高中数学人教a版必修1学案1.1.1 集合的含义与表示(一)

第一章集合与函数概念

§1.1集合

1.1.1 集合的含义与表示（一）

1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力．

2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性．

1．元素与集合的概念

(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示．

(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示．

2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．

3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的．

4．元素与集合的关系

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.

5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．

对点讲练

集合的概念

【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：

(1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学；

(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．

解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，

因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．

规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．

变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是()

A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数

答案 D

集合中元素的特性

【例2】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.

分析考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．

解∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

∴a＝－1或a＝－3

2.则当a＝－1时，a－2＝－3,2a

2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．

当a＝－3

2时，a－2＝－7

2

，2a2＋5a＝－3，

∴a＝－3

2.

规律方法对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．

变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．

解∵2∈A，∴m＝2或m2－3m＋2＝2.

若m＝2，则m2－3m＋2＝0，

不符合集合中元素的互异性，舍去．

若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.

m＝0不合题意，舍去．经验证m＝3符合题意，

∴m只能取3.

元素与集合的关系

【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．

分析解答本题首先要理解∈与D/∈的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A中的元素．

解因为在3a＋2b(a∈Z，b∈Z)中，

令a＝2，b＝－2，

即可得到6－22，

所以6－22是集合A中的元素．

规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．

变式迁移3 集合A是由形如m＋3n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，判断1

2－3

是不是集合A中的元素．

解∵1

2－3

＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z，

∴2＋3∈A，即1

2－3

∈A.

1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．

2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．

3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．

课时作业

一、选择题

1．下列几组对象可以构成集合的是()

A．充分接近π的实数的全体B．善良的人

C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人

答案 D

2．下列四个说法中正确的个数是()

①集合N中最小数为1；②若a∈N，则－a?N；

③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．

A．0 B． 1 C．2 D．3

答案 A

3．由a2 ，2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是() A．1 B．－2 C．6 D．2

答案 C

解析验证，看每个选项是否符合元素的互异性．

4．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

答案 D

解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．

5．已知x、y、z为非零实数，代数式x

|x|＋y

|y|＋

z

|z|＋

|xyz|

xyz的值所组成的集合是M，则下列

判断正确的是()

A．0?M B．2∈M C．－4?M D．4∈M

答案 D

解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，∴4∈M.

二、填空题

6．用“∈”或“?”填空

(1)－3______N；(2)3.14______Q；(3)1

3______Z；(4)－

1

2______R；(5)1______N

*；

(6)0________N.

答案(1)?(2)∈(3)?(4)∈(5)∈(6)∈

7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1?A，x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．

答案 1

解析当x＝1时，x－1＝0?A，x＋1＝2∈A；

当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；

当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4?A；

当x＝5时，x－1＝4?A，x＋1＝6?A；

综上可知，A中只有一个孤立元素5.

8．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．

①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；

④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．

答案①④⑤

三、解答题

9．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.

解当3x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，

则x＝－2或x＝1.

经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．

当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.

经检验，x＝－3或x＝2均合题意．

∴x＝－3或x＝2.

10．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；

当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；

当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.

由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．

【探究驿站】

11．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a

∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；

(2)集合A 不可能是单元素集．

证明 (1)若a ∈A ，则11－a

∈A . 又∵2∈A ，∴

11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12

∈A . ∵12∈A ，∴11－12

＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12

. (2)若A 为单元素集，则a ＝11－a

， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．

∴a ≠

11－a

，∴A 不可能为单元素集．