初中数学竞赛专题培训(29):生活中的数学

初中数学竞赛专题培训(29):生活中的数学
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初中数学竞赛专题培训第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界

在日常生活中,人们为了观察自己的服装仪表是否整洁漂亮,常常要照镜子.如果镜面是很平的,那么在镜子中,人或物体与其像是完全一样的.而且我们都有这样的经验:当人走近镜面,人在镜中的像也走进镜面;当人远离镜面,人在镜中的像也远离镜面.如果你留心的话,就可以发现:人和像与镜面的距离保持相等(图2-155),这种现象叫作面对称.如果我们只取一个侧面,那么镜面就可用一条直线来表示,人和人在镜中的像可用一个平面图形来表示,这样,人、像与镜就成了轴对称,也叫直线对称(图2-155).

如果实物是△ABC,那么它在镜中的像就成了图形△A′B′C′.直线l表示镜,这时称l为△ABC和△A′B′C′的对称轴(图2-156).图中,A与A′,B与B′,C与C′是对称点.以对称点为端点所连结的线段AA′,BB′,CC′被对称轴l垂直平分,因此,如果以直线l为折痕,把△ABC翻折过来,它必与△A′B′C′重合,所以成轴对称的两个图形必全等.

例1设图形ABCDEF是半个蝴蝶形(图2-157(a)),试以直线l 为对称轴,画出整个蝴蝶来.

解为了画出整个蝴蝶,只需要画出图形ABCDEF关于直线l 的轴对称图形就可以了.因为A点、F点在直线l上,所以它们的对称点分别和A,F是同一点,这样,只要画出B,C,D,E关于l的对称点就行了.为此,先分别过B,C,D,E向l作垂线,设垂足分别为M,N,P,Q,然后在BM,CN,DP,EQ的延长线上取B′,C′,D′和E′点,使得B′M=MB,C′N=NC,D′P=PD,E′Q=QE,最后连结AB′,B′C′,C′D′,D′E′,E′F,于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE′D′C′B′了(图 2-157(b)).

例2设直线l1和直线l2平行,且l1和l2间的距离为a.如果线段AB在l1的右侧,并设AB关于l1的对称图形是A′B′,而A′B′关于l2的对称图形是A″B″(图2-158),那么,线段AB和A″B″有什么关系?

解因为l1平行于l2,并且AA′A″垂直于l1,当然也垂直于l2,同理BB′B″也垂直于l1和l2.我们知道:“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,所以

AA′A″∥BB′B″.①

另一方面,因为AP=PA′,A′P′=P′A″,所以

AA′A″=2PP′=2a,

同理BB′B″=2a,所以

AA′A″=BB′B″.②

通过例2,我们可知,如果在平面上两条直线互相平行,有一个图形以这两条直线为对称轴,连续作了两次轴对称移动,那么相当于这个图形作了一次平行移动,平行移动的距离刚好是这两个对称轴间距离的2倍.

如果我们反复利用例2的原理,就可以做成带形的花边图案.例如,我们把一张等宽的长纸条像图2-159那样折叠起来,并在上面用小刀刻出一个三角形的洞,然后再展开这张纸条,就会得到如图2-160那样的带形图案.

如果我们把图2-160中的m2,m1,m0,m-1,m-2,m-3看成镜子,A0看作实物,那么A1,A2和A-1,A-2就是A0在镜子中的像了.其实,图中的A1是A0以m0为对称轴作对称移动的对称图形,也可以把

A1看作是A-1作一次平行移到所得到的图形.由此,怎样看待A1

和A2的关系以及A2和A0的关系呢?请同学们自己作出回答.

有了上面的知识,同学们不仅可以自己设计一些带形花边图案,还可以了解某些广告上画的花边图案的原理了.下面的图

2-161和图2-162是两个带形图案,你能看出它们是怎样设计的吗?

如果我们把前面图2-160中的m2,m1,m0,m-1,m-2等看作平行的镜子,A0看作一个人,如果这个人在镜子中m0和m-1之间反复映照,那么就会看到图2-163的情况.

可以想象,在镜子m0中的像A1,A2,A3,…,以及在镜子m1中的像A-1,A-2,A-3,…是无限多的.还可以知道:A0在镜m0中的像是A1,A1在镜m-1中的像是A-2,A-2在镜m0中的像是A3,…如此等等.因为A0和A1,A1和A2是轴对称移动,所以A0到A2是平行移动.

例3设直线l1和直线l2相交,交点为O,其夹角为α.如果线段AB关于l1的轴对称图形是A′B′,而A′B′关于l2的轴对称图形是A″B″.试问AB和A″B″间有什么关系?(见图2-164)

解因为已知AB关于l1的对称图形是A′B′,A′B′关于l2的对称图形是A″B″,所以AB=A′B′,A′B′=A″B″,所以

AB=A″B″,①

由于∠AOP=∠A′OP,∠A′OP′=∠A″OP′,所以

∠AOA″=2∠POP′=2α.

同理∠BOB″=2∠POP′=2α,所以

∠AOA″=∠BOB″=2α.②

由①,②可知:在平面上,如果两条直线相交,一个图形以这两条直线为对称轴,连续作两次对称移动,那么相当于这个图形以这两条直线的交点为旋转中心,以这两条直线的交角的2倍为旋转角,作了一个旋转移动,在旋转移动下,图形的大小不变.

例4同学们小时候常常玩万花筒,它是由三块等宽、等长的玻璃片围成的.为什么在万花筒中会出现美丽奇特的图案呢?试用前边的知识揭开万花筒的秘密.

解万花筒中所以能呈现千变万化、美丽而奇特的图案,主要是利用了图形的对称和旋转原理.为具体说明,给出的图2-165为万花筒中的一个图案,它是用一个小圆、一个平行四边形和一段短线在万花筒中连续反射而成的图形.

为了清楚地说明上图形成的原理,我们取出图形中的一部分(图2-166)加以分析.

正△ABO以OB为对称轴作轴对称移动,就得到△CBO;△CBO 以OC为对称轴作轴对称移动,就得到△CDO.经过这样两个轴对称移动,实际上相当于△ABO以O为中心,以120°为旋转角,作了一个旋转移动.这样:

点A→点C,边AO→边CO,

点B→点D,边AB→边CD,

点O→点O,边BO→边DO.

在这样旋转移动下,△ABO中的平行四边形、小圆和曲线也跟着旋转了120°.经多次反复,就形成了图2-165的绮丽景色.如果同学们有兴趣,可以自己在纸上再现万花筒中的世界!

练习二十九

1.设l1和l2是两面平行相对的镜子,如果把一个小球放在l1和l2之间(图2-167),试问:

(1)小球A在镜l1中的像A′在什么位置?

(2)小球A在镜l1中的像A′在镜l2中的像A″又在什么位置?分别画在图上;

(3)小球A和像A″之间的距离与l1和l2之间的距离有什么关系?

2.图2-168是万花筒中的一个图案,其中菱形FJKG变成菱形FDAC,如果看成经过以F点为旋转中心、旋转角为x的旋转移动得到的,那么x等于多少度?请从下面的四个答案中选出一个正确的答案来.

(A)60°;(B)120°;(C)180°;(D)以上答案都不对.

3.图2-169是游乐园中的大型旋转车的简图,游人坐在旋转车的车斗中,任凭旋转车不停地旋转,但总是头朝上,绝不会掉下来.试问车斗所作的移动是什么移动?请在下面答案中选一个正确的答案.

(A)旋转; (B)对称;(C)平移; (D)以上答案都不对.

4.图2-170表示一张长方形球台,设P,Q为两个球,若击P 球,使它碰CD边后,反弹正好击中Q球.试问P应碰撞CD边的哪一点?

初中数学竞赛十套专题训练试题及解析

初中数学竞赛专项训练(1) (实 数) 一、选择题 1、如果自然数a 是一个完全平方数,那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是( ) A. a +1 B. a 2+1 C. a 2+2a+1 D. a+2a +1 2、在全体实数中引进一种新运算*,其规定如下:①对任意实数a 、b 有a *b=(a +b )(b -1)②对任意实数a 有a *2=a *a 。当x =2时,[3*(x *2)]-2*x +1的值为 ( ) A. 34 B. 16 C. 12 D. 6 3、已知n 是奇数,m 是偶数,方程? ??=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。则 ( ) A. x 0、y 0均为偶数 B. x 0、y 0均为奇数 C. x 0是偶数y 0是奇数 D. x 0是奇数y 0是偶数 4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数,则四个数-ab 、ac 、bd 、cd ( ) A. 都是正数 B. 都是负数 C. 两正两负 D. 一正三负或一负三正 5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6、已知p 、q 均为质数,且满足5p 2+3q=59,由以p +3、1-p +q 、2p +q -4为边长的三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 7、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被( )整除。 A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 8、在1、2、3……100个自然数中,能被2、3、4整除的数的个数共( )个 A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 二、填空题 1、若2001119811198011 ??++=S ,则S 的整数部分是____________________ 2、M 是个位数字不为零的两位数,将M 的个位数字与十位数字互换后,得另一个两位数N ,若M -N 恰

初中数学竞赛常用解题方法(代数)

初中数学竞赛常用解题方法(代数) 一、 配方法 例1练习:若2 ()4()()0x z x y y z ----=,试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 (1)构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.,那么它们的立方和被6除,得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 (2)构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 (3)构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根,则4 3αβ+的值是___ ___。 (4)构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 (5)构造几何图形 例7、(构造对称图形)已知a 、b 是正数,且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习:(构造矩形)若a ,b 形的三条边的长,那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组

123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法(差值比较法、比值比较法、恒等比较法) 例9、71427和19的积被7除,余数是几? 练习:设0a b c >>>,求证:222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法(提取公因式法、公式法、十字相乘法) 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数,证明数3 231 22 M n n n =++为整数,且它是3的倍数。 练习:证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法(用新的变量代换原来的变量) 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习:解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法(常用于列方程解应用题) 例12、一商人进货价便宜8%,售价保持不变,那么他的利润(按进货价而定)可由目前的 %x 增加到(10)%x +,x 等于多少? 九、 判别式法(24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质) 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习:已知,,x y z 是实数,且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=

高中数学竞赛中数论问题的常用方法

高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系;若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑; (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡; (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡; (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ; (2)][][][y x y x +≥+; (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系; (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第26讲 含参数的一元二次方程的整数根问题

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根情况,可以用判别式Δ=b2-4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质.本讲结合例题来讲解一些主要的方法. 例1 m是什么整数时,方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0 有两个不相等的正整数根. 解法1首先,m2-1≠0,m≠±1.Δ=36(m-3)2>0,所以m≠3.用求根公式可得 由于x1,x2是正整数,所以 m-1=1,2,3,6,m+1=1,2,3,4,6,12, 解得m=2.这时x1=6,x2=4. 解法2首先,m2-1≠0,m≠±1.设两个不相等的正整数根为x1,x2,则由根与系数的关系知 所以m2-1=2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,即 m2=3,4,5,7,9,10,13,19,25,37,73, 只有m2=4,9,25才有可能,即m=±2,±3,±5. 经检验,只有m=2时方程才有两个不同的正整数根. 说明一般来说,可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论,就比较容易求解问题,解法1就是

这样做的.有时候也可以利用韦达定理,得到两个整数,再利用整除性质求解,解法2就是如此,这些都是最自然的做法. 例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值. 分析“至少有一个整数根”应分两种情况:一是两个都是整数根,另一种是一个是整数根,一个不是整数根.我们也可以像上题一样,把它的两个根解出来. 解因为a≠0,所以 所以 所以只要a是3或5的约数即可,即a=1,3,5. 例3设m是不为零的整数,关于x的二次方程 mx2-(m-1)x+1=0 有有理根,求m的值. 解一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方数.令 Δ=(m-1)2-4m=n2, 其中n是非负整数,于是 m2-6m+1=n2,

初中数学竞赛专题辅导因式分解一

因式分解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数; (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数; (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.

例1 分解因式: (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7. 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2. (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz). (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 =(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5)

初中数学竞赛专项训练找规律题

观察——归纳—猜想——找规律 给出几个具体的、特殊的数、式或图形,要求找出其中的变化规律,从而猜 想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化;具体方法和步骤是: (1)通过对几个特例的分析,寻找规律并且归纳; (2)猜想符合规律的一般性结论; (3)验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 一、数字类 基本技巧 (一)标出序列号: 例如,观察下列各式数:0,3,8,15,24,……。 我们把有关的量放在一起加以比较: 给出的数:0,3,8,15,24,……。 序列号: 1,2,3, 4, 5,……。 容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n 项 是2 n -1 (二)公因式法: 每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n,或2n 、3n 有关。 例如:1,9,25,49,(81),(121),的第n 项为( 2)12(-n ), 1,2,3,4,5.。。。。。。,从中可以看出n=2时,正好是2×2-1的平方,n=3 时,正好是2×3-1的平方,以此类推。 (三)增副 A : 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n 的3次幂,即:n 3 +1 B :2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即:n 2 (四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后 用(一)、(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加 上第一位数,恢复到原来。 例:2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列: 0、3、8、15、24……, 序列号:1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当n=1时,得1*1-1得0,当n=2 时,2*2-1得3,3*3-1=8,以此类推,得到第n 个数为12-n 。再看原数列是同 时减2得到的新数列,则在12-n 的基础上加2,得到原数列第n 项12+n

初中数学竞赛专题培训(4):代数式的化简与求值

初中数学竞赛专题培训第四讲分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似,例如,分式的分母的值不能是零,即分式只有在分母不等于零时才有意义;也像分数一样,分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中,主要是通过约分和通分来化简分式,从而对分式进行求值.除此之外,还要根据分式的具体特征灵活变形,以使问题得到迅速准确的解答.本讲主要介绍分式的化简与求值. 例1 化简分式: 分析直接通分计算较繁,先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式,再化简将简便得多. =[(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)] 说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式. 例2 求分式 当a=2时的值.分析与解先化简再求值.直接通分较复杂,注意到平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b), 可将分式分步通分,每一步只通分左边两项. 例3 若abc=1 ,求 分析本题可将分式通分后,再进行化简求值,但较复杂.下面介绍几种简单的解法. 解法1 因为abc=1,所以a,b,c都不为零. 解法2 因为abc=1,所以a≠0,b≠0,c≠0. 例4 化简分式:

分析与解 三个分式一齐通分运算量大,可先将每个分式的分 母分解因式,然后再化简. 说明 互消掉的一对相反数,这种化简的方法叫“拆项相消”法, 它是分式化简中常用的技巧. 例5 化简计算(式中a ,b ,c 两两不相等): 似的,对于这个分式,显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c),而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c),因此有下面的解法. 解 说明 本例也是采取“拆项相消”法,所不同的是利用 例6 已知:x+y+z=3a(a ≠0,且x ,y ,z 不全相等),求 分析 本题字母多,分式复杂.若把条件写成 (x -a)+(y -a)+(z -a)=0,那么题目只与x -a ,y -a ,z -a 有关,为简化计算,可用换元法求解. 解 令x -a=u ,y -a=v ,z -a=w ,则分式变为 u 2+v 2+w 2 +2(uv+vw+wu)=0. 由于x ,y ,z 不全相等,所以u ,v ,w 不全为零,所以u 2 +v 2 +w 2 ≠0,从而有 说明 从本例中可以看出,换元法可以减少字母个数,使运算 过程简化. 例7 化简分式: 适当变形,化简分式后再计算求值. (x -4)2 =3,即x 2 -8x+13=0. 原式分子=(x 4 -8x 3 +13x 2 )+(2x 3 -16x 2 +26x)+(x 2 -8x+13)+10 =x 2 (x 2 -8x+13)+2x(x 2 -8x+13)+(x 2 -8x+13)+10

初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑾

初一数学竞赛讲座 第11讲染色和赋值 染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言, 染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题, 一般地都可以用赋值方法来解, 只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些, 我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值, 然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。 一、染色法 将问题中的对象适当进行染色, 有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样, 我们可以把被研究的对象染上不同的颜色, 许多隐藏的关系会变得明朗, 再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决, 这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有:点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。 例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片(如下图所示), 能否覆盖一个8×8的棋盘? 解:如下图, 将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘, 那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个, 但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格, 而1和3都是奇数, 因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数;又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格, 从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数, 这与32是偶数矛盾, 因此, 用它们不能覆盖整个棋盘。 例2如左下图, 把正方体分割成27个相等的小正方体, 在中心的那个小正方体中有一只甲虫, 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次, 那么甲虫能走遍所有的正方体吗?

南开中学初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要: 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征: ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100-2=98(能被7整除) 又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征: ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100-1=99(能11整除) 又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解:x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除,∴y=6. ∵328+92x =567,∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除,求x 解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除, 当1+2+3+4+x 能被3整除时,x=2,5,8

当末两位4x能被4整除时,x=0,4,8 ∴x=8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解:五位数字都不相同的最小五位数是10234, 但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行 调整末两位数为30,41,52,63,均可, ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数:(写成质因数为底的幂的连乘积) ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除,那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除,那么x=__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时,5 9610能被7整除 5、当n=__________时,n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972 中,能被下列各数整除的有(填上编号): 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个,能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1,2,3,4,5这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被3 整除的数共有几个?为什么?

数学初中竞赛大题训练:几何专题(含答案)

数学初中竞赛大题训练:几何专题 1.阅读理解: 如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”.证明“四点共圆”判定定理有:1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆;2、若平面上四点连成的四边形对角互补,那么这四点共圆.例:如图1,若∠ADB=∠ACB,则A,B,C,D四点共圆;或若∠ADC+∠ABC=180°,则A,B,C,D四点共圆. (1)如图1,已知∠ADB=∠ACB=60°,∠BAD=65°,则∠ACD=55°; (2)如图2,若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点,且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2,求AE 的长; (3)如图3,正方形ABCD的边长为4,等边△EFG内接于此正方形,且E,F,G分别在边AB,AD,BC上,若AE=3,求EF的长. 解:(1)∵∠ADB=∠ACB=60°, ∴A,B,C,D四点共圆, ∴∠ACD=∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣60°﹣65°=55°, 故答案为:55°; (2)在线段CA取一点F,使得CF=CD,如图2所示: ∵∠C=90°,CF=CD,AC=CB, ∴AF=DB,∠CFD=∠CDF=45°, ∴∠AFD=135°, ∵BE⊥AB,∠ABC=45°, ∴∠ABE=90°,∠DBE=135°, ∴∠AFD=∠DBE, ∵AD⊥DE,

∴∠ADE=90°, ∵∠FAD+∠ADC=90°,∠ADC+∠BDE=90°, ∴∠FAD=∠BDE, 在△ADF和△DEB中,, ∴△ADF≌△DEB(ASA), ∴AD=DE, ∵∠ADE=90°, ∴△ADE是等腰直角三角形, ∴AE=AD=2; (3)作EK⊥FG于K,则K是FG的中点,连接AK,BK,如图3所示:∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°, ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆, ∴∠KBE=∠EGK=60°,∠EAK=∠EFK=60°, ∴△ABK是等边三角形, ∴AB=AK=KB=4,作KM⊥AB,则M为AB的中点, ∴KM=AK?sin60°=2, ∵AE=3,AM=AB=2, ∴ME=3﹣2=1, ∴EK===, ∴EF===.

初中数学竞赛专题培训 -生活中的数学(2)

初中数学竞赛专题培训第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物,所以谁都希望买到物美价廉的鱼.假定现在商店里出售某种鱼以大小论价,大鱼A每斤1.5元,小鱼B每斤1元.如果大鱼的高度为13厘米,小鱼的高度为10厘米(图2-171),那么买哪种鱼更便宜呢? 有人可能觉得大鱼A和小鱼B高度之比为13∶10,差不了许多,而小鱼的价格却比大鱼便宜许多,因此,买小鱼比较合算.这种想法是合理的吗?我们还是用数学来加以分析吧! 在平面几何中,我们已经知道以下定理. 定理1 相似形周长的比等于相似比. 定理2 相似形面积的比等于相似比的平方. 例1 已知:△ABC∽△A′B′C′,并且AB=2c,BC=2a,AC=2b,A′B′=3c, B′C′=3a,A′C′=3b.求证:△ABC和△A′B′C′周长的比是2∶3(图2-172). 证△ABC的周长是 2a+2b+2c=2(a+b+c), △A′B′C′的周长是 3a+3b+3c=3(a+b+c), 所以△ABC和△A′B′C′的周长的比是 2(a+b+c)∶3(a+b+c)=2∶3. 例2 图2-173是两个相似矩形,如果它们的相似比是3∶4,求证:它们面积的比是32∶42. 证矩形ABCD的面积是3a·3b=32ab,矩形A′B′C′D′的面积是4a·4b=42ab,所以矩形ABCD和矩形A′B′C′D′的面积之比是 32ab∶42ab=32∶42. 从定理1和定理2,我们自然会想到:相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢?为此,我们看下面的例子. 例3 图2-174是两个相似的长方体,它们的相似比为3∶5,求它们的体积之比. 解长方体(a)的体积是3a·3b·3c=33abc, 长方体(b)的体积是5a·5b·5c=53abc, 所以长方体(a)与长方体(b)的体积的比是 33abc∶53abc=33∶53 例4 图2-175是两个相似圆柱,它们的相似比为2∶3,求它们的体积之比. 解小圆柱的体积是 (2a)2π·2b=23a2bπ,大圆柱的体积是 (3a)2π·3b=33a2bπ,所以小圆柱与大圆柱的体积之比为23∶33. 定理3 相似形的体积之比,等于它的相似比的立方.

初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)

2009年初中数学(初二组)初赛试卷 01 一、选择题(本大题满分42分,每小题7分) 1、下列名人中:①比尔·盖茨 ②高斯 ③袁隆平 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥华罗庚 ⑦高尔基⑧爱因斯坦,其中是数学家的是( ) A .①④⑦ B.③④⑧ C.②⑥⑧ D.②⑤⑥ 2、已知1 11,,b c a a b c a b c +=+=+≠≠则a 2b 2c 2=( ) B.3.5 C.1 、在直角坐标系中,若一点的纵横坐标都是整数,则称该点为整点。设k 为整数,当直线2y x =-与y kx k =+的交点为整点时,k 的值可以取( ) A .4个 个 个 个 4、如图,边长为1的正方形ABCD 绕A 逆时针旋转300到正方形AB ‘C ’D ‘ ,图中阴影部分的面积为( ) A.1 1 D.12 5、已知()421M p p q =+,其中,p q 为质数,且满足29q p -=,则M =( ) .2005 C (第4题图) (第6题图) 6、四边形ABCD 中0060,90,DAB B D ∠=∠=∠=1,2BC CD ==,则对角线AC 的长为( ) 二、填空题(本大题满分28分,每小题7分) 1、 如果有2009名学生排成一列,按1、 2、 3、 4、 5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、 1??? 的规律报数,那么第2009名学生所报的数是 。 2、已知,,a b c 满足2224222a b a c ac -+++=+,则a b c -+的值为______ 3、已知如图,在矩形ABCD 中,AE BD ⊥,垂足为E ,0 30ADB ∠=且BC =,则 ECD 的面积为_____ 4为_______度。

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第21讲 分类与讨论

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集 第二十一讲分类与讨论 分类在数学中是常见的,让我们先从一个简单的例子开始. 有四张卡片,它们上面各写有一个数字:1,9,9,8.从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数,这样的数中有多少个是质数? 因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数,我们分别给予讨论. 任取一张卡片,只能得3个数:1,8,9,其中没有质数;任取二张卡片,可得7个数:18,19,81,89,91,98,99,其中19,89两个是质数;任取三张卡片,可得12个数:189,198,819,891,918,981,199,919,991,899,989,998,其中199,919,991三个数是质数;取四张,所得的任一个四位数的数字和是27,因而是3的倍数,不是质数.综上所述,质数共有2+3=5个. 上面的解题方法称为分类讨论法.当我们要解决一个比较复杂的问题时,经常把所要讨论的对象分成若干类,然后逐类讨论,得出结论. 分类讨论法是一种很重要的数学方法.在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中.分类讨论一般分为三个步骤,首先确定分类对象,即对谁实施分类.第二是对对象实施分类,即分哪几类,这里要特别注意,每次分类要按照同一标准,并做到不重复、不遗漏,有些复杂的问题,还要逐级分类.最后对讨论的结果进行综合,得出结论. 例1求方程 x2-│2x-1│-4=0 的实根. x2+2x-1-4=0,

x 2-2x +1-4=0, x 1=3,x 2=-1. 说明 在去绝对值时,常常要分类讨论. 例2 解方程x 2-[x]=2,其中[x]是不超过x 的最大整数. 解 由[x]的定义,可得 x ≥[x]=x 2-2, 所以 x 2-x -2≤0, 解此不等式得 -1≤x ≤2. 现把x 的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解. (1)当-1≤x ≤0时,原方程为 x 2-(-1)=2, 所以x=-1(因x=1不满足-1≤x <0). (2)当0≤x <1时,原方程为 x 2=2. (3)当1≤x <2时,原方程为 x 2-1=2, 所以 (4)当x=2时,满足原方程.

初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-求根公式

初中数学竞赛辅导讲义---走进追问求根公式 形如02=++c bx ax (0≠a )的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式a ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美。 降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。 思路点拨:从指数运算律、±1的特征人手,将问题转化为解方程。 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根,那么1942231+-x x 的值等于( ) A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨:求出1x 、2x 的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式降次,如1213x x -=,2223x x -=。 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。 思路点拨:因不知晓原方程的类型,故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。 【例4】 设方程04122=---x x ,求满足该方程的所有根之和。 思路点拨:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等,且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111, 试求x 的值。 思路点拨:运用连等式,通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示,由解方程求得x 的值。 注:一元二次方程常见的变形形式有: (1)把方程02=++c bx ax (0≠a )直接作零值多项式代换; (2)把方程02=++c bx ax (0≠a )变形为c bx ax --=2,代换后降次; (3)把方程02=++c bx ax (0≠a )变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2,代换后使之转化关系或整体地消去x 。 解合字母系数方程02=++c bx ax 时,在未指明方程类型时,应分0=a 及0≠a 两种情况讨论;解绝

初中数学竞赛专题培训

第一讲:因式分解(一) (1) 第二讲:因式分解(二) (4) 第三讲实数的若干性质和应用 (7) 第四讲分式的化简与求值 (10) 第五讲恒等式的证明 (13) 第六讲代数式的求值 (16) 第七讲根式及其运算 (19) 第八讲非负数 (23) 第九讲一元二次程 (27) 第十讲三角形的全等及其应用 (30) 第十一讲勾股定理与应用 (34) 第十二讲平行四边形 (37) 第十三讲梯形 (40) 第十四讲中位线及其应用 (43) 第十五讲相似三角形(一) (46) 第十六讲相似三角形(二) .......................................... 49 第十七讲* 集合与简易逻辑 (52) 第十八讲归纳与发现 (57) 第十九讲特殊化与一般化 (61) 第二十讲类比与联想 (65) 第二十一讲分类与讨论 (68) 第二十二讲面积问题与面积法 (72) 第二十三讲几不等式 (75) 第二十四讲* 整数的整除性 (79) 第二十五讲* 同余式 (82) 第二十六讲含参数的一元二次程的整数根问题 (85) 第二十七讲列程解应用问题中的量 (88) 第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (92) 第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (96) 第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99) 第一讲:因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决多数学问题的有力工具.因式分解法灵活,技巧性强,学习这些法与技巧,不仅是掌握因式分解容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数; (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数; (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-… -ab n-2+b n-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例1 分解因式: (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7. 解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2. (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz). (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 =(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 w

初中奥数数论专项练习题2020

初中奥数数论专项练习题2020 1、甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少? 1.王老师给小李、小杨、小刘各一张卡片,上面分别写着19□,81□,67□,小李、小杨和小刘分别在自己卡片上的□中填入一个数码得到一个三位数交给王老师。王老师发现,无论如何排列,这三个三位数形成的九位数除以13的余数都是11,那么他们三人在□中填入的三个数字之和为多少? 2.一根红色的长线,将它对折,再对折,……,经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断,得到一些红色的短线;一根白色的长线,经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断,得到一些白色的短线(m>n)。若红色短线的数量与白色短线的数量之和是100的倍数,问红色短线至少有多少条? 3.20 08 ,甲乙在上面的中填入数字,甲填前两个,乙填后两个,甲先填,乙后填,如果所得的8位数是101的倍数则乙胜利,否则甲胜利。那么谁将取得胜利? 4.一根长为L的木棍,用红色刻度线将它分成m等份,用黑色刻度线将它分成n等份(m>n)。 (1)设X是红色与黑色刻度线重合的条数,请说明:X+1是m和n 的公约数; (2)如果按刻度线将该木棍锯成小段,一共能够得到170根长短不等的小棍,其中最长的小棍恰有100根。试确定m和n的值。 5.在1,2,3,…,99,100这100个数中,有一些是3的倍数,如3,6,9,12,15,…;也有一些是5的倍数,如5,10,15,20,

25,….在这些3的倍数和5的倍数中各取一个数相加,一共能够得到 多少个不同的和? 6.一个两位数,当它分别乘以1、2、3、4、5、6、7、8、9时, 所得9个乘积,每个乘积的各位数字的和都相等.则满足条件的两位数 是__________. 7.M、N是互为反序的两个三位数,且M > N.如果M和N的公约数 是21,求M. 8.一个数与它的反序数的乘积是155827,则这个数与它的反序数 之和是_________. 9.以[x]表示不超过x的整数,设自然数n满足 则n的最小值是多少? 10.已知a是各位数字相同的两位数,b是各位数字相同的两位数,c是各位数字相同的四位数,且 .求所有满足条件的(a,b,c). 11.纸板上写着100、200、400三个自然数,再写上两个自然数, 然后从这五个数中选出若干个(至少两个)做只有加、减法的四则运算,在一个四则运算式子中,选出的数只能出现一次,经过所有这样的运算,能够得到k个不同的非零自然数。那么k是多少? 12.试确定积的末两位的数字 13.有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及 五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配 一个包装盒,共有种不同价格。 14.将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作,经连 续若干次这样的操作后能够变为6的数称为“好数”,那么不超过 2020的“好数”的个数为,这些“好数”的公约数是。

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第一讲分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解,转化的基本方法是去分母、换元,但也要灵活运用,注意方程的特点进行有效的变形.变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围,故必须验根. 例1 解方程 解令y=x2+2x-8,那么原方程为 去分母得 y(y-15x)+(y+9x)(y-15x)+y(y+9x)=0, y2-4xy-45x2=0, (y+5x)(y-9x)=0, 所以 y=9x或y=-5x.

由y=9x得x2+2x-8=9x,即x2-7x-8=0,所以x1=-1,x2=8;由y=-5x,得x2+2x-8=-5x,即x2+7x-8=0,所以x3=-8,x4=1. 经检验,它们都是原方程的根. 例2 解方程 y2-18y+72=0, 所以 y1=6或y2=12. x2-2x+6=0.此方程无实数根. x2-8x+12=0,

所以 x1=2或x2=6. 经检验,x1=2,x2=6是原方程的实数根. 例3 解方程 分析与解我们注意到:各分式的分子的次数不低于分母的次数,故可考虑先用多项式除法化简分式.原方程可变为 整理得 去分母、整理得 x+9=0,x=-9. 经检验知,x=-9是原方程的根. 例4 解方程

分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和,这样原方程即可化简.原方程化为 即 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3). 例5 解方程 分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1,故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式,用拆项相消进行化简.原方程变形为

初中数学竞赛专项训练找规律题

观察——归纳—猜想——找规律 给出几个具体的、特殊的数、式或图形,要求找出其中的变化规律,从而猜想出一般性的结论.解题 的思路是实施特殊向一般的简化;具体方法和步骤是: (1)通过对几个特例的分析,寻找规律并且归纳; (2)猜想符合规律的一般性结论; (3)验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 一、数字类 基本技巧 (一)标出序列号: 例如,观察下列各式数:0,3,8,15,24,……。 我们把有关的量放在一起加以比较: 给出的数:0,3,8,15,24,……。 序列号: 1,2,3, 4, 5,……。 容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n 项是2 n -1 (二)公因式法: 每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n,或2n 、3n 有关。 例如:1,9,25,49,(81),(121),的第n 项为( 2 )12(-n ), 1,2,3,4,5.。。。。。。,从中可以看出n=2时,正好是2×2-1的平方,n=3时,正好是2×3-1的平方,以 此类推。 (三)增副 A : 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n 的3次幂,即:n 3 +1 B :2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即:n 2 (四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用(一)、(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。 例:2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列: 0、3、8、15、24……, 序列号:1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当n=1时,得1*1-1得0,当n=2时,2*2-1得3,3*3-1=8,以此类推,得到第n 个数为12 -n 。再看原数列是同时减2得到的新数列,则在12 -n 的基础上加2,得 到原数列第n 项 12+n (五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并 恢复到原来。 例 : 4,16,36,64,?,144,196,… ?(第一百个数) 同除以4后可得新数列:1、4、9、16…,很显然是位置数的平方,得到新数列第n 项即n 2 ,原数列是同除以4得到的新数列,所以求出新数列n 的公式后再乘以4即,4 n 2 ,则求出第一百个数为4*1002 =40000 (一)等差数列 例题:2,5,8,( )。 例题5: 12,15,18,( ),24,27。 A.20 B.21 C.22 D.23 (二)等比数列

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