江苏省南通市、泰州市2018届高三数学第一次模拟考试答案

2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

1. 1

2. －32

3. 25

4. 10

5. 12

6. 5

7. 6

5

8. 3 9. π6

10. e －

2 11. 210 12. 42－4

13. 32 14. ?

??

?

?5－12，1∪(1，＋∞)

15. 解析：(1) 在△ABN 中，M 是AB 的中点， D 是BN 的中点， 所以MD ∥AN.(3分)

因为AN ?平面PAC ，MD ?平面PAC ， 所以MD ∥平面PAC.(6分) (2) 在△ABC 中，CA ＝CB ，M 是AB 的中点， 所以AB ⊥MC.(8分)

因为AB ⊥PC ，PC ?平面PMC ，MC ?平面PMC ，PC ∩MC ＝C ，

所以AB ⊥平面PMC.(11分) 因为AB ?平面ABN ，

所以平面ABN ⊥平面PMC.(14分)

16. 解析：(1) 在△ABC 中，根据余弦定理及a 2

＝b 2

＋c 2

－bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1

2

.

因为A ∈(0，π)，所以A ＝

π

3

.(3分) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b

sin B 得

sin B ＝b a sin A ＝215×32＝55.(6分)

(2) 因为a ＝

15

2

b>b ， 所以A>B ，即0

3.

又sin B ＝55，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255

.(9分)

在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，

所以cos ????C ＋π12＝cos ????π－A －B ＋π

12

＝－cos ????B ＋π

4(12分)

＝－????cos B cos π4－sin B sin π

4

＝－??

??

255

×22－55×22＝－1010.(14分)

17. 解析：(1) 设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a 2

c

＝42，(2分)

解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2

2＝1.(4分)

(2) 方法一：因为S △AOB ＝2S △AOM ， 所以AB ＝2AM ，

所以M 为AB 的中点．(6分) 因为椭圆的方程为x 24＋y 2

2＝1，

所以A(－2，0)．

设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)． 所以x 20＋y 2

0＝89， ① （2x 0＋2）24＋（2y 0）2

2

＝1, ②(10分) 由①②得9x 2

0－18x 0－16＝0，

解得x 0＝－23，x 0＝8

3

(舍去)．

把x 0＝－23代入①，得y 0＝±2

3，(12分)

所以k AB ＝±1

2

，

因此，直线AB 的方程为y ＝±1

2(x ＋2)，

即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分) 方法二：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，

所以M 为AB 的中点．(6分)

设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)．

由?????x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2）

得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋

8k 2－4＝0，

所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 2

1＋2k 2

.(8分)

所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 2

1＋2k 2，y M

＝k(x M ＋

2)＝2k

1＋2k 2

，(10分)

代入x 2＋y 2＝8

9

得，

? ??

??－4k 2

1＋2k 22

＋????2k 1＋2k 22

＝89，

化简得28k 4

＋k 2

－2＝0，(12分) 即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，

所以直线AB 的方程为y ＝±1

2(x ＋2)，

即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分) 18. 解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．

(1) 直线PB 的方程为y ＝2x ，

半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，(2分)

由?

????y ＝2x ，x 2＋y 2＝402

，y ≥0得y ＝16 5. 所以点P 到AD 的距离为16 5 m ．(4分

)

(2) ①由题意得P(40cos θ，40sin θ)． 直线PB 的方程为 y ＋80＝sin θ＋2

cos θ＋1

(x ＋40)，令y ＝0，得

x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θ

sin θ＋2

.(6

分)

直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2

cos θ－1(x －40)，

令y ＝0，得x F ＝

80cos θ－80

sin θ＋2

＋40＝

80cos θ＋40sin θ

sin θ＋2

，(8分)

所以EF 的长度为 f (θ)＝x F －x E ＝

80sin θ

sin θ＋2

，θ∈

?

???0，π2.(10分)

②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为

S 1＝12×? ??

??80－80sin θsin θ＋2×80＝

6 400

sin θ＋2

，

区域Ⅱ的面积为

S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×80sin θ

sin θ＋2×

40sin θ＝1 600sin 2θsin θ＋2

，

所以S 1＋S 2＝

1 600sin 2θ＋6 400

sin θ＋2

?

???0<θ<π2.(3分)

设sin θ＋2＝t ，则2

＝1 600????t ＋8

t －4≥1 600(28－4)＝6 400(2－1)，

当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时等号成立．

所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6 400(2－1)m 2.

故当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)

19. 解析：(1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x

＝(x ＋a ＋1)e x .令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1.

f(x)，f ′(x)随x 的变化列表如下：

所以当x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．(2分)

因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知 g ′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0， 所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0， 化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)

由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0得a ≠－32

，

所以b ＝－a 2－4a －3????a ≠－3

2.(6分) (2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx)， 所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)] ＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3) ＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)

记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x －3， 令h′(x)＝0，解得x ＝ln 3. h(x)，h ′(x)随x 的变化列表如下：

所以当x ＝ln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值， 此时h(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a ＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 2

3＋a>a>0.(10分)

令F′(x)＝0，解得x ＝－a －1.

F(x)，F ′(x)随x 的变化列表如下：

所以当x ＝－a －1时，F(x)取得极小值，也是最小值，

所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －

1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]

＝－e －a －

1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分) 令t ＝－a －1，则t<－1，

记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2，t<－1， 则m′(t)＝－e t ＋3t 2－2t ，t<－1.

因为－e －

1<－e t <0，3t 2－2t>5，

所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增．(14分)

所以m(t)<－e －

t －2<－13－2＝－73，

所以M(a)<－7

3

.(16分)

20. 解析：(1) 当n 为奇数时，a n ＋1－a n

＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .(2分)

a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；(4分)

当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n .

a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝

2a n . 所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分) (2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ， 则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设

其公差为d 1，

数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，

数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分) 因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4， 所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1，

所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，①

n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.② 若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2

d 2－d 1时，①不成

立；

若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1

d 2－d 1

时，②

不成立．

若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.

同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1

＝d 2＝d 3＝d.(12分)

设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，

则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1

＋(n －p －1)d]

＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)

同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ.

所以{b n }是等差数列．(6分)

另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ，

λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1

－b 2＋d ，

λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1，

以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝2

3d ，(12

分)

所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d

3，

b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1

＋(3n －1－1)d

3

，

b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d 3

，

所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d

3，

所以数列{b n }是等差数列．(16分)

21. A . 解析：延长PT 交⊙O 2于点C ， 连结O 1P ，O 2C ，O 1O 2，则O 1O 2过点T. 由切割线定理得PM 2＝PC·PT ＝3. 因为∠O 1TP ＝∠O 2TC ，

△O 1TP 与△O 2TC 均为等腰三角形，(5分) 所以△O 1TP ∽△O 2TC ，所以PT CT ＝PO 1

CO 2＝2，

所以PT PC ＝23，即PC ＝32

PT.

因为PC·PT ＝32PT ·PT ＝3，所以PT ＝ 2.(10

分)

B . 解析：由已知得??

????1x 02??????01＝??????x 2＝λ????

??01，

所以?

????λ＝2，x ＝0，所以A ＝??

??

??

1002.(4分) 设A －1

＝????

??a b c d ，

则AA －

1＝??

????1002??????a b c d ＝????

??1001，

即??

????a b 2c 2d ＝????

?

?1001，

所以a ＝1，b ＝c ＝0，d ＝1

2

，

所以λ＝2，A －1＝?????

???10012.(10分)

C. 解析：曲线?

????x ＝t －1，

y ＝t 2

－1的普通方程为y ＝x 2＋2x .(4分)

联立?????y ＝x ，y ＝x 2

＋2x ，解得?????x ＝0，

y ＝0或?

????x ＝－1，

y ＝－1，(8分) 所以A (0，0)，B (－1，－1)， 所以AB ＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝ 2.(10分)

D. 解析：因为a >1，b >1，

所以b 2a －1＋4(a －1)≥4b ，a 2

b －1＋4(b －

1)≥4a .(4分)

两式相加b 2a －1＋4(a －1)＋a 2

b －1＋4(b －

1)≥4b ＋4a ，

所以b 2a －1＋a 2

b －1

≥8.(8分)

当且仅当b 2a －1＝4(a －1)且a 2

b －1＝4(b －

1)时，等号成立，

即当a ＝b ＝2时，b 2a －1＋a 2

b －1取得最小

值为8.(10分)

22. 解析：以{AB →，AD →，AP →

}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．

(1) 由题意可知，DP →＝(0，－4，4)，DC →

＝(4，－2，0)．

设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，

则?????n 1·DP →＝0，n 1·DC →＝0，

即?????－4y ＋4z ＝0，

4x －2y ＝0.

令x ＝1，则y ＝2，z ＝2.

所以n 1＝(1，2，2)．(3分)

平面ACD 的法向量为n 2＝(0，0，1)， 所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝

|n 1·n 2||n 1||n 2|＝2

3

， 所以二面角PCDA 的余弦值为2

3

.(5分

)

(2) 由题意可知，PC →＝(4，2，－4)，DC →

＝(4，－2，0)．

设PH →＝λPC →

＝(4λ，2λ，－4λ)，

则DH →＝DP →＋PH →

＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．(7分)

因为DC ＝DH ， 所以（4λ）2＋（2λ－4）2＋（4－4λ）2＝

20，

化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝1

3.

因为点H 异于点C ，所以λ＝1

3.(10分)

23. 解析：①当n ＝1时，等式右边＝

sin ???

?1＋12x 2sin 12x

－1

2＝sin ????1＋12x －sin ????1－12x 2sin 1

2

x

＝ 1

2sin 12x

×[(sin x cos 12x ＋cos x sin 12x)－(sin x cos 1

2x －cos x sin 1

2

x)]

＝cos x ＝等式左边，等式成立．(2分) ②假设当n ＝k 时等式成立，

即cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＝sin ????k ＋12x 2sin 12

x

－12

. 那么，当n ＝k ＋1时，有

cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＋cos (k ＋1)x

＝sin ????k ＋12x 2sin 12x

－12＋cos (k ＋1)x

＝

1

2sin 12x

×{sin ????（k ＋1）x －12x ＋2sin 1

2

x ·cos (k ＋1)x}－1

2

＝

1

2sin 12x

×[sin (k ＋1)x cos 1

2x －cos (k ＋1)x sin 12x ＋2sin 12x cos (k ＋1)x]－12

＝

sin （k ＋1）x cos 12x ＋cos （k ＋1）x sin 12x

2sin 12

x

－1

2

＝sin ????k ＋1＋12x 2sin 12

x

－12.

这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立． 根据①和②可知，对任何n ∈N *等式都成立．(6分)

(2) 由(2)可知，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos2 018x ＝sin ?

???2 018＋1

2x 2sin 12x

－12，

两边同时求导，得－sin x －2sin2x －3sin3x －…－2 018sin2 018x