2018年黄浦区高三二模数学Word版(附解析)

上海市黄浦区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是

2. 不等式|1|1x ->的解集是

3.

若函数()f x 是偶函数，则该函数的定义域是

4. 已知ABC ?的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是

5. 已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且||3b =，则a b ?= （结果用数值表示）

6. 方程33log (325)log (41)0x x ?+-+=的解x =

7. 已知函数2sin cos 2()1cos x x

f x x

-=

，则函数()f x 的单调递增区间是

8. 已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是

9. 已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至 65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用 分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试 问这次抽样调查抽取的人数是 人

10. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是 （结果用数值表示）

11. 已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n n

n

a a n k a +-=-

=-，若

124a =，251a =，0k a =，则k =

12. 已知函数2

()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式

(1)

(0)(1)f f f --的最小值是

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要

14.

二项式40

的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ） A. 4项 B. 7项 C. 5项 D. 6项

15. 实数x y 、满足约束条件3

0,010x y x y x y +≤??≥≥??-+≥?

，则目标函数23w x y =+-最大值是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2-

D. 3

16. 在给出的下列命题中，是假命题的是（ ）

A. 设O A B C 、、、是同一平面上四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =?+-?∈，则点A B C 、、必共线

B. 若向量a b 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的

C. 已知平面向量OA 、OB 、OC 满足|||||(0)OA OB OC r r ===>|， 且0OA OB OC ++=，则ABC ?是等边三角形

D. 在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a 、b 、c 、d ， 使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 在四棱锥P -ABCD 中，PA ABCD ⊥平面，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，1BC =

，CD =45CDA ?∠=.

（1）画出四棱锥P -ABCD 的主视图； （2）若PA BC =，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

18. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）. 已知10OA =米，OB x =米，010x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度. （1）求θ关于x 的函数解析式；

（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，

y 的值最大？并求出最大值

19. 已知动点(,)M x y 到点(2,0)F 的距离为1d ，动点(,)M x y 到直线3x =的距离为2d ，

且

12d d =

（1）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；

（2）过点F 作直线:(2)(0)l y k x k =-≠交曲线C 于P 、Q 两点，若△OPQ

的面积

OPQ S ?=(O 是坐标系原点)，求直线l 的方程.

20. 已知函数2

2, 10,()1, 0 1.

x x f x x x --≤

-≤≤?

（1）求函数()f x 的反函数1()f x -；

（2）试问：函数()f x 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若方程()|()240f x f x ax +---=的三个实数根123x x x 、、满足

123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值.

21. 定义：若数列{}n c 和{}n d 满足0n c >，0n d >

，且1n c +=

，n ∈*N ，则称数

列{}n d 是数列{}n c 的“伴随数列”.已知数列{}n b 是{}n a 的伴随数列，解答下列问题： （1）若()n n b a n =∈*N

，1b ={}n a 的通项公式n a ； （2）若11()n n n b b n a +=+∈*N ，11

b a 为常数，求证：数列2{()}n n b

a 是等差数列； （3

）若1()n n

b n +=∈*N ，数列{}n a 是等比数列，求1a 、1b 的数值.

参考答案

一. 填空题

1．2 2．(,0)

(2,)-∞+∞ 3．[2,2]- 4．

4

π

5．6-

6．2 7．3[,],Z 8

8k k k π

πππ-+∈ 8

．3

(4

- 9．140 10．5

16

11．50 12．3

二. 选择题

13. A 14. B 15. D 16. D

三. 解答题

17． 解：视图如下：

（2）根据题意，可算得1,2AB AD ==.

又1PA BC ==，按如图所示建立空间直角坐标系， 可得，(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B C D P . 于是，有(1,0,1),(1,1,0),(0,2,1)PB CD PD =-=-=-. 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,

n CD n PD ??=??

?=?? 即0,

20.

x y y z -+=??

-=?

令2z =，可得1,1y x ==，故平面PCD 的一个法向量为(1,1,2)n =. 设直线PB 与平面PCD 所成角的大小为θ，则||3

sin ||||

n PB n PB θ?== 所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为.

18．解：（1）根据题意，可算得弧BC x θ=?(m )，弧10AD θ=(m ). 又30BA CD BC CD +++=弧弧，于是，10101030x x x θθ-+-+?+=， 所以，210

(010)10

x x x θ+=

<<+. （2）依据题意，可知22111022

OAD OBC y S S x θθ=-=?-扇扇 化简，得225225

550()24

y x x x =-++=--+

于是，当52x =（满足条件010x <<）时，max 2254y = (2

m ).

答 所以当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为225

4

平方米.

19．解：（1

）结合题意，可得12|3|d d x =

=-.

又123d d =

=

，化简得22162x y +=. 因此，所求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程是22

162

x y +=. （2）联立方程组22

1,62

(2),x y y k x ?+

=???=-?

得2222(13)121260k x k x k +-+-=. 设点1122(,)(,)P x y Q x y 、，则21221213k x x k +=+，2122

126

13k x x k

-=+，0?>

于是，弦||PQ == 点O 到直线l

的距离d =

.

由OPQ S ?=，

=42210k k -+=， 解得1k =±，且满足0?>，即1k =±都符合题意.

因此，所求直线的方程为2020x y x y --=+-=或.

20． 解：（1）

22, 10,

()=1, 0 1.x x f x x x --≤

∴当10x -≤<时，()2,0()2f x x f x =-<≤且.

由2y x =-，得12x y =-

，互换x y 与，可得11

()(02)2

f x x x -=-<≤. 当01x ≤≤时，2()1,()0f x x f x =-≤≤且-1.

由21y x =-

，得x =x y 与

，可得1()10)f x x -=-≤≤.

1

1

, 0<2,2() 10.x x f x x -?-≤?∴=-≤≤

（2）函数图像上存在两点关于原点对称.

设点00000(,)(01)(,)A x y x B x y <≤--、是函数图像上关于原点对称的点，

则00()()0f x f x +-=，即2

00120x x -+=，

解得001(1,)x x ==舍去，且满足01x <≤ .

因此，函数图像上存在点1,2(12)A B -和关于原点对称. （3）考察函数()y f x =

与函数y =

当1x -≤≤

()f x ≥4240x ax ---=， 解得2+2x a =-

，且由21+22

a -≤-≤-

，得02a ≤≤.

当1x <≤

时，有()f x <

240ax -=， 化简得22(4)40a x ax ++=，

解得2

4=0+4a x x a =-，或

（当02a ≤≤

时，2404

a

a <-<+）. 于是，123224,,024

a x x x a a =-

=-=++. 由32212()x x x x -=-，得2

2442

=2(+)+442a a a a a -++

，解得a =.

因为312a -=

<-

，故32

a -=

不符合题意，舍去；

02a <=

<，满足条件.

因此，所求实数a =

21．解：（1

）根据题意，有*10,0,N n n n a b a n +>>∈且.

由*(N )n

n b a n =∈

，1b =

111n a a b +====，*N n ∈.

所以n a *N n ∈． （2）

*11(N )n

n n b b n a +=+

∈

，*10,0,N n n n a b a n +>>=∈且，

∴11n

n b a ++=

=

11

n n b a ++=*

N n ∈．

∴22111n n n n b b a a ++????-= ? ?????，*

N n ∈．∴数列2n n b a ???????? ???????

是首项为2

11b a ?? ???、公差为1的等差数列．

（3

）

*1N )n n b n +=∈，

*10,0,N n n n a b a n +>>=∈且，

*N n n a b n <+≤∈

，得11n a +<≤.

{}n a 是等比数列，且0n a >，设公比为(0)r r >，则1*1(N )n n a a r n -=∈.

∴当1r >，即lim n n a →∞

→+∞

，与11n a +<≤1r >不成立.

当01r <<，即lim 0n n a →∞

→

，与11n a +<≤01r <<不成立.

∴1r =，即数列{}n a 是常数列，于是，1n a a =

(11a <).

*11

(N )n n b n +∴=

∈. 100n b b >∴>，，数列{}n b 也是等比数列，设公比为(0)q q >，有11n n b b q +=

.

2n a +∴=

可化为

222221111111(1)2(1)0(1n n b a q a b q a a a --+-=<，*N n ∈.

22

22422111111111(1)0,20,(1)0,4(2)0b a a b a a a b a ->≠->?=-≥，

∴关于x 的一元二次方程22222111111(1)2(1)0b a x a b x a a --+-=有且仅有两个非负实数根.

一方面，n q (*

N n ∈)是方程22222111111(1)2(1)0b a x a b x a a --+-=的根；另一方面，

若1(0)q q ≠>，则无穷多个互不相等的234

,,,,,,

n q q q q q 都是该二次方程的根.这与

该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！

1q ∴=，即数列{}n b 也是常数列，于是，1n b b =，*N n ∈.

∴

由*1N )n n

b n +=∈

，得1a =

把1a

1n a +=

解得1b =

11a b ?=?∴?=??