多阶抽样

第九章 多阶段抽样

第一节 多阶抽样概述

一、 多阶抽样的概念

将整个抽样过程分成若干个阶段，一个阶段一个阶段地进行抽样以完成整个抽样过程，这种抽样即为多阶抽样。

分层抽样实际是第一阶抽样比为100%时的一种特殊的两阶抽样；而整群抽样实际上是第二阶抽样比为100%时的一种特殊的两阶抽样，故也称单级整群抽样。

多阶抽样的特征：便于组织抽样；抽样方式灵活，有利于提高抽样的估计效率；多阶段抽样对基本调查单元的抽选不是一步到位的；多阶段抽样实质上是分层抽样与整群抽样的有机结合；多阶抽样在抽样时并不需要二阶或更低阶单元的抽样框；多阶抽样还可用于“散料”的抽样，即散料抽样。

第二节 一阶单元等大小的二阶抽样

第一阶段在总体N 个初级单元中，以简单随机抽样抽取n 个初级单元，第二阶段在被抽取的初级单元包含的M 个二级单元中，以简单随机抽样抽取m 个二级单元，即最终接受调查的单元。

(一)估计量及其方差

对于二阶抽样，若两个阶段的抽样都是简单随机的，则其总体均值Y 的无偏估计量为

011

1?1n m

n

ij i i j i Y y y m y n ======∑∑∑.

由于在每个一阶单元中的第二阶抽样是相互独立进行的，所以，在二阶段都

用不放回方法抽样时，其总体均值估计量的方差可构造为

2

2221111)(S mn

f S n f y V -+-=

=N

S mn S M S

S n 2

1222221)(1-+- 可以证明其方差的无偏估计量为

2221211)1(1)(?s mn

f f s n f y V -+-= 其中，22s 为22S 的无偏估计，21s 不属于21S 的无偏估计，2

1S 的无偏估计为

22

221211?s m

f s S --= 式中右边第一部分相当于第一阶段抽样的误差，它只与各一阶单元间差异大小有关；第二部分相当于第二阶段抽样的误差，它只与各一阶单元内(即各二阶单元间)差异有关。

（二）最佳抽样比的确定

在总费用一定时，考虑下述简单的线性费用函数：

nm C n C C C 210++=

若一阶级单元间的旅费不占重要位置，则上述费用函数被证明是适用的。这里0C 是与样本量无关的固定费用，21,C C 分别为平均每调查一个一阶单元和二阶单元的费用。 又方差函数

N

S mn S M S S n y V 212

222

21)(1)(-+-=

式中右边的最后一项与n 及m 的选择无关，建立函数

))(1

(021C C S N

V Q -+=

)

]([)]()(1[21222221212

222

21m C C m

S

M S S nm C n C m n S M S S n ++-=++-=

则当费用固定条件下，使方差极小，或在方差固定条件下使费用极小，等价于使函数Q 极小化。故使Q 关于m 的偏导数等于零，则可求得m 的最优值为

2

122

21

2

C C M S S S m opt -

=

(其中S S 2

221>) 当m 不为整数时，应取整。令][opt m m ='

若)1(2

+''>m m m opt ,则取1+'=m m ; 若)1(2+''≤m m m opt ,则取m m '=

若M m opt >或02221<-M S S ，则取M m =

当2221,S S 的值未知时，可以用试点调查的结果加以估计，即取22

222121?,?s S s S ==,

则可以按上述同样的思路求得opt m 的估计量。

求出m 后，将其代入估计量方差的计算公式或上述线性费用函数式中，即可求出n 的值。这样就可确定出最佳的抽样比1f 和2f 。特别地，当12=f 时，即

M m =时，二阶抽样就化为对一阶单元进行的单级整群抽样，故其估计量的方差

及其估计量就转变为整群抽样估计量的方差及其估计。当11=f ,即N n =时，二阶抽样就化为按比例分配的分层随机抽样，且其层权相等，此时二阶抽样估计量的方差及其估计也就转变为分层随机抽样估计量的方差及其估计。所以，一般地二阶抽样也可看作是把一阶单元作为层的不完全的分层抽样。

第三节 一阶单元不等大小的两阶抽样

一、等概率抽样

1、简单估计量

由于两阶段的抽样都是简单随机的，因此总体总和的无偏估计量为

∑∑∑∑=======n

i n

i i i n

i ij i

i n i i u

y M n N y m M n N Y n N Y 111

1?? 当两阶段均为不放回抽样时，其方差为

2

22

2

1

221

1()

(1)(1)?()1

N

i

N i i i i

u

i i

Y Y M f S N

f N V Y n N n m ==---=+-∑

∑

方差的无偏估计量为

2

222

1

221

1??()(1)(1)

??()1

n

i

u

n i i i i

u

i i

Y Y M f s N

f N V Y n n n m ==---=+-∑∑

其中1f =n/N 为第一阶段抽样比，i i i M m f /2=为第i 个一阶单元内的抽样比；

∑=--=i

M j i ij i i

Y y M S 1

222)(11， ∑=--=i

m j i ij i i

y y m s 1

222)(11 ∑====n i i i i i i i i Y n Y m y y M Y Y 1

?1?,

/,/ 若22i f f =,即第二阶段的抽样比为常数，则

∑∑===n i m j ij

u

i

y

nf N Y 11

2

?

可见，此时u

Y ?是自加权的，N nf 2是总体中每个二阶单元入样的概率。 若估计总体均值，则有

??M Y

Y u =，

其方差为

20

/)?()?(M Y V Y V u = 方差估计量为

20

/)?(?)?(?M Y V Y V u = 其中∑==N

i i M M 1

2、比估计量

简单估计量u

Y ?虽然是无偏的，但效果一般不好，方差较大。因此也可利用以i M 为辅助变量来构造比估计量。

1

10

1

1

?

?n

n

i

i

i

i i R n

n i

i

i i M y

Y Y M M

M

======∑∑∑∑

∑∑===

n i i

n

i i

i

R M

y M

Y 1

1?

比估计量是有偏的，其估计量R

Y ?的近似方差为 22

22

2

1

221

1()(1)(1)?()1

N

i i N i i i i R

i i

M

Y Y M f S N

f N V Y n N n m ==---≈+-∑

∑ 方差估计量为

∑∑==-+---≈n i i

i i i n i R i i R

m s f M n N n Y y M n

f N Y V 12

2221

22

12

)1(1

)

?()1()?(?

由此易得关于估计量R Y ?

的相应结果

20/)?()?(M Y V Y V R R = 20/)?()?(?M Y V Y V R R =，

其中M 用∑=n

i i M n 1

1估计。

3、比例的估计

在估计Y 的公式中，令

??

?=，个二阶单元不具某特性个一阶单元中第若第，

，个二阶单元具有某特性个一阶单元中第

若第j i j i y ij 0,1 就可得到估计比例P 的公式。由于二阶单元总数通常是未知的，这里给出比估计

的公式。

设i

P ?表示第i 个一阶单元的二阶样本单元中具有某特性的单位占的比例，则总体中具有该特性的单位占的比例的估计量

∑∑===n i i

n

i i

i

M

P

M P

1

1

??

其方差估计量

∑∑==---+

---=n

i i i

i i i

n

i i

i

m P P f M M

nN n P P m

M

n f P V

1

22

21

2211)?1(?)1(?1

1

)??(?1)?(?， 其中

∑==n i i M n M 1

1? 二、不等概率抽样

这里只讨论当n ＞1时的一般情形。 (一)放回的不等概率抽样 1、估计量及其方差

设总体由N 个一阶单元组成，第i 个一阶单元包含i M 个二阶单元。按PPz 抽样(与第一阶单元的大小成比例的放回地逐个独立地抽样)抽取了n 个一阶单

元，第i 个一阶单元入样的概率为i z ,11

=∑=N i i z ，（∑===N

i i i

i M M M M z 1

''0

'0

'

/，'i M 为

衡量第i 个一阶单元大小尺度；若'

i

M 为确知，则01

/M M z i N

i i =∑=）。然后在被抽

中的一阶单元中，按简单随机抽样，抽取i m 个二阶单元，

)21(/2n i M m f i

i i ，，， ==。

(1)如果一阶单元被重复抽中，则原来在第二阶段抽样中被抽中的i m 个二阶单元也放回，按简单随机抽样再抽i m 个二阶单元。在这种情况下，总体总和的无偏估计量是

∑∑====n i i

i i n i i i ppz z y M n z Y n Y 111?1?

(2)当一阶单元被重复抽中时，抽取二阶单元的其它方法：

①若第i 个一阶单元被抽中i t 次，就从中一次随机抽取i i t m 个二阶单元（假定i i i M t m ≤），此时

)?(ppz

Y V 减少∑=-N

i i i S M n n 1

221 ②不论第i 个一阶单元被抽中多少次，都只从中随机抽i m 个二阶单元，这时

)?(ppz

Y V 增加∑=--N

i i

i i i m S f M n n 12222)1(1 在①、②两种情况下，估计量均为

∑==N

i i i i i nz y M t Y

1

? 其中i t 为第i 个一阶单元被抽中的次数。

2、估计量为自加权的条件

在ppz 抽样时，由

∑∑

∑=====n i n i m j ij

i

i i

i i i ppz i

y

m z M n z y M n Y 111

11?

得ppz

Y ?自加权的条件是

1

f K m nz M i i i =

= 此时

∑∑===n

i m j ij

ppz i

y K Y 11

? 其中K 为常数，i

i

i M m nz f =

0是任意一个二阶单元被抽中的概率，因而，上式表示任意一个二阶单元被抽中的概率都相等。在实际应用中，若0f 事先确定，

i

i i i nz f

M m f 02==

也可按已被抽中的二阶单元确定。 对自加权的样本，其方差估计量可简化为

∑=--=n

i i

ppz

y y

f n n n Y V 1

22

0)()1()?(?

其中∑==i

m j ij i y y 1

是第i 一阶单元中的i m 个二阶单元之和。

在PPS 抽样(即0/M M z i i =)时，估计量简化为

∑==i

m j i

pps

y

n

M

Y 1

?

当m m i =时，y M Y pps 0?=为自加权，pps

Y ?也是Y 的无偏估计。它的一个无偏的方差估计量为：

∑∑==--=

--=n

i i n i pps i pps y y n n M

M Y y n n M Y V 1

22

120

20)()1()?()1()?(?

其中

∑∑===n i m

j ij y nm y 11

1

(二)不放回的不等概抽样

设总体由N 个一阶单元组成，第i 个一阶单元包含i M 个二阶单元。第一阶段抽样是不放回的不等概率抽样， i π为第i 个一阶单元入样的概率，i i nz =π,ij

π

为第i 和第j 个一阶单元同时入样的概率。第二阶段是简单随机抽样。

此时，总体总和可采用以下形式估计

∑∑∑======n

i i i

n

i i

i

n i i

i i HT

z Y

n Y y M Y 111?1??ππ

可以证明HT

Y ?是Y 的无偏估计量，其方差为 ∑∑∑==>-+--=N

i i i i i i j j

N

i N

i j i i

ij

j i HT S m f M Y Y Y V 1

2222

2

1)1())(()?(ππππππ 方差)?(HT

Y V 的一个无偏估计量为 ∑∑∑==>-+--=N i i i

i i i j j n

i n

i j i i

ij ij j i HT

s m f M Y Y Y V 1222221)1()??()?(?πππππππ