浙江省八年级数学下册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法第3课时练习新版浙教版
2.2 一元二次方程的解法（第3课时）
课堂笔记
配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程化成一般式；
（2）方程的两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
（3）移项：把常数项移到方程的右边，使方程的左边为二次项和一次项；
（4）配方：在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式；
（5）求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用开平方法求解，如果右边是负数，则指出原方程无解.
分层训练
A 组 基础训练
1. 若x 2-6x+11=（x-m ）2+n ，则m ，n 的值分别是（ ）
A. m=3，n=-2
B. m=3，n=2
C. m=-3，n=-2
D. m=-3，n=2 2. 用配方法解方程2x 2-7x+5=0时，下列配方结果正确的是（ ）
A. （x-47）2=169
B. （x-27）2=16
9 C. （x-47）2=829 D. （x-27）2=829 3. 若9x 2-（k+2）x+4是一个关于x 的完全平方式，则k 的值为（ ）
A ．10
B ．10或14
C ．-10或14
D ．10或-14
4. 用配方法解方程2x 2-
21x-2=0，应先把它变形为（ ） A ．（x-31）2=98 B.（x-32）2=0 C.（x+31）2=98 D.（x-31）2=9
10 5． 无论m ，n 为何实数，代数式m2-4n+n2+6m+19的值（ ）
A ．总不小于6
B ．总不小于19
C ．为任何实数
D ．可能为负数
6. 用配方法解方程2x 2+6x-5=0时，应变形为 .
7. 代数式3x 2-6x 的值为-1，则x= .
8． 若把y=2x 2-4x-1化为y=2（x+h ）2+k 的形式，则h= ，k= .
9. 关于x 的方程a （x+h ）2+k=0（a ，h ，k 均为常数，a ≠0）的解是x 1=-3，x 2=2，则方程a （x+h-1）2+k=0的解是 .
10. 用配方法解方程：
（1）2x2-4x-6=0；
（2）3x2-6x-1=0；
（3）（泰安中考）6x2-x-12=0；
（4）5x2-5x-5=0.
11. 在实数范围内定义一种新运算“★”，其规则为a★b=ab+a+b. 根据这个规则，请你求方程x★（x+1）=11的解.
12. 关于x的方程a2x2-2ax-3=0的一个解为3，求a的值及方程的另一个解．
B组自主提高
13. 对于二次三项式2x2+4x+5的值，下列叙述正确的是（）
A．一定为正数 B．可能为正数，也可能为负数
C．一定为负数 D．其值的符号与x值有关
14. 先阅读后解题.
若m2+2m+n2-6n+10=0，求m和n的值.
解：m2+2m+1+n2-6n+9=0，
即（m+1）2+（n-3）2=0，
∵（m+1）2≥0，（n-3）2≥0，
∴（m+1）2=0,（n-3）2=0，
∴m+1=0，n-3=0，
∴m=-1，n=3.
利用以上解法，解下列问题：
已知x2+5y2-4xy+2y+1=0，求x和y的值.
15. 在用配方法解一元二次方程4x2-12x-1=0时，李明同学的解题过程如下：解：方程4x2-12x-1=0可化成（2x）2-6×2x-1=0，
移项，得（2x）2-6×2x=1.
配方，得（2x）2-6×2x+9=1+9，
即（2x-3）2=10.
由此可得2x-3=±10.
∴x1=
210
3+
，x2=
210
3-
.
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方. 你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
参考答案
2.2 一元二次方程的解法（第3课时）
【分层训练】
1—5. BADDA
6. （x+23）2=419
7. 363+或3
63- 8. -1 -3 9. x 1=-2，x 2=3 10. （1）x 1=3，x 2=-1. （2）x=3323± （3）x 1=23，x 2=-34. （4）x=2
35± 11. 根据规则，由x ★（x+1）=11，得x （x+1）+x+（x+1）=11，即x 2+3x=10. 配方，得x 2+3x+（2
3）2=10+（23）2，即（x+23）2=449. ∴x+23=±4
49=±27，即x 1=-23+27=2，x 2=-23-27=-5. 12. a=1或a=-
31，当a=1时，方程的另一个解为-1；当a=-3
1时，方程另一个解为-9. 13. A 14. ∵x 2+5y 2
-4xy+2y+1=0，∴（x-2y ）2+（y+1）2=0，∴x-2y=0，y+1=0，x=-2，y=-1.
15. 不同意晓强说法. 当二次项系数不为1时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方.
3.第7课时 一元二次方程及其应用
第二章方程（组）与不等式 第7课时一元二次方程及其应用 (建议时间：分钟) 基础过关 1. (2019山西)一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为() A. (x＋2)2＝3 B. (x＋2)2＝5 C. (x－2)2＝3 D. (x－2)2＝5 2. (2019怀化)一元二次方程x2＋2x＋1＝0的解是() A. x1＝1，x2＝－1 B. x1＝x2＝1 C. x1＝x2＝－1 D. x1＝－1，x2＝2 3. (苏科九上P29习题第3题改编)某农场的粮食产量在两年内从3000 t增加到3630 t，设这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是() A. 3000(1＋x)＝3630 B. 3000(1＋2x)＝3630 C. 3000(1＋x)2＝3630 D. 3000(1＋x)＋3000(1＋x)2＝3630 4. (2019自贡)关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是() A. m<1 B. m≥1 C. m≤1 D. m>1 5. (2019遂宁)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为() A. 0 B. ±1 C. 1 D. －1 6. (2019河南)一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是() A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. (2019新疆)在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为( ) A. 12x (x －1)＝36 B. 12 x (x ＋1)＝36 C. x (x －1)＝36 D. x (x ＋1)＝36 8. (2019哈尔滨)某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为( ) A. 20% B. 40% C. 18% D. 36% 9. 若关于x 的一元二次方程(m －6)x 2－2x ＋3＝0有两个实数根，则整数m 的最大值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. (2019广西北部湾经济区)扬帆中学有一块长30 m ，宽20 m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花.小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为x m ，则可列方程为( ) 第10题图 A. (30－x )(20－x )＝34 ×20×30 B. (30－2x )(20－x )＝14 ×20×30 C. 30x ＋2×20x ＝14 ×20×30 D. (30－2x )(20－x )＝34 ×20×30 11. (2019桂林)一元二次方程(x －3)(x －2)＝0的根是 .
九年级数学专训1一元二次方程的解法归类
2020-2021学年 专训1 一元二次方程的解法归类 名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果． 限定方法解一元二次方程 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x2－25＝0的解为( ) A．x＝B．x＝ C．x＝±D．x＝± 2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( ) A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2 4．解方程：x2＋4x－2＝0. 5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值． 能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解
6．(中考·宁夏)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( ) A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2 7．解下列一元二次方程： (1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1. 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是( ) A．x＝B．x＝ C．x＝D．x＝ 9．用公式法解下列方程． (1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2. 选择合适的方法解一元二次方程 10．方程4x2－49＝0的解为( ) A．x＝B．x＝
(完整word版)初中数学一元二次方程复习专题
一元二次方程专题复习 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则 12b x x a +=-，12c x x a ?= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数； (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根 的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意：（1）222 121212()2x x x x x x +=+-? （2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 12x x -= （3）①方程有两正根，则1212 00x x x x ?≥?? +>???>?； ②方程有两负根，则1212 000x x x x ?≥?? +? ； ③方程有一正一负两根，则12 0x x ?>?? ??? --
九年级数学上册-21.1-一元二次方程(第2课时)教案-(新版)新人教版
21．1 一元二次方程 第二课时 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2．?根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2．?难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 10 8 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，?苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为_______m． 根据题意，得________． 整理，得________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2?中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解．
初中数学一元二次方程知识点总结与练习
知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程； (4)将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a ≠0）； 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是 b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配 方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的 判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x - =+21，a c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题： 1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由. (1)2x 2-x-3=0. (2) 4 y -y 2 =0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21 x -3=0.
九年级数学上册-认识一元二次方程第2课时一元二次方程的根及近似解教案新版北师大版
第2课时一元二次方程的根及近似解 【知识与技能】 会进行简单的一元二次方程的试解. 【过程与方法】 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 【情感态度】 理解方程的解的概念,培养有条理的思考与表达的能力. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 会在简单的实际问题中估算方程的解,理解方程解的实际意义. 一、情境导入,初步认识 学生活动:请同学独立完成下列问题. 问题1:如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm,那么, 根据题意,可得方程为x2+82=102. 整理,得x2-36=0. 列表: 问题2:一个面积为120m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm,则长为（x+2）m. 根据题意,得x（x+2）=120. 整理,得x2+2x-120=0. 列表:
【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解,确定未知数的大致范围. 二、思考探究,获取新知 提问:（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题,问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评:（1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中,x=10是x2+2x-120=0的解. （2）如果抛开实际问题,问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别,我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看:x2-36=0有两个根,一个是6,另一个是-6,但-6不满足题意；同理,问题2中的x=-12的根也不满足题意. 【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 三、运用新知,深化理解 1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把它代入等式,看它是否能使等式两边相等即可. 解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足方程的等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根. 2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值. 分析:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这一点同学们要深刻理解. 3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0（2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析:要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义来求解. 4.x（x-1）=2的两根为（D） A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=-1 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2
初中数学一元二次方程的解法
解一元二次方程: 例1 x 2 -4-(2x+4)=0 （因式分解法）解：（x+2)(x-2)-2(x+2)=0 (x+2)[(x-2)-2]=0 (x+2)(x-4)=0 所以 x 1=-2 ， x 2=4. （配方法）解：x 2 -2x-8=0 X 2-2x=8 X 2 -2x+(-1)2 =8+(-1)2 即(x-1)2=9 X-1=±3 所以 x 1=4 , x 2=-2. （公式法）解：x 2 -2x-8=0 →Δ=(-2)2 -4×1×(-8) =36>0 所以 x 1,2=1 236)2--?±（ 即x 1=4 , x 2=-2. （“x 2 +(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法） 解：x 2-2x+(-4)2?=0 (X-4)(x+2)=0 所以 x 1=4 , x 2=-2. 1
例2 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2 -6x+5=0; (2) 2x 2 +4x-3=0; (3) 9x 2 +6x-1=0; (4) 4x 2-12x+m=0 (m 为任意实数）. 解：(1) x 2-6x=-5 X 2 -6x+(-3)2 =-5+(-3)2 即(x-3)2 =4 X-3=±2 所以 x 1=5 , x 2=1. (2) x 2 +2x=2 3 X 2 +2x+12 =2 3+12 (X+1)2 =2 5 X+1=± 210 所以 x 1=-1+ 2 10 , x 2=-1- 2 10 (3) (3x)2 +2×3x=1 (3x)2 +2×3x ×1+12 =1+12 (3x+1)2=2 3x+1=2± 所以x 1=32 1-+ ,x 2=-3 2 1+ . 2
初中数学 配方法解一元二次方程
配方法解一元二次方程 教学目标 1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 【课前预习】 导学过程 阅读教材部分，完成以下问题 解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 填空： （1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？
思考？ 1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本 4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程 （1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 （4）2x 2+2=5 总结：用配方法解一元二次方程的步骤： 【课堂活动】 活动1、预习反馈 活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程： （1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0
一元二次方程及解法归类
寒假培训八年级下数学资料 一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元 二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做 ________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________. 典型例题： 1. 下列方程是一元二次方程的有___________ (1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2 33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x 2+2x+1=0 B. x 2=1-3x C. +1=0 D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是 ________，常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系 数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3. ; 4. 当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程 (m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。 【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根，则m m -2=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程，则k 的值为________ 【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根是0，则k=_______ 二、直接开平方法 若x 2 =25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5； 若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______ 、 解下列方程：（1）1) 3(2=+x （2）18)54(22=-x 三、配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 化二次项系数为1； ② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
268.九年级新人教版数学上册21.2解一元二次方程(第1课时)-教案
21.2解一元二次方程 第1课时 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空 （1）x 2-8x+______=（x -______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ ）2 ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：x ·2x=8 B C A Q https://www.360docs.net/doc/9a8955873.html, P 2p 2p 12
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程综合一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解. 一、直接开平方法 解形如（≥0）和（≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）把一元二次方程化为（≥0）或（≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; （3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: （1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; （2）对于一元二次方程,当时,方程无解; （3）对于一元二次方程: 当时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当时,一元二次方程有两个相等的实数根; 当时,一元二次方程没有实数根. 例1. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.
解:（1） ∴; （2） ∴. 例2. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解. 解:（1） ∴或 ∴; （2） ∴ ∴或 ∴. 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】（A）（B） （C）（D） 习题2. 若,则_________.
中考数学一元二次方程知识点总结
中考数学一元二次方程知识点总结 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行 整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±?=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 2 2 )(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方 程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：
2020年中考数学一轮复习练习题 第9课时 一元二次方程(含答案)
第9课时 一元二次方程 分) 一、选择题(每题4分，共24分) 1．[2019·滨州]用配方法解一元二次方程x 2－4x ＋1＝0时，下列变形正确的是( ) A ．(x －2)2＝1 B ．(x －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＝3 D ．(x －2)2＝3 2．[2019·盐城]关于x 的一元二次方程x 2＋kx －2＝0(k 为实数)根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．不能确定 3．[2019·兰州]x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0的解，则2a ＋4b ＝( ) A ．－2 B ．－3 C ．4 D ．－6 4．[2019·新疆]若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ≤54 B ．k >54 C ．k <5 4 且k ≠1 D ．k ≤5 4 且k ≠1 5．[2019·达州]某公司今年4月的营业额为2 500万元，按计划第2季度的总营业额要达到9 100万元，设该公司5,6两月的营业额的月平均增长率为x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是( ) A ．2 500(1＋x )2＝9 100 B ．2 500(1＋x %)2＝9 100 C ．2 500(1＋x )＋2 500(1＋x )2＝9 100 D ．2 500＋2 500(1＋x )＋2 500(1＋x )2＝9 100 6．[2019·龙东地区]某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 二、填空题(每题4分，共16分)
中考数学一元二次方程-经典压轴题及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23 ==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可. 试题解析：因式分解，得 2212x x 3-=-（）（） 开平方，得 12x x 3-=-，或12x x 3-=--（） 解得124x x 23 ==-， 2．已知关于x 的一元二次方程()2204 m mx m x -++ =. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解. 【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）134 x +=， 234 x = . 【解析】 【分析】 （1）方程有两个不相等的实数根，>0?，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0； （2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】 （1）由题意得：24b ac ?=- =()2 2404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根. （2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x = ，2x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键. 3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴
影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ? 【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】 根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】 解:设绿化区宽为y ，则由题意得 502302x y -=-. 即10y x =- 列方程: 50304(10)1344x x ?--= 解得13x =- (舍)，213x =. ∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】 本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心． 4．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？ （3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元? 【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元 【解析】 【分析】 （1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解, （3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解. 【详解】 解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱, 设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60), (2)依题意得：
094.北师大版九年级数学上册2.1 第2课时 一元二次方程的解及其估算1-教案
第2课时一元二次方程的解及其估算 1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；(重点) 2．会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．(难点) 一、情景导入 在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程x(x＋2)＝120，你能求出该方程的解吗？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的解 下列哪些数是方程x2－6x＋8＝0的根？ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10. 解析：把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x2－6x＋8＝0中，发现当x＝2和x＝4时，方程x2－6x＋8＝0成立，所以x＝2，x＝4是方程x2－6x＋8＝0的根．解：2，4是方程x2－6x＋8＝0的根． 方法总结：(1)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根． (2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分别代入原方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等，若相等，则这个数是一元二次方程的根；若不相等，则这个数不是一元二次方程的根． 探究点二：估算一元二次方程的近似解 请求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正数根(精确到0.1)． 解析：先列表取值，初步确定正数根x在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出x的近似正数根． 解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，… x 0123… x2－2x－1－1－2－12… 由上表可发现，当2＜x＜3时，－1＜x－2x－1＜2； (2) x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5… x2－2x－1－0.79－0.56－0.31－0.040.25… 由上表可发现，当2.4＜x＜2.5时，－0.04＜x－2x－1＜0.25； (3)取x＝2.45，则x2－2x－1≈0.1025. ∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4. 方法总结：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)分别计
九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解简单的一元二次方程同
2 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 知识点 1 直接开平方法 1．一元二次方程x 2－16＝0的根是( ) A ．x ＝2 B ．x ＝4 C ．x 1＝2，x 2＝－2 D ．x 1＝4，x 2＝－4 2．对于形如(x ＋m )2＝n 的方程，下列说法正确的是( ) A ．可以直接开平方得x ＝－m ±n B ．可以直接开平方得x ＝－n ±m C ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－m ±n D ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－n ±m 3．一元二次方程(x ＋6)2－9＝0的解是( ) A ．x 1＝6，x 2＝－6 B ．x 1＝x 2＝－6 C ．x 1＝－3，x 2＝－9 D ．x 1＝3，x 2＝－9 4．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有实数根，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥－34 B ．m ≥0 C ．m ≥1 D ．m ≥2 5．若一元二次方程(x ＋6)2＝5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x ＋6＝ 5， 则另一个一次方程是________________． 6．用直接开平方法解下列方程： (1)(2x ＋1)2－6＝0；
(2)(x－2)2＋4＝0. 知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程7．用配方法解方程x2＋2x－5＝0时，原方程应变形为( ) A．(x－1)2＝6 B．(x＋1)2＝6 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 8．将x2＋49配成完全平方式，需加上的一次项为( ) A．7x B．14x C．－14x D．±14x 9．若x2－4x＋p＝(x＋q)2，则p，q的值分别是( ) A．p＝4，q＝2 B．p＝4，q＝－2 C．p＝－4，q＝2 D．p＝－4，q＝－2
一元二次方程的解法(消元)
消元一二元一次方程组的解法（四）教案 一、教学目标 1、知识与技能:熟练掌握代入消元法和加减消元法。 2、过程与方法：能根据方程组的特点选择合适的消元方法解方程组。 3、情感态度价值观：通过分析实际问题中的数量关系，建立方程组解决问题，进一步认识方程模型的重要性。 二、教学重难点 重点：能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。 难点：实际问题中的数量关系较复杂是本节课难点。 三、教学过程 （一）复习、引入课题 复习：解二元一次方程有多少种解法？共同点是什么？目的是什么？ 引入：接下来继续深入探讨二元一次方程组的解法。 （二）探索新知 （1）解方程组 引导学生通过消y 与消x ，尝试不同的解法，培养学生发散思维，然后让学生归纳这样类型的二元一次方程组的解法。 小结1：当方程中同一个未知数的系数相等或相反时，用加减消元法较简便。 （2）请选择适当的方法解下列方程组： ① ② ③ 2x-2y=60 (2) 2x+2y=100 (1) 3.2x+2.4y=5.2 2x+y=1.5 4x+8y=12 3x-2y=5 5x-4y=2 2x+3y=10
通过这三个方程组的讨论，归纳出方程系数具有什么特征时选择什么消元法。 小结2：当方程组中有一个未知数的系数是1或-1时，用代入消元法较简便。 小结3：当两个方程中同一个未知数的系数成整倍数时，用加减消元法较简便。 小结4：当方程组中任何未知数的系数不是1或-1，是不成整倍数时，一般经过变形后利用加减消元法较简便。 老师小结：解二元一次方程组不管采用哪种方法，都可以获得它的解，但根据题目形式的特点，选择恰当的方法可以减少走弯路，加快解题速度，使解题过程简洁，提高正确率。 （三）实际应用 例（教材104页）：2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？ 通过分步提问，引导学生分析 问题1：列方程组解应用题的关键是什么？ 问题2：你能找出本题的等量关系吗？ 问题3：怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢 设：如果1台大收割机1小时收割小麦X公顷，1台小收割机1小时收割小麦Y公顷。 那么2台大收割机2小时收割小麦（）公顷，5台小收割机2小时收割小麦（）公顷。 根据“2台大收割机2小时的工作量+5台小收割机2小时的工作量=3.6公顷”可列方程： 4x+10y=3.6
最新中考数学一元二次方程试题及答案
中考数学一元二次方程试题 一、选择题 1、一元二次方程2 210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2、若关于z 的一元二次方程02. 2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m
(完整版)初中数学一元二次方程单元试题及答案
一元二次方程单元测试题 一、选择题（共30分） 1、若关于x 的方程（a －1）x 21a +＝1是一元二次方程，则a 的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、 ±1 D 、1 2、下列方程: ①x 2=0, ② 21 x -2=0, ③22x +3x=(1+2x)(2+x), ④32x =0,⑤3 2x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、把方程（））+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A 、5x 2-4x-4=0 B 、x 2-5=0 C 、5x 2-2x+1=0 D 、5x 2-4x+6=0 4、方程x 2=6x 的根是( ) A 、x 1=0,x 2=-6 B 、x 1=0,x 2=6 C 、x=6 D 、x=0 5、不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A 、-x 2=2x-1 B 、4x 2+4x+54 =0 C 20x -= D 、(x+2)(x-3)==-5 6、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A 、200(1+x)2=1000 B 、200+200×2x=1000 C 、200+200×3x=1000 D、200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 7、关于x 的二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、0.5 8、关于x 的方程x 2+2(k+2)x+k 2=0的两实根之和大于-4,则k 的取值范围是( ) A 、k>-1 B 、k<0 C 、-1