2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)3：导数
2012高考真题分类汇编：导数
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数
)(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 【答案】D
【解析】由图象可知当2-
12<<-x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)(' 0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)(' 所以此时0)('>x f ，函数递增.所以函数)(x f 有极大值)2(-f ，极小值)2(f ,选D. 2.【2012高考真题新课标理12】设点P 在曲线12 x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则P Q 最小值为（ ） ()A 1ln 2- ()B ln 2)- ()C 1ln 2+ () D (1l n 2) + 【答案】B 【解析】函数12 x y e = 与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12 x y e = 上的点1(, )2 x P x e 到直线y x = 的距离为d = 设函数min min 11()()1()1ln 22 2 x x g x e x g x e g x d '= -?= -?=-?= 由图象关于y x =对称得：P Q 最小值为min 2ln 2)d = -, 3.【2012高考真题陕西理7】设函数()x f x xe =，则（ ） A. 1x =为()f x 的极大值点 B.1x =为()f x 的极小值点 C. 1x =-为()f x 的极大值点 D. 1x =-为()f x 的极小值点 【答案】D. 【解析】x x x xe e x f xe x f +=∴=)(',)( ， 令0)('=x f ，则1-=x ，当1- (A)2 1x e x x ++… 2 1112 4 x x <- + (C)2 1cos 12 x x -… (D)2 1ln(1)8 x x x +- … 【答案】C 【解析】设2 2 11()cos (1)cos 12 2 f x x x x x =--=-+ ，则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所 以() c g x x '=-+≥，所 以 当 [0x ∈+∞时， ( )()g x g x f x g '= = 为增函数，所以 ≥ 同理2 1()(0)0cos (1)02 f x f x x =∴--≥， ≥，即2 1cos 12 x x -… ，故选C 【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。 5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的 面积为 A ．2π5 B ．43 C ． 32 D ． π2 【答案】B 【解析】根据图像可得： 2()1y f x x ==-+，再由定积分的几何意义，可求得面积为 12 31 11 14(1)()3 3 S x dx x x --= -+=- += ? . 6.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y ＝x 2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1 【答案】A 【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为 c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A. 二、填空题 7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离，则实数a=_______。 【答案】 4 9 【解析】曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离为222221 1|40|2 2 =-=-+-= d ， 曲线C 1：y=x 2+a 对应函数的导数为x y 2=，令12=x 得2 1=x ，所以C 1：y=x 2+a 上的点为 )41,21(a +，点)41 ,21(a +到到直线l:y=x 的距离应为2，所以21 1| 4 12 1 | 2 2 =+-- a ，解得 4 9= a 或4 7- =a （舍去）。 8.【2012高考真题江西理11】计算定积分=+?-dx x x 1 1 2)sin (___________。 【答案】 3 2 【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。 【解析】3 2)cos 3 1()sin (11 31 1 2=-=+--?x x dx x x 。 9.【2012高考真题山东理15】设0a >. 若曲线y =,0x a y ==所围成封闭图形的 面积为2a ，则a =______. 【答案】9 4= a 【解析】由已知得2 23 23 3 2|3 2a a x x S a a == = = ? ，所以3 221 = a ，所以9 4= a 。 10.【2012高考真题广东理12】曲线y=x 3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ． 【答案】012=+-y x 【解析】132-='x y ，当1=x 时，2='y ，此时2=k ，故切线方程为)1(23-=-x y ，即 012=+-y x 。 11.【2012高考真题上海理13】已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、 )5,2 1(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积 为 。 【答案】 4 5 【解析】当2 10≤≤x ，线段AB 的方程为x y 10=，当 12 1≤ 1 211050--=--x y ，整理得1010+-=x y ，即函数??? ???? ≤<+-≤≤==121,10102 10,10)(x x x x x f y ，所以 ??? ??? ?≤<+-≤≤==121,10102 10,10)(22 x x x x x x xf y ，函数与x 轴围成的图形面积为 dx x x dx x )1010(102 1 2 12 1 2 +-= +? ? 12 12 32 1 3 ) 53 10(3 10x x x +- += 4 5= 。 12.【2012高考真题陕西理14】设函数ln ,0 ()21, x x f x x x >?=? --≤?，D 是由x 轴和曲线() y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 . 【答案】2． 【解析】函数)(x f y =在点)0,1(处的切线为)1)(1('0-=-x f y ，即1-=x y .所以D 表示的 平面区域如图 当目标函数直线经过点M 时z 有最大值，最大值 为2)1(20=-?-=z . 三、解答题 13.【2012高考真题广东理21】（本小题满分14分） 设a ＜1，集合}0|{>∈=x R x A ，}6)1(32|{2 a x a x R x B ++-∈=，B A D =。 （1）求集合D （用区间表示）； （2）求函数ax x a x x f 6)1(32)(2 3 ++-=在D 内的极值点． 【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大. 14.【2012高考真题安徽理19】（本小题满分13分） 设1()(0)x x f x ae b a ae =+ +>。 （I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值； （II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32 y x = ；求,a b 的值。 【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。 【解析】（I ）设(1)x t e t =≥；则22 2 2 111a t y at b y a at at at -'=++?=- = ， ①当1a ≥时，0y '>?1y at b at =+ +在1t ≥上是增函数， 得：当1(0)t x ==时，()f x 的最小值为1a b a + +。 ②当01 a <<时， 1 2 y at b b at =++≥+， 当且仅当 1 1(,ln) x at t e x a a ====-时，() f x的最小值为2 b+。 （II） 11 ()() x x x x f x ae b f x ae ae ae ' =++?=-， 由题意得： 2 22 2 2 12 (2)33 3 131 (2) 2 22 f ae b a ae e f ae b ae ?? =++== ??? ??? ?? ??? '= ??? -== ? ? ?? ? 。 15.【2012高考真题福建理20】（本小题满分14分）已知函数f（x）=e x＋ax2-ex，a∈R.（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P. 【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想 . 16.【2012高考真题全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数f （x ）=ax+cosx ，x ∈[0，π]. （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）设f （x ）≤1+sinx ，求a 的取值范围. 【答案】 17.【2012高考真题北京理18】（本小题共13分） 【答案】解：（1）由()1c ，为公共切点可得： 2 ()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+， ∴23a b =+? 又(1)1f a =+，(1)1g b =+， ∴11a b +=+，即a b =，代入① 式可得：33 a b =??=?． （2） 24a b =，∴设322 1()()()14 h x f x g x x ax a x =+=++ + 则22 1()324h x x ax a '=++ ，令()0h x '=，解得：12 a x =- ，26 a x =- ； 0a >，∴2 6 a a - <- ， ∴原函数在2a ?? -∞- ?? ? ，单调递增，在26a a ? ?- - ???，单调递减，在6a ?? -+∞ ??? ，上单调递增 ①若12 a --≤，即2a ≤时，最大值为2 (1)4 a h a =- ； ②若12 6 a a - <-<- ，即26a <<时，最大值为12a h ??-= ?? ? ③若16 a -- ≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ??-= ?? ? ． 综上所述： 当(]02a ∈，时，最大值为2 (1)4 a h a =- ；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ?? -= ?? ? ． 18.【2012高考真题新课标理21】（本小题满分12分） 已知函数()f x 满足满足1 2 1()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+ ； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2 1()2 f x x ax b ≥ ++，求(1)a b +的最大值. 【答案】（1）1 211()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+ ?=-+ 令1x =得：(0)1f = 1 21 1()(1)(0)(1)1(1)2 x f x f e x x f f e f e --'''=-+ ?==?= 得：21()()()12 x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为2 1()2x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）2 1()()(1)02 x f x x ax b h x e a x b ≥ ++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾 ②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+ 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=- ()00()0F x x F x x ''>?<< 当x =m ax ()2 e F x = 当1,a b = = (1)a b +的最大值为2 e 19.【2012高考真题天津理20】本小题满分14分） 已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2 kx 成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明∑ =<+--n i n i 1 2)12ln(1 22（* N n ∈）. 【答案】 20.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。 已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值； （2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。 ∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点， ∴ (1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，解得==3a b -0，。 （2）∵ 由（1）得，3()3f x x x =- ， ∴()()2 3()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。 ∵当2x <-时，()0g x <'；当21 ∵当21 （3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为I 和一2 ，注意 到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和2。 当 2 d <时，∵ (1)=(2)=20 f d f d d >----， (1)=(2)=20f d f d d <----- ， ∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。 由（1）知()()()=311f'x x x +-。 ① 当()2x ∈+∞，时，()0f 'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而 ()(2)=2f x >f 。 此时()=f x d 在()2+∞，无实根。 ② 当()1 2x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。 又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。 同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 ③ 当()1 1x ∈-， 时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。 又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。 因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ， ；当2d < 时 ()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x 。 现考虑函数()y h x =的零点： ( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1， 。 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零 点。 ( 11 ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足 2 =3, 4, 5 i t 综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数() y h x =有9 个零点。 【考点】函数的概念和性质，导数的应用。 【解析】（1）求出)(x f y =的导数，根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，3()3f x x x =-，求出()g x '，令()=0g x '，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况；再考虑函数()y h x =的零点。 21.【2012高考真题辽宁理21】本小题满分12分) 设()ln(1)(,,,)f x x ax b a b R a b =+++∈为常数，曲线()y f x =与 直线32 y x = 在(0，0)点相切。 (Ⅰ)求,a b 的值。 (Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6 x f x x <+。 【答案】 【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本 题容易忽略函数) (x f的定义域，根据条件曲线() y f x =与直线 3 2 y x =在(0，0)点相切，求 出,a b的值，然后，利用函数的单调性或者均值不等式证明 9 () 6 x f x x < + 即可。从近几年的高 考命题趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时要加强训练。本题属于中档题。 22.【2012高考真题重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设 13 ()ln1, 22 f x a x x x =+++其中a R ∈，曲线() y f x =在点(1,(1)) f处的切线垂直 于y轴. （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函数() f x的极值. 【答案】 23.【2012高考真题浙江理22】(本小题满分14分)已知a ＞0，b ∈R ，函数()342f x ax bx a b =--+． (Ⅰ)证明：当0≤x ≤1时， (ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a －b |﹢a ； (ⅱ) ()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0； (Ⅱ) 若﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，求a ＋b 的取值范围． 【命题立意】本题主要考查不等式、利用导数研究函数的单调性等性质、线性规划等知识点综合运用能力，同时考查抽象概括、推理论证能力。 【答案】本题主要考察不等式，导数，单调性， (Ⅰ)(ⅰ)()2122f x ax b '=-． 当b ≤0时，()2122f x ax b '=-＞0在0≤x ≤1上恒成立， 此时()f x 的最大值为：()1423f a b a b a b =--+=-＝|2a －b |﹢a ； 当b ＞0时，()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断， 此时()f x 的最大值为： ()m ax 2m ax{(0)1}m ax{()3}32b a b a f x f f b a a b a b b a ->?==--=? - ＝|2a －b |﹢a ； 综上所述：函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |﹢a ； (ⅱ) 要证()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0，即证()g x ＝﹣()f x ≤|2a －b |﹢a ． 亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |﹢a ， ∵()342g x ax bx a b =-++-， ∴令( ) 2 1220 g x ax b x '=-+=?= 当b ≤0时，()2122g x ax b '=-+＜0在0≤x ≤1上恒成立， 此时()g x 的最大值为：()03g a b a b =-<-＝|2a －b |﹢a ； 当b ＜0时，()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断， ( )m ax m ax{1}g x g g =，（） 4 m ax{2} 3 46362a b b a b a a b b a b a =--?≤-?=?>?-? ，，， ≤|2a －b |﹢a ； 综上所述：函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |﹢a ． 即()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立． (Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |﹢a ， 且函数()f x 在0≤x ≤1上的最小值比﹣(|2a －b |﹢a )要大． ∵﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立， ∴|2a －b |﹢a ≤1． 取b 为纵轴，a 为横轴． 则可行域为：21 b a b a ≥??-≤?和231 b a a b -≤?，目标函数为z ＝a ＋b ． 作图如下： 由图易得：当目标函数为z ＝a ＋b 过P(1，2)时，有max 3z =． ∴所求a ＋b 的取值范围为：(]3-∞，． 24.【2012高考真题山东理22】(本小题满分13分) 已知函数 ln () x x k f x e + =（k为常数， 2.71828 e=???是自然对数的底数），曲线() y f x =在 点(1,(1)) f处的切线与x轴平行. （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）求() f x的单调区间； （Ⅲ）设2 ()()'() g x x x f x =+,其中'() f x为() f x的导函数.证明：对任意 2 0,()1 x g x e- ><+. 【答案】 25.【2012高考真题湖南理22】（本小题满分13分） 已知函数()f x =ax e x =-，其中a ≠0.