叫做三角形的余弦，即cos α=r a ; （3） a b 叫做三角形的正切，即tan α=.a b
锐角三角函数培优题目
锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tgα=ααcos sin ，ctgα=α αsin cos ； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不 难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21== ； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
必修四第一章三角函数-知识点及练习-讲义
-- 高一数学下必修四第一章三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
-- 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=，1180π = ，180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ，则l r α=,2C r l =+， 211 22 S lr r α==. 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐 标是(),x y ，它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. １0、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正． 11、三角函数线:sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT . 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?. １３、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-.
锐角三角函数-基础+培优
A B C D α A （第7题） 1l 3l 2l 4l A D E B 图 C 一、锐角三角函数定义：sin αα∠= 的() （ ） cos αα∠=的（）（） tan α= （） （） 例1．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝3 2 ，求cosA 、tanB ． 例2．△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝63，BD ＝3. （1）求cosA （2）求BC 的长及△ABC 的面积． 例3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长． 例4.如图1，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43 ,AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3则tan ∠ADE 的值是 练习．1.在7,35,90==∠=AB B 中，则BC 的长为（ ） （A ） 35sin 7 （B ） 35 cos 7（C ） 35cos 7 （D ）． 35tan 7 2．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．2tan B = 3．已知ΔABC 中，∠C ＝90 ，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 4. Rt△ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于（ ） A.cos sin a A b B + B.sin sin a A b B + C sin sin a b A B +. D.cos sin a b A B + 5. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为 6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A = a b ．则下列关系式中不成立．．．的是（ ）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1 7.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ． 8．如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:5，E 是AB 上的一点，沿CE 将ΔEBC 向上翻折，若B 点恰好落在边AD 上的F 点，则tan ∠DCF 等于 C B A E F D 第8题 C M B A 第7题 D B C A C B 第2题
中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)附详细答案
中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附详细答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
高中数学三角函数1.2讲义
高中数学 任意角的三角函数及同角三角函数的关系 知识点 知识点一 三角函数的概念 1．利用单位圆定义任意角的三角函数 如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那 么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0)． 2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 知识点三 诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等，即： sin(α＋k ·2π)＝sin α，cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z . 作用：可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．体现了三角函数的周期性。 知识点四 三角函数的定义域 正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2 ，k ∈Z }． 知识点五 三角函数线 如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .
(高考复习经典讲义)任意角与三角函数的定义
弧度制与三角函数定义 1. 角的概念推广 一、复习引入： 1.角的概念推广:“旋转”形成角,“正角”与“负角”“0角”;“象限角”;终边相同的角 . 2．弧度制：3、弧度换成角度公式： 1弧度＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 4、角度换成弧度公式： 1°＝180 π≈0.01745 5、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211 ||22 s lr r α= =?扇形 二、讲解新课： 例1、已知α是第二象限的角，判断 3 α 所在的象限. 变式：若α分别在第一、二、三、四象限， ,,2,323 αα αα分别在第几象限？ 例2、把时钟拔慢5分钟，时针，分针分别转多少度？ 例3、已知扇形周长为10cm ，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数． 三、课堂练习： 1.若α是第四象限角，则180°－α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.若α与β的终边互为反向延长线，则有( ) A. α＝β＋180° B. α＝β－180° C. α＝－β D. α＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Ｚ 3.终边在第一或第三象限角的集合是 .
2. 任意角的三角函数（1） 一、复习引入： 初中锐角的三角函数是如何定义的？ 二、讲解新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,) x y， 它与原点的距离为(0) r r==>，由比值定义。 2．三角函数的定义域、值域 3 4 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。 即有：sin(2)sin k απα +=， cos(2)cos k απα +=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα +=， 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．5．例题分析 例1．已知角α的终边过点(,2)(0) a a a≠，求α的四个三角函数值。 变式：已知角α的终边上一点() P m，且sinα=，求cos,sin αα的值。
