2014届江西省南昌市高三二模考试数学试卷(文科)

绝密★启用前

2014南昌市高三第二次模拟考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数

1

2i

+在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2．已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1,3M =-，{}2,0,2,3N =-，则(?U M )N 为 A ． {}1,1- B ．{}2- C ．{}2,2- D ．{}2,0,2- 3．下列说法正确的是

A ．命题“存在x ∈R ，2

20130x x ++>”的否定是“任意x ∈R ，2

20130x x ++<” B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件

C ．函数1

()f x x

=

在其定义域上是减函数 D ．给定命题p q 、，若“p 且q ”是真命题，则p ?是假命题

4．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g

)4

sin(π

ω+

x 的图象，只要将()x f y =的图象

A ．向左平移

8π个单位长度 B ．向右平移8

π

个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4

π

个单位长度

5．一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O

的球面上， 球O 的表面积是

A ．2π

B ．4π

C ．8π

D ．16π

6．方程22(20x y x +-=表示的曲线是

2正(主)视图左(侧)视图

俯视图

A ．一个圆和一条直线

B ．一个圆和一条射线

C ．一个圆

D ．一条直线 7．已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12 8．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20x x f x f x ->（其中'()f x 是函数()f x 的导函数）

，则下列不等式成立的是 A ．2(2)(1)f f -<- B ．2(1)(2)f f > C ．4(2)(0)f f -> D ．2(0)(1)f f >

9．如图：正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，,E F 分别是棱

11,A B CD 的中点，点M 是EF 的动点，FM x =，过点M 、

直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为()V x ，则函数()V x 的大致图像是

10．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆22

24

a x y +=的

切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离

心率为

A

B

．5

C ．

2

D

绝密★启用前

A

B C

D

1

2014届南昌市高三第一次模拟考试

文科数学 第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11．若不等式2222x x a ++>-对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是______． 12．已知角α(0)πα-<<的终边与单位圆交点的横坐标是

13，则c o s ()2

π

α+的值是___．

13．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是__________．

143333235,37911,413151719,52123252729,=+=++=+++=++++，若类

似上面各式方法将3

m 分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数

m 等于____．

15．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动,

点B 恰好经过原点.设顶点(),P x y 的轨迹方程是

()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有

(2)(2)

f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④函数()y f x =在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是 .

三、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）

某公司生产产品A ，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下： 们生产产品A 为一等品、二等品、三等品的概率．

（1）计算甲生产一件产品A ，给工厂带来盈利不小于30元的概率；

（2）若甲一天能生产20件产品A ，乙一天能生产15件产品A ，估计甲乙两人一天生产的35件产品A 中三等品的件数. 17．（本小题满分12分）

已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项112

a =，前n 项和为n S ，且445566,,a S a S a S +++成等差数列．

（1）求等比数列{}n a 的通项公式；

（2）对n +∈N ，在n a 与1n a +之间插入3n 个数，使这32n

+个数成等差数列，记插入的这

3n 个数的和为n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

18．（本小题满分12分）

如图，已知正方形ABCD 的边长为6,点,E F 分别在边,AB AD 上,4AE AF ==,现将△

AEF 沿线段EF 折起到△'A EF

位置，使得'A C =

（1）求五棱锥'A BCDFE -的体积；

（2）在线段'A C 上是否存在一点M ,使得//BM 平面

'A EF ？若存在，求'A M ；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分12分）

如图已知ABC △中，1,2,120AB AC BAC ==∠=?，点M 是边BC 上的动点，动点N

满足30MAN ∠=?（点,,A M N 按逆时针方向排列）． （1）若2AN AC =，求BN 的长；

（2）若3AM AN ?=，求△ABN 面积的最大值． 20．（本小题满分13分）

已知椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ,左、右顶点分别为,A B ,过点F 且倾斜

角为4π的直线l 交椭圆于,C D 两点,椭圆C

AC AD BC BD ?-?=．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若12,P P 是椭圆上不同两点，12,P P x ⊥轴，圆R 过点12,P P ，且椭圆上任意一点都不

在圆R 内，则称圆R 为该椭圆的内切圆．问椭圆C 是否存在过点F 的内切圆？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数()sin cos f x x ax bx x =--(,)a b ∈∈R R . （1）若0b =，讨论函数()f x 在区间(0,)π上的单调性； （2）若2a b =且2

3

a ≥

，对任意的0x >，试比较()f x 与0的大小．

2014届南昌市高三二模考试文科数学参考答案

A

B

C

D F A 'A

B

C

N

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11. (1,3) 12．

3

13．32- 14． 10 15．①②④

三、解答题：本大题共6个题，共75分．

16．解：（1）甲生产一件产品A ，给工厂带来盈利不小于30元的概率为：

119

11010

P =-

=……………………………………………………………………………6分 （2）估计甲一天生产的20件产品A 中有1

20210

?=件三等品，………………………8分 估计乙一天生产的15件产品A 中有2

15310

?

=件三等品，……………………………10分 所以估计甲乙两人一天生产的35件产品A 中共有5件三等品.………………………12分

17．解：（1）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，

所以55446655a S a S a S a S +--=+--，………………………………………………2分 即654230a a a -+=，所以2

2310q q -+=，因为1q ≠，所以1

2

q =，……………4分 所以等比数列{}n a 的通项公式为1

2

n n a =；………………………………………………6分 （2）1333()242

n n

n n n a a b ++=

?=，………………………………………………………9分 1

33()39322[()1]3

442

12

n n n T +-==--．………………………………………………………12分

18．解（1）连接AC ，设AC EF H ?=，

由ABCD 是正方形，4AE AF ==，

得H 是EF 的中点，且,EF AH EF CH ⊥⊥，从而有',A H EF CH EF ⊥⊥， 所以EF ⊥平面'A HC ，从而平面'A HC ⊥平面ABCD ，…………………………… 2分 过点'A 作'A O 垂直HC 且与HC 相交于点O ，则'A O ⊥平面ABCD ………………3分 因为正方形ABCD 的边长为6，4AE AF ==， 得到：'A H CH ==

C

D F A '

所以1

cos '

2

A HC ∠=

=，

所以'cos ''HO A H A HC A O =?∠==

所以五棱锥'A BCDFE -的体积211(644)32v =

?-??=

………………6分

（2）线段'A C 上存在点M ，使得'//A M 平面'A EF ，'A M =7分

证明：'A M =

1

'4A C =，14HO HC =， 所以//'OM A H ，所以//OM 平面'A EF ，……………………………………………9分

又//BD EF ，所以//BD 平面'A EF ，…………………………………………………10分 所以平面//MBD 平面'A EF ， …………………………………………………………11分 由BM 在平面MBD 内，所以//BM 平面'A EF .……………………………………12分 19．解：（1）由2AN AC =，得点N 在射线AC 上， 4AN =，

2116214cos12021BN =+-????=，即BN =5分 （2）设B

A M x ∠=，则120CAM x ∠=?-，因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM

面积的和，所以

111

sin sin(120)sin120222

AB AM x AC AM x AB AC ???+????-=????，

得：AM =

，………………………………………………………7分

又30,3MAN AM AN ∠=??=,所以cos303AM AN ???=,即4sin AN x x =+，

所以△ABN 的面积1

(4sin )sin(30)2S x x x =?+?+?225sin cos 2

x x x x =+

即5sin 22)4S x x x φ=

+=-………………………10分

（其中：sin

φφφ=

=为锐角）

，

所以当290x φ-=?时，△ABN 的面积最大，最大值是

4

．………………12分

20．解：（1）因为离心率为

2

，所以2,a b c ==，

所以椭圆方程可化为：

22

2214x y b b

+=，直线l

的方程为y x =，………………2分

由方程组22

2214x y b b y x ?+=???=+?

，得：2224()4x x b +=,

即22

580x b ++=,…4分

设1122(,),(,)C x y D x y

，则12x x +=，………………………………………5分 又1122112212(,)(,)(,)(,)2()AC AD BC BD x a y x a y x a y x a y a x x ?-?=+?+--?-=+，

所以4()b ?=，所以1b =，椭圆方程是2214x y +=；………………7分 （2）由椭圆的对称性，可以设12(,),(,)P m n P m n -，点

R 在x 轴上，设点(,0)R t ， 则圆R 的方程为2222:()()x t y m t n -+=-+，

由内切圆定义知道，椭圆上的点到点R 距离的最小值是1||PR ， 设点(,)M x y 是椭圆C 上任意一点，则2

2

2

2

23||()214

MR x t y x tx t =-+=-++,…9分 当x m =时，2

||MR 最小，所以2432

t t

m -=-

=①……………………………………10分 又圆R 过点F

，所以222()()t m t n =-+②……………………………………11分

点1P 在椭圆上，所以2

2

14m n =-③ ……………………………………………………12分

由①②③解得：2t =-

或t =

又t =

时，23

m -=<-，不合， 综上：椭圆C 存在符合条件的内切圆，点R

的坐标是(2

-．……………………13分 21.解：（1）0b =时，()sin f x x ax =-，则'()cos f x x a =-，……………………2分 当1a ≥时，'()0f x <，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递减；…………………3分 当1a ≤-时，'()0f x >，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递增；……………… 4分 当11a -<<时，存在(0,)φπ∈，使得cos a φ=，即()0f φ=，

(0,)x φ∈时，'()0f x >，函数()f x 在区间(0,)φ上单调递增， ……………………5分 (,)x φπ∈时，'()0f x <，函数()f x 在区间(,)φπ上单调递减. ……………………6分

（2）2a b =时，()sin (2cos )2a

f x x x x =-+，猜测()0f x <恒成立，……………7分

证明：()0f x <等价于

sin 2cos 2

x a

x x <+，

记sin ()2cos 2x a

g x x x =-+，则

22

2cos 1111

'()3()(2cos )22cos 323x a a g x x x +=-=---+++，……………………………10分 当123a ≥，即2

3

a ≥时，'()0g x ≤，()g x 在区间(0,)+∞上单调递减，……………12分 所以当0x >时，()(0)0g x g <=，即()0f x <恒成立；……………………………14分