不等式第10课时
第10课时基本不等式的证明(1)
学习要求
1.理解算术平均数与几何平均数的定义及
它们的关系.
2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会
用多种方法证明基本不等式.
3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不
等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个
数相等.
【课堂互动】
自学评价
１．算术平均数：
见书
２．几何平均数
见书
３．设a≥0,b≥0则
2
a b
+
与
为≥
４．基本不等式的证明方法：比较法
分析法，综合法．
【精典范例】
例1．.设a、b为正数, 求证明：
2
a b
+
3
见书（共有三个方法）．
点评：
１．不等式证明的方法：(1)作差比较法
(2)分析法(3)综合法
２．本题对a≥0,b≥０时仍成立，且题中
等号当且仅当a=b时成立．
３．把不等式
2
a b
+
3(a≥0,b≥0)
称为基本不等式
4.由本题可知，两正数的算术平均数不
小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相
等
5.基本不等式的几何解释：半径不小于
半弦．
例2. 利用基本不等式证明下列不等式：
(1)已知a>0,求证a+
1
2
a
3
(2).已知a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥
ab+bc+ac .
(3).已知x , y , z是互不相等的正数, 且
x+y+z=1 , 求证: (
111
1)(1)(1)8
x y z
--->
听课随笔
证明：因为题目简单，证略．
点评：1..基本不等式的变形公式： (1) 2
2
2(,)a b ab a b
R +澄
(2) 22
(,)2
a b ab a b R +Ｎ
(3)
,)a b a b R ++澄 (4) 2
(
)(,)2
a b ab a b R ++Ｎ
2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．
３．注意严格不等式的证明方法．
思维点拔：
1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会
不等式证明的基本方法．
２．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若
a i ≥0(i=1,2,…,n),
则
12n
a a a n
++鬃?(n>1,n ?
N)
追踪训练
１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．
（１）２与８ 答案：５，４ （２）３与１２ 答案：７.５，6 （３）Ｐ与９Ｐ 答案：５p ，3p （４）２与２2
p 答案：p 2+1，2p ２．已知a>1求证a+1
1
a -≥3
略证．
３．已知a+b+c=1,求证a 2+b 2+c 2≥
13
提示：只要证3(a 2+b 2+c 2）≥1即可．
４．已知 a , b , c 不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证:
c b a c
b a ++>++1
11 注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立．
听课随笔
【师生互动】