江苏省泰州中学2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2016-2017学年江苏省泰州中学高二（上）期末数学试卷（文科）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是．

2．如果复数为纯虚数，则a=．

3．抛物线y2=4x的焦点坐标为．

4．集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是．

5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是．

6．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的条件．7．下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列

的一个通项公式为

8．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦

距等于．

9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O距离大于1的概率为．

10．若P0（x0，y0）在椭圆外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，

P2，则切点弦P1P2所在直线方程是．那么对于双曲线则有如下命题：

若P0（x0，y0）在双曲线外，则过P0作双曲线的两条切

线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2的所在直线方程是．

11．若曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，则实数a的取值范围为．

12．函数f（x）=﹣的最大值是．

13．椭圆E： +=1的右焦点F，直线l与曲线x2+y2=4（x＞0）相切，且交椭圆E于A，B两点，记△FAB的周长为m，则实数m的所有可能取值所成的集合为．

14．已知曲线在x=﹣1处的切线和它在x=x0（x0＞0）处的切线互相垂直，

设，则m=．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（1）计算

（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，并且经过点P（3，）和Q（，5）的双曲线方程．

16．已知a∈R，命题p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“?x∈R，x2+2ax+2=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

17．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣（a＞0）

（1）若a=l，求f（x）的极值；

（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．18．某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x

＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．

（1）试将y表示为x的函数；

（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率

为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点E的坐标为（，0），点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积；

（3）是否存在点E，使得+为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

20．已知函数f（x）=alnx+ax2+bx，（a，b∈R）．

（1）设a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），求b的值；

（2）设b=a2+2，求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值；

（3）定义：一般的，设函数g（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，则称x0为函数g（x）的不动点．设a＞0，试问当函数f（x）有两个不同的不动点时，这两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点？

2016-2017学年江苏省泰州中学高二（上）期末数学试卷

（文科）

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．【考点】四种命题间的逆否关系．

【分析】先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．

【解答】解：∵“x2＜1”的否定为“x2≥1”．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．∴命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是：“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．故答案：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．

2．如果复数为纯虚数，则a=﹣2．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值．

【解答】解：∵为纯虚数，

∴，即a=﹣2．

故答案为：﹣2．

3．抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，

p=2∴焦点坐标为：（1，0）

故答案为：（1，0）

4．集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等

于4的概率是．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】利用古典概型概率计算公式求解．

【解答】解：集合A={2，3}，B={1，2，3}，

从A，B中各任意取一个数有2×3=6种，

其两数之和为4的情况有两种：2+2，1+3，

∴这两数之和等于4的概率p==．

故答案为：．

5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）．

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】依题意，可求得f′（x）=，由f′（x）＜0即可求得函数f （x）=x2﹣2lnx的单调减区间．

【解答】解：∵f（x）=x2﹣2lnx（x＞0），

∴f′（x）=2x﹣==，

令f′（x）＜0由图得：0＜x＜1．

∴函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）．

故答案为（0，1）．

6．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的必要不充分条件．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据不等式的基本性质和实数比较大小的法则，可得由“a﹣c＞b﹣d”可推出“a＞b”，而反之不一定成立．由此不难得到本题的答案．

【解答】解：充分性，因为c＞d，所以﹣d＞﹣c，当a＞b时可得a﹣d＞b﹣c．不一定能得到a﹣c＞b﹣d，故充分性不成立；

必要性，当a﹣c＞b﹣d成立时，两边都加上c得a＞b+（c﹣d）

因为c＞d，得（c﹣d）＞0，所以b+（c﹣d）＞b

由不等式的传递性，得a＞b成立，故必要性成立

故答案为：必要不充分

7．下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列

的一个通项公式为a n=3n﹣1

【考点】归纳推理．

【分析】根据图形的特点，每增加一个三角形应在原来的基础上再增加3倍个三角形，三角形的个数为：1，3，3×3，3×9…，归纳出第n图形中三角形的个数．【解答】解：由图形得：

第2个图形中有3个三角形，

第3个图形中有3×3个三角形，

第4个图形中有3×9个三角形，

以此类推：第n个图形中有3n﹣1个三角形．

故答案为：a n=3n﹣1

8．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．

【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，

焦点坐标为F（c，0），

则焦点到其渐近线的距离d===b=2，

则c====3，

则双曲线的焦距等于2c=6，

故答案为：6

9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O距离大于1的概率为1﹣

．

【考点】几何概型；棱柱的结构特征．

【分析】本题是几何概型问题，欲求点P与点O距离大于1的概率，先由与点O 距离等于1的点的轨迹是一个半球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．

【解答】解：本题是几何概型问题，

与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，

其体积为：V1=×π×13=

“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为23﹣，

则点P与点O距离大于1的概率是=1﹣．

故答案为：1﹣．

10．若P0（x0，y0）在椭圆外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，

P2，则切点弦P1P2所在直线方程是．那么对于双曲线则有如下命题：

若P0（x0，y0）在双曲线外，则过P0作双曲线的两条切

线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2的所在直线方程是．

【考点】类比推理．

【分析】根据椭圆与双曲线之间的类比推理，由椭圆标准方程类比双曲线标准方程，由点的坐标类比点的坐标，由切点弦P1P2所在直线方程类比切点弦P1P2所在直线方程，结合求椭圆切点弦P1P2所在直线方程方法类比求双曲线切点弦P1P2所在直线方程即可．

【解答】解：若P0（x0，y0）在椭圆外，

则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，

则切点弦P1P2所在直线方程是．

那么对于双曲线则有如下命题：若P0（x0，y0）在双曲线

外，

则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2的所在直线方程是

故答案为：．

11．若曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，则实数a的取值范围为a=﹣e 或a＞0．

【考点】函数的零点与方程根的关系．

【分析】根据导数判断单调性：f（x）在（0，）的单调递增，在（1，），（1，

+∞）的单调递减，画出图象判断即可．

【解答】解：∵y=，定义域为：（0，1）∪（1，+∞）

∴y′=，

①当＞0时，即0，

②当＜0时，即＜x＜1，x＞1，

③当=0时，即x=，

∴f（x）在（0，）的单调递增，在（1，），（1，+∞）的单调递减，

f（）=﹣e，

∵曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，

∴a=﹣e或a＞0，

12．函数f（x）=﹣的最大值是．