广东省东莞市2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题Word版含答案.doc

2015-2016学年度第二学期期末教学质量检查

高一数学（A ）

考生注意：本卷共三大题，22小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器. 参考公式：1. 方差的计算公式：])()()[(1

222212

x x x x x x n

S n -++-+-=

； 2.用最小二乘法求线性回归方程a x b y

???+=的系数公式： ()()

()∑∑∑∑====-??-=

---=n i i n

i i

i n

i i n

i i i

x

n x y

x n y

x x x y y x x

b

1

2

2

1

1

2

1

?，x b y a

??-=. 第Ⅰ卷 选择题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题各有四个选择支，仅有一个

选择支正确. 请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）

1．掷一枚均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次出现正面向上的概率是（ ）

A.

10001 B ．9991 C. 21 D ．1000

999

2．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动6

5π

弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )

A.????－12，32

B.????－32，－12

C.????－12，－32

D.????－32，12

3. 已知向量,的夹角为60

，且1==||||，则||b a +等于（ ） A ．3

B C ．2 D ．1

4. 总体由编号为01,02，…，39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )

5．已知2弧度的圆心角所对的弧长为4，那么这个圆心角所对的弦长是( )

A ．12sin B

．12cos C. 14sin

D ．14cos

数据

5 10 15 20

6．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据， 可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ） A.512.，512. B. 513.，13 C. 513.，512. D. 13，13

7. 设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+（ ）

A ． AD B. ED C. BE D. BC

8. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）

A ．0

B ．

2

3

C ．3

D ．3504 9．变量X 与Y 相对应的一组数据为(1，3)，(2，5.3)，(3，6.9)， (4，9.1)，(5，10.8)；变量U 与V 相对应的一组数据为(1，12.7)， (2，10.2)，(3，7)，(4，3.6)，(5，1). r 1表示变量Y 与X 之间的线 性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )

A.r 2＜r 1＜0

B.0＜r 2＜r 1

C.r 2＜0＜r 1

D.r 2＝r 1

10．已知向量)sin ,(sin ),cos ,(sin αααα==b a ，若b a ⊥，则)sin(4

2π

α-

等于( )

A ．22-

B ．21- C. 21 D. 2

2

11．函数x x x f )cos (

)(+=2

1

在],[44-的图像大致为（ ）

A B

12．函数)|)(|sin()(2

2π

??<

+=x x f 的图象向左平移π

6个单位后所得函数图象的解析式是

偶函数，且存在],

[2

0π

∈x ，使得不等式m x f ≤)(成立，则m 的最小值是( )

A ．1-

B ．－12 C.1

2

D.1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置

上．）

13．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为

75，若向圆内投镖，如果某人每次都 投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为 ．

14. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始数据记录如下：

甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39

乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39 这个赛季中发挥更稳定的运动员是 （填甲或乙）． 15．若),(,tan tan 4

0251π

ααα∈=+

，则)cos(42πα-的值为________．

16．给出一个如图所示的程序框图，若要使输出的y 值是输入的x 值 的2倍，则这样的x 值是________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解

答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．） 17.（本小题满分10分）

第13题图

已知向量),(),,(1134-==. （Ⅰ）求与的夹角的余弦值；

（Ⅱ）若向量43+与-λ平行，求实数λ的值.

18．（本小题满分10分）

为了解某地房价环比（所谓环比,简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，下表记录了某年1月到5月的月份x （单位：月）与当月上涨的百比率y 之间的关系：

（Ⅰ）根据上表提供的数据，求y 关于x 的线性回归方程a x b

y += ? （Ⅱ）预测该地6月份上涨的百分率是多少？

19. （本小题满分12分）

从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩， 绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在 区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之 比为4:2:1．

（Ⅰ）求这些分数落在区间[]65,55内的频率； （Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取 一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，

从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[]75,55内的概率．

20．（本小题满分12分）

已知函数),(,,),sin()(2

002π

??∈>∈+=A R x x A x f ，且34

12==)()(

π

πf f

（Ⅰ）求A ，?的值； （Ⅱ）若??

?

???∈=245600ππ,,)(x x f ，求0sin(2)12x π-的值．

21．（本小题满分12分）

已知函数x x x f ωω2322cos sin )(+=，)20(<<ω，且)()(2

6

π

π

+

=-x f x f ．

（Ⅰ）试求ω的值；

（Ⅱ）讨论函数kx x f x g ---=|3)(|2)()(R k ∈在]18

7,0[π

∈x 上零点的个数．

22．（本小题满分12分）

如图，正方形ABCD 的边长为1，E ，F 分别为BC ，CD 上异于端点的点，△ECF 的周长为2，∠BAE =α,∠DAF =β.

(Ⅰ)当E 为BC 中点时，求)tan(

βα+的值； （Ⅱ）求AF AE ?的最小值.

B

C

E

2015—2016学年度第二学期教学质量检查

高一数学（A) 参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

二、填空题（本大题共

4小题，每小题5分，共20分．）

13．

24

5

14. 乙15.

10

2

7

16．1

-

三、解答题（本大题共6小题，共70分.）

17解：（Ⅰ）设a与b的夹角为θ，则cosθ==……3分所以与……4分

（Ⅱ）(4,3),(1,1)

a b

==-

34(12,9)(4,4)(16,5)

a b

∴+=+-=

……5分

(4,3)(1,1)(41,31)

a b

λλλλλ

-=--=-+

……6分

向量b

a4

3+与b

a-

λ平行16(31)5(41)

λλ

∴+=-……8分

解得

3

4

λ

∴=-……9分

故所求λ的值

3

4

-……10分

18解：（Ⅰ）3

5

5

4

3

2

1

=

+

+

+

+

=

x……1分

0.10.20.30.30.1

0.2

5

y-++++

==……2分

55

5

4

3

2

12

2

2

2

2=

+

+

+

+，……3分

10.120.230.340.350.1 3.1

?+?+?+?+?=……4分（列式、结果各1分）

所以

5

1

52

2

2

1

5

3.1530.2

?0.01

5553

5

i i

i

i

i

x y x y

b

x x

=

=

-?

-??

====

-?

-

∑

∑

……6分（列式、结果各1分）

??0.20.0130.17a

y bx =-=-?= ……7分（列式、结果各1分） ∴回归直线方程为0.010.17y x ∧

=+ ……8分

（Ⅱ）当6=x 时，0.0160.170.23y ∧=?+= ……10分 预测该地6月份上涨的百分率是0.23 ……12分

19.解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，

则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.03010421x x x +++?+++=，……………3分 解得0.05x =．所以区间[]65,55内的频率为0.2．………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的频率依次为0.3，0.2，0.1．

用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，

则在区间[)45,55内应抽取0.3

630.30.20.1?

=++件，记为1A ，2A ，3A ．

在区间[)55,65内应抽取0.2

620.30.20.1

?

=++件，记为1B ，2B ． 在区间[)65,75内应抽取0.1

610.30.20.1

?

=++件，记为C ．…………………6分 设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[]75,55内”为事件M ，

则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}1,A C ，{}23,A A ，

{}21,A B ，{}22,A B ，{}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ，{}12,B B ，{}1,B C ，

{}2,B C ，共15种．…………………………………………………………………8分

事件M 包含的基本事件有：{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共3种．…………10分 所以这2件产品都在区间[]75,55内的概率为5

1

153=．……12分

20. 解：（Ⅰ）∵34

12==)()(

π

πf f

∴ ???

????=+=+3)2sin(3)6

sin(?π?πA A ………………………………………1分

∴)2

sin(

)6

sin(

?π

?π

+=+ ………………………………………2分

∵ )2

,0(π

?∈

∴ π?π

?π

=+++)2

(

)6

(

6

π

?=

∴ ………………………………………3分

∴33

12

==π

π

sin

)(A f ，

2=∴A …………………………………5分

6

2π

?=

=∴,A ……………………………6分 （

Ⅱ

）

5

6

6

2200=

+

=)sin()(π

x x f ，

53

620=

+

∴)sin(π

x …………………………………7分

240ππ≤≤x ，6

762320π

ππ≤+≤∴x (8)

分

5

4

62

0-=+∴)c o s (π

x ……………………………9分

10

2

74

6

212

200=

-

+

=-

])sin[()sin(π

π

π

x x ………………………………12分 21.解：（Ⅰ）x x x f ωω2322cos sin )(+=

)12(cos 32sin ++=x x ωω …………………………………

……1分

3)2cos 2

3

2sin 21(2++=x x ωω

33

22++

=)sin(π

ωx (2)

分

∴函数)(x f y =的最小正周期为ω

πωπ==

22T 由)()(2

6

π

π

+

=-

x f x f 得)()(x f x f =+

3

2π

所以函数)(x f y =的周期3

2π

=?T k ，*N k ∈ ……………………………3分

32πωπ=∴k ，得k 2

3=ω ………………………………………4分 ∵ 20<<ω，*N k ∈

∴ 2

3

=

ω ………………………………………5分 （Ⅱ）kx x kx x f x g -+

-=---=)3

3sin(22|3)(|2)(π

设|)3

3sin(2|)(π

+

=x x h ，则函数)(x g y =在],

[18

70π

∈x 上零点的个数等价于函数)

(x h y =与

kx

y -=2两

个

图

形

在

],[18

70π

∈x 上交点个

数 ………………………………………6分

画出

(x h y =最高点18(

π

A 当直线y =2当0

9

0<

9

=k 当π

9

>

k ，所以：当k ，)(x g y =在],

[18

70π

∈x 上有一零点；

当π9

0或

=k ，)(x g y =在],

[1870π

∈x 上有两零点；

当π90<

70π

∈x 上有三零点。 (12)

分

22.解：

(Ⅰ) ∵E 为BC 中点

∴2

1=

CE 在ECF Rt ?中，设t CF = 则 2

2

)2

1(+=t EF ∵△ECF 的周长为2 ∴

2)2

1

(2122=+++t t 解得32=t ，即3

2

=CF …………………………………… 1分

在ABE Rt ?中，1=AB ，2

1

=BE ，∠BAE =α ∴ 2

1tan =

α， 在ADF Rt ?中，1=AD ，3

1

=DF ，∠DAF =β ∴ 3

1

tan =β …………………………………… 2分

∴ 13

1

2113121tan tan 1tan tan )tan(=?-+

=

-+=+βαβαβα …………………………………… 3分

（Ⅱ）在ABE Rt ?中，1=AB ，∠BAE =α

∴)1,0(tan ∈=αBE ，α

cos 1

=

AE

B

C

E

在ADF Rt ?中，1=AD ，∠DAF =β ∴)1,0(tan ∈=βDF ，β

cos 1

=

AF ………………………… 4分 ∴在ECF Rt ?中，αtan 1-=CE ，βtan 1-=CF 22)t a n 1()t a n 1(βα-+-=

EF

∵△ECF 的周长为2

∴

2)tan 1()tan 1(tan 1tan 122=-+-+-+-βαβα……………………………… 5分

化简得 βαβαtan tan 1tan tan -=+

∴ 1tan tan 1tan tan )tan(

=-+=+β

αβ

αβα ……………………………

6分

又∵ 2

0π

βα<+<

∴ 4

π

βα=+ ……………………………

7分

∴ 4

)(2

π

βαπ

=

+-=∠EAF

4

c o s c o s 1c o s 1c o s π

βα??=

∠=?E A F ………………………… 8分 1

)4

2sin(22)4

cos(cos 22

++

=

-=

π

ααπ

α ………………………

10分

∵ 4

0π

α<<

∴ 4

34

24

π

π

απ

<

+

< …………………… 11分

∴ 当 2

4

2π

π

α=

+

，即8

π

α=

时，)4

2sin(π

α+取得最大值1，

即

AF

AE ?取

得

最

小

值

)12(21

22

-=+ ……………………………… 12分