2017届高三数学(全国人教A版,理)一轮复习单元滚动检测第二单元 函数概念与基本初等函数Ⅰ

高三单元滚动检测卷·数学

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

单元检测二 函数概念与基本初等函数Ⅰ

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2015·重庆)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1]

B ．(－3,1)

C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

2．(2015·北京)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |

D ．y ＝2－

x

3．(2015·慈溪联考)函数y ＝x 2lg x －2

x ＋2

的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于直线y ＝x 对称

D ．关于y 轴对称

4．(2016·江西省师大附中联考)已知函数f (x )＝?

????

2x ，x <1，

f (x －1)，x ≥1，则f (lo

g 25)等于( )

A.516

B.58

C.5

4 D.52

5．(2015·山东)若函数f (x )＝2x ＋1

2x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－1,0)

C ．(0,1)

D ．(1，＋∞)

6．下列各式中错误的是( ) A ．0.83>0.73

B ．log 0.50.4>log 0.50.6

C ．0.75

－0.1

<0.750.1

D ．lg1.6>lg1.4

7．已知函数f (x )＝?????

(a －2)x ，x ≥2，(12)x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2<0成立，则

实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，13

8]

C ．(－∞，2]

D ．[13

8

，2)

8．(2015·山东19所名校联考)函数y ＝x ln|x |

|x |

的图象可能是( )

9．已知函数f (x )＝12

log |x －1|，则下列结论正确的是( )

A ．f (－1

2)

B ．f (0)

2)

C ．f (3)

2)

D ．f (3)

2

)

10．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则( ) A ．f (sin1)f (cos π

3)

C ．f (sin 12)

2)

D ．f (sin 32)>f (cos 3

2

)

11．已知函数f (x )＝????

?

－x 2－2x ＋a ，x <0，f (x －1)，x ≥0，

且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a

的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1,0) C ．[－1，＋∞)

D ．[－2，＋∞)

12．(2015·蚌埠模拟)已知函数f (x ) (x ∈R )是以4为周期的奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln(x 2－x ＋b )．若函数f (x )在区间[－2,2]上有5个零点，则实数b 的取值范围是( )

A ．－1

C ．－1

D.14

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设函数f (x )＝????

?

1，x >0，0，x ＝0，

－1，x <0，

g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．

14．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2015)＋f (2016)的值为________． 15．卡车以x 千米/小时的速度匀速行驶130千米路程，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油(2＋x 2

360)升，司机的工资是每

小时42元．

(1)这次行车总费用y 关于x 的表达式为________； (2)当x ＝________时，这次行车总费用最低．

16．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－

x ，则给出下列结论：

①2是f (x )的周期；

②f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增； ③f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(1

2

)x －3.

其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3·2－

x .

(1)当x <0时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )＝1

2，求x 的值．

18．(12分)(2015·赣州市十二县(市)联考)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f (x )＝g (x )

x

. (1)求a 、b 的值；

(2)若不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈[－1,1]上有解，求实数k 的取值范围．

19．(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝1

3x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝

51x ＋10000x －1450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能

全部销售完．

(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

20．(12分)(2015·余姚联考)已知函数f (x )＝x 2＋a |x －1|，a 为常数． (1)当a ＝2时，求函数f (x )在[0,2]上的最小值和最大值； (2)若函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．

21.(12分)(2015·浙江新高考单科综合调研卷(一))已知函数f (x )＝lg(x ＋a

x －2)，其中x >0，a >0.

(1)求函数f (x )的定义域；

(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．

22．(12分)(2015·北京第六十六中学上学期期中)已知函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x >0时，f (x )<0，且f (1)＝－2. (1)判断f (x )的奇偶性；

(2)求f (x )在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式f (ax 2)－2f (x )

答案解析

1．D [需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]

2．B [由f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，可知A 为奇函数，B 为偶函数，C 定义域不关于原点对称，D 为非奇非偶函数．] 3．B [∵y ＝x 2lg x －2

x ＋2

，

∴其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)， ∴f (－x )＝x 2lg x ＋2

x －2

＝－x 2lg x －2

x ＋2＝－f (x )，

∴函数为奇函数，

∴函数的图象关于原点对称，故选B.] 4．C [∵2

2

－＝2log 5

2

·2－

2＝54

，故选C.]

5．C [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即2－

x ＋12－x －a ＝－2x ＋1

2x －a

，整理得(1－a )(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋1

2x －1

＞3，

化简得(2x －2)(2x －1)＜0，∴1＜2x ＜2，∴0＜x ＜1.]

6．C [对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 对；对于B 、D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B 、D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x ，为减函数，故C 错．]

7．B [由题意知函数f (x )是R 上的减函数， 于是有?????

a －2<0，(a －2)×2≤(12)2

－1，由此解得a ≤13

8

， 即实数a 的取值范围为(－∞，13

8

]，故选B.]

8．B [函数y ＝x ln|x |

|x |的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称．当x >0时，y

＝

x ln|x ||x |＝x ln x x ＝ln x ；当x <0时，y ＝x ln|x ||x |＝x ln (－x )

－x

＝－ln(－x )，此时函数图象与当x >0时函数y ＝ln x 的图象关于原点对称．故选B.]

9．C [依题意得f (3)＝12

log 2＝－1<0，

log 122

又f (0)＝log 1

21＝0，

因此有f (3)

2

)

10．A [由f (x )＝f (x ＋2)得到周期为2，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2为增函数，且是定义在R 上的偶函数，则f (x )在[0,1]上为减函数，因为sin1>cos1，所以f (sin1)

2∈(0,2)时，f (x )

无意义，故b ≠0，所以排除A ，C ；若b ＝14，则f (x )＝ln ????x 2－x ＋14，x ∈(0,2)，当x ＝1

2∈(0,2)时，f (x )无意义，故b ≠1

4，所以排除B ，所以选D.]

13．[0,1)

解析 g (x )＝????

?

x 2

，x >1，0，x ＝1，

－x 2，x <1.

如图所示，

其递减区间是[0,1)． 14．－1

解析 因为f (x )是奇函数，且周期为2，所以f (－2015)＋f (2016)＝－f (2015)＋f (2016)＝－f (1)＋f (0)，又当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)， 所以f (－2015)＋f (2016)＝－1＋0＝－1.

15．(1)y ＝7020x ＋13

6

x ，x ∈[50,100] (2)1810

解析 (1)由题意知行车所用时间t ＝130x 小时，则这次行车总费用y 关于x 的表达式为y ＝

130

x ×6×(2＋x 2360)＋42×130x ，x ∈[50,100]，即y ＝7020x ＋13

6x ，x ∈[50,100]；

(2)y ＝

7020x ＋136x ≥7810，当且仅当7020x ＝136

x ，即x ＝1810时等号成立，故当x ＝1810时，这次行车总费用最低． 16．①②④

解析 ①∵对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，

∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )，即2是f (x )的周期，①正确；②∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－

x

＝2x

－1

为增函数，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )在区间[－1,0]上单调递减，又其周期

T ＝2，∴f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，②正确；③由②可知，f (x )max ＝f (1)＝21－1＝20＝1，f (x )min ＝f (0)＝20－

1＝12，③错误；④当x ∈(3,4)时，4－x ∈(0,1)，∴f (4－x )＝(12)1

－(4－x )＝(12)x －3，又f (x )是周期为2的偶函数，∴f (4－x )＝f (x )＝(1

2)x －3，④正确．综上所

述，正确结论的序号是①②④.

17．解 (1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－

x －3·2x ，

又f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－

x －3·2x ，

即当x <0时，f (x )＝－2－

x ＋3·2x .

(2)当x <0时，由－2－

x ＋3·2x ＝12，

得6·22x －2x －2＝0， 解得2x ＝23或2x ＝－1

2(舍去)，

∴x ＝1－log 23；

当x >0时，由2x －3·2－

x ＝12，

得2·22x －2x －6＝0，

解得2x ＝2或2x ＝－3

2(舍去)，∴x ＝1.

综上，x ＝1－log 23或x ＝1.

18．解 (1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ， 因为a >0，所以g (x )在区间[2,3]上是增函数，

故????? g (2)＝1，g (3)＝4，解得?????

a ＝1，

b ＝0.

(2)由已知可得f (x )＝x ＋1

x

－2，

所以f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋1

2x －2≥k ·2x ，

化为1＋(12x )2－2·1

2x ≥k ，

令t ＝1

2x ，则k ≤t 2－2t ＋1，

因为x ∈[－1,1]，故t ∈[1

2，2]，

记h (t )＝t 2－2t ＋1，因为t ∈[1

2，2]，

故h (t )max ＝1，

所以k 的取值范围是(－∞，1]． 19．解 (1)当0

－10x －250

＝－1

3x 2＋40x －250；

当x ≥80，x ∈N *时，

L (x )＝500×1000x 10000－51x －10000x ＋1450－250

＝1200－(x ＋10000

x

)，

∴L (x )＝???

－1

3

x 2＋40x －250(0

x

)(x ≥80，x ∈N *

).

(2)当0

3

(x －60)2＋950，

∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950. 当x ≥80，x ∈N *时，

L (x )＝1200－(x ＋10000

x )≤1200－2

x ·10000x

＝1200－200＝1000，

∴当x ＝10000

x

，即x ＝100时，

L (x )取得最大值L (100)＝1000>950.

综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1000，

即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 20．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －1|

＝????? x 2＋2x －2，x ≥1，x 2－2x ＋2，x ≤1＝?

????

(x ＋1)2－3，x ≥1，(x －1)2

＋1，x <1， 所以当x ∈[1,2]时，[f (x )]max ＝6，[f (x )]min ＝1， 当x ∈[0,1]时，[f (x )]max ＝2，[f (x )]min ＝1， 所以f (x )在[0,2]上的最大值为6，最小值为1.

(2)因为f (x )＝?

????

x 2

＋ax －a ，x ≥1，

x 2－ax ＋a ，x <1，

＝???

(x ＋a 2)2－a 2

4

－a ，x ≥1，

(x －a 2)2

－a

2

4＋a ，x <1，

而f (x )在[0，＋∞)上单调递增，

所以当x ≥1时，f (x )必单调递增，得－a

2≤1即a ≥－2，

当0≤x <1时，f (x )亦必单调递增，得a

2≤0即a ≤0，

且12＋a －a ≥12－a ＋a 恒成立． 即a 的取值范围是{a |－2≤a ≤0}．

21．解 (1)由x ＋a

x －2>0，得x 2－2x ＋a x >0，

因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0.

当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，

当01＋1－a }． (2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋a

x －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．

∴a >3x －x 2对x ∈[2，＋∞)恒成立，

而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋9

4在x ∈[2，＋∞)上是减函数，

∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2. 故a 的取值范围是{a |a >2}．

22．解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.

取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， ∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立， ∴函数f (x )为奇函数．

(2)任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 10. ∴f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)<－f (－x 1)．

又∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数． ∴对任意x ∈[－3,3]，恒有f (x )≤f (－3)． ∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1) ＝－2×3＝－6， ∴f (－3)＝－f (3)＝6， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为6. (3)∵f (x )为奇函数，

∴整理原不等式得f (ax 2)＋f (－2x )

∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax 2－2x >ax －2， 即(ax －2)(x －1)>0.

∴当a ＝0时，x ∈(－∞，1)； 当a ＝2时，x ∈{x |x ≠1且x ∈R }； 当a <0时，x ∈{x |2

a

当02

a 或x <1}；

当a >2时，x ∈{x |x <2

a 或x >1}．

综上所述，当a ＝0时，x ∈(－∞，1)； 当a ＝2时，x ∈{x |x ≠1且x ∈R }； 当a <0时，x ∈{x |2

a

当02

a 或x <1}；

当a >2时，x ∈{x |x <2

a 或x >1}．