2016年普通高等学校招生全国统一考试文科、全国卷一(含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试

(课标全国卷Ⅰ)

文数

本卷满分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共60分)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=()

A.{1,3}

B.{3,5}

C.{5,7}

D.{1,7}

2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( )

A.-3

B.-2

C.2

D.3

3.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )

A.1

3B.1

2

C.2

3

D.5

6

4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=2

3

,则b=( )

A. B. C.2 D.3

5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的1

4

,则该椭圆的离心率为( )

A.1

3B.1

2

C.2

3

D.3

4

6.将函数y=2sin2x+π

6的图象向右平移1

4

个周期后,所得图象对应的函数为( )

A.y=2sin2x+π

4B.y=2sin2x+π

3

C.y=2sin2x-π

4

D.y=2sin2x-π

3

7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何

体的体积是28π

3

,则它的表面积是( )

A.17π

B.18π

C.20π

D.28π

8.若a>b>0,0

A.log a c

B.log c a

C.a c

D.c a>c b

9.函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )

10.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足( )

A.y=2x

B.y=3x

C.y=4x

D.y=5x

11.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )

A.3

2B.2

2

C.3

3

D.1

3

12.若函数f(x)=x-1

3

sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )

A.[-1,1]

B.-1,1

3C.-1

3

,1

3

D.-1,-1

3

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分.

13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .

14.已知θ是第四象限角,且sin θ+π

4=3

5

,则tan θ-π

4

= .

15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.

16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲

材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=1

,a n b n+1+b n+1=nb n.

3

(Ⅰ)求{a n}的通项公式;

(Ⅱ)求{b n}的前n项和.

18.(本小题满分12分)

如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D 在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.

(Ⅰ)证明:G是AB的中点;

(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.

19.(本小题满分12分)

某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.

(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;

(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;

(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?

20.(本小题满分12分)

在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.

(Ⅰ)求|OH|

;

|ON|

(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,1

OA为半径作圆.

2

(Ⅰ)证明:直线AB与☉O相切;

(Ⅱ)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.

23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=a cos t,

y=1+a sin t(t为参数,a>0).在以坐标原点为

极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.

(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;

(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.

24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(Ⅰ)画出y=f(x)的图象;

(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)

一、选择题

1.B∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.

2.A∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,

∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.

3.C从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同

一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=4

6=2

3

,故选C.

4.D由余弦定理得5=22+b2-2×2bcos A,∵cos A=2

3,∴3b2-8b-3=0,∴b=3 b=-1

3

舍去.故选D.

5.B如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b

2,所以e=c

a

=1

2

.故选B.

6.D该函数的周期为π,将其图象向右平移π

4

个单位后,得到的图象对应的函数为

y=2sin2 x-π

4+π

6

=2sin2x-π

3

,故选D.

7.A由三视图知该几何体为球去掉了1

8所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则7

8

×4

3

πR3=28π

3

,

故R=2,从而它的表面积S=7

8×4πR2+3

4

×πR2=17π.故选A.

8.B∵0b>1时,log a c>log b c,A项错误;

∵0b>0,

∴log c a

∵0

又∵a>b>0,∴a c>b c,C项错误;

∵0

又∵a>b>0,∴c a

9.D当x=2时,y=8-e2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x2-e|x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x2-e x,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x0∈(0,2),使得y'=0,故选D.

10.C执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成立;当n=2时,x=1

2

,y=2,此时

1 22

+22≥36不成立;当n=3时,x=3

2

,y=6,此时3

2

2

+62≥36成立,结束循环,输出x的值为3

2

,y的值

为6,满足y=4x,故选C.

11.A设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.将正方体ABCD-A1B1C1D1补成棱长为2a的正方体,如图所示.正六边形EFGPQR所在的平面即为平面α.点A为这个大正方体的中心,

直线GR为m,直线EP为n.显然m与n所成的角为60°.所以m,n所成角的正弦值为3

2

.故选A.

12.C f'(x)=1-2

3cos2x+acos x=1-2

3

(2cos2x-1)+acos x=-4

3

cos2x+acos x+5

3

,f(x)在R上单调递

增,则f'(x)≥0在R上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-4

3t2+at+5

3

≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0

在[-1,1]上恒成立,

令g(t)=4t2-3at-5,则g(1)=4-3a-5≤0,

解得-1

3

≤a≤1

3

,故选C.

二、填空题

13.答案-2

3

解析因为a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-2

3

.

14.答案-4

3

解析解法一:∵sin θ+π

4=2

2

×(sinθ+cosθ)=3

5

,

∴sinθ+cosθ=3

5

①,

∴2sinθcosθ=-7

25

.

∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,

∴sinθ-cosθ=-1-2sinθcosθ=-4

5

②,

由①②得sinθ=-2

10,cosθ=72

10

,∴tanθ=-1

7

,

∴tan θ-π

4=tanθ-1

1+tanθ

=-4

3

.

解法二:∵ θ+π

4+π

4

-θ =π

2

,

∴sin θ+π

4=cosπ

4

-θ =3

5

,

又2kπ-π

2

<θ<2kπ,k∈Z,

∴2kπ-π

4<θ+π

4

<2kπ+π

4

,k∈Z,

∴cos θ+π

4=4

5

,∴sinπ

4

-θ =4

5

,

∴tanπ

4-θ =sin

π

4

-θ

cos

π

4

-θ

=4

3

,

∴tan θ-π

4=-tanπ

4

-θ =-4

3

.

15.答案4π

解析把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r= a2+2.圆心到直线

x-y+2a=0的距离d=.由r2=d2+|AB|

22

,得a2+2=a2

2

+3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积

S=πr2=4π.

16.答案216000

解析设生产产品A x件,生产产品B y件,利润之和为z元,则z=2100x+900y.

根据题意得1.5x+0.5y≤150,

x+0.3y≤90,

5x+3y≤600,

x,y∈N,

即

3x+y≤300,

10x+3y≤900,

5x+3y≤600,

x,y∈N,

作出可行域(如图).

由10x+3y=900,

5x+3y=600得

x=60,

y=100.

当直线2100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最大值,z max=2100×60+900×100=216 000.

故所求的最大值为216000元.

三、解答题

17.解析(Ⅰ)由已知,a 1b2+b2=b1,b1=1,b2=1

3

,得a1=2,(3分)

所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n得b n+1=b n

3

,(7分)

因此{b n}是首项为1,公比为1

3

的等比数列.(9分)

记{b n}的前n项和为S n,

则S n=1-1 3

n

1-1

=3

2

-1

2×3n-1

.(12分)

18.解析(Ⅰ)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.

因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.(2分)

又PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.

又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(4分)

(Ⅱ)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.(5分)

理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,

又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.(7分)

连结CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心,由(Ⅰ)知,G是

AB的中点,所以D在CG上,故CD=2

3

CG.(9分)

由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=2

3PG,DE=1

3

PC.

由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,(11分)

所以四面体PDEF的体积V=1

3×1

2

×2×2×2=4

3

.(12分)

19.解析(Ⅰ)当x≤19时,y=3800;

当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700,所以y与x的函数解析式为

y=3 800,x≤19,

500x-5 700,x>19(x∈N).(4分)

(Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最

小值为19.(5分)

(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800元,20台的费用为4300元,10台的费用为4800元,因此这100台机器

在购买易损零件上所需费用的平均数为1

100

(3800×70+4300×20+4800×10)=4000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上

的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

1

100

(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)

比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)

20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P t 2

2p ,t .(1分)

又N 为M 关于点P 的对称点,故N t 2

p

,t ,ON 的方程为y=p

t

x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,

解得x 1=0,x 2=2t 2

p

.

因此H 2t 2

p ,2t .(4分)

所以N 为OH 的中点,即|OH |

|ON |=2.(6分)

(Ⅱ)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点.(7分) 理由如下:

直线MH 的方程为y-t=p

2t x,即x=2t

p (y-t).(9分)

代入y 2=2px 得y 2-4ty+4t 2=0,解得y 1=y 2=2t,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.(12分)

21.解析 (Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x +2a(x-1)=(x-1)(e x +2a).

(i)设a ≥0,则当x ∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x ∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分)

(ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

①若a=-e

2,则f '(x)=(x-1)(e x -e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.

②若a>-e

2,则ln(-2a)<1,故当x ∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x ∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)

③若a<-e

2,则ln(-2a)>1,故当x ∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x ∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分) (Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增. 又f(1)=-e, f(2)=a,取b 满足b<0且b

2, 则f(b)>a

2(b-2)+a(b-1)2=a b 2-3

2b >0,

所以f(x)有两个零点.(8分)

(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x ,所以f(x)只有一个零点.(9分)

(iii)设a<0,若a ≥-e

2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x ≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零

点;(10分)

若a<-e

2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x ≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分)

综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)

22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.

因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)

在Rt △AOE 中,OE=1

2AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)

(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO'.(7分)

由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO'⊥AB.

同理可证,OO'⊥CD.所以AB∥CD.(10分)

23.解析(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)

将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.(4分)

(Ⅱ)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组

ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,

ρ=4cosθ.

(6分)

若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,(8分)

由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,从而1-a2=0,

解得a=-1(舍去)或a=1.

a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.

所以a=1.(10分)

24.解析(Ⅰ)f(x)=x-4,x≤-1,

3x-2,-1

2

,

-x+4,x>3

2

,

(4分)

y=f(x)的图象如图所示.

(6分) (Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;

或x=5,(8分)

当f(x)=-1时,可得x=1

3

故f(x)>1的解集为{x|1

或x>5.(9分)

3

所以|f(x)|>1的解集为 x|x<1

或15.(10分)

3