【天津市2014届高三寒假作业(10)数学 ]

【KS5U 首发】天津市2013-2014学年高三寒假作业（10）数学 Word 版含答案.doc

第I 卷（选择题）

一、选择题（题型注释）

1.复数

512i

i

-=( ) A.2i - B.12i - C.2i -+ D.12i -+

2.设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5},B={2,5},则A ∩(C U B)等于（ ） A.{2} B.{2,3} C.{3} D.{1,3}

3.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为

(A)1202

cm (B)802

cm (C)1002

cm (D)602

cm

4.世界华商大会的某分会场有A ，B ，C 三个展台，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲，乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有

(A)12种 (B)10种 (C)8种 (D)6种

5.已知m ，n 是两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是 (A) //,////m n m n αα若则 (B),,m n m n αα⊥⊥⊥若则

(C),//,m n m n αα⊥⊥若则

(D)若m 与α相交，n 与α相交，则m,n 一定不相交

6.已知圆()()22

1:231C x y -+-=,圆()()2

2

2:349C x y -+-=,,M N 分

别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）

A ． 4-

B ．

1-

C ．

6-

D ．

7.已如点M （1，0）及双曲线的右支上两动点A ，B ，当∠AMB 最大时，它的

余弦值为（ ） ﹣

8.对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *2

221, ,

, .a ab a b b b ab a b ?-+-≤?=?->??

设

()()21f x x =-*()1x -，

且关于x 的方程为()()f x m m =∈R 恰有三个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，则321x x x ??的取值范围是 A ．1,032??-

??? B ．1,016??- ??? C ．10,32??

???

D ．10,16?? ???

第II 卷（非选择题）

二、填空题（题型注释）

9.若动直线)(R a a x ∈=与函数()sin()()cos()6

6

f x x

g x x π

π

=

+

=+

与的图象分别交

于N M ,两点，则||MN

的最大值为

▲ ．

10.各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，且 2(2)n S n =≥，若

11

n n

n n n a a b a a ++=

+

，且数列{}n b 的前n 项的和为n T ，则n T = ▲ ．

11.若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ,且11(=f x x ）则关于x 的方程

213())

2(

)0

f x a f x b ++=（的不同实根个数是 ▲ ．

12.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (x y α

αα

=???

=??为参数)．在极坐标系（与

直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线2C 的方程为(cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为 ；

13.若命题“2,20x R x x m ?∈-+≤”是假命题，则m 的取值范围是________ _ ；

14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)A ，(0,1)B ，点C 在第一象限内，6

AOC π

∠=，

且2OC =，若OC OA OB λμ=+，则λ+μ的值是

． 三、解答题（题型注释）

15.（本小题满分12分） 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．

16.（本题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD//FE ，∠AFE=60o，且平面ABCD⊥平面ADEF ，AF=FE=AB=1

2

AD =2，点G 为AC 的中点． （Ⅰ）求证：EG//平面ABF ； （Ⅱ）求三棱锥B-AEG 的体积；

（Ⅲ）试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

17.（本题满分12分）据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查（若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”），就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：

0.05．

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（Ⅱ）已知y ≥657，z ≥55，求本次调查“失效”的概率．

18.（本题14分） 已知函数

3

21()(,)3

f x x ax bx a b R =+-∈，若()y f x =图

象上的点11

(1,)3

-处的切线斜率为4-，求()y f x =在区间[]3,6-上的最值．

19.已知函数2()(1)||f x x x x a =+--． ⑴若1a =-，解方程()1f x =；

⑵若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；

⑶是否存在实数a ，使不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．

20.如图，相距200海里的A 、B 两地分别有救援A 船和B 船．在接到求救信息后，A 船能立即出发，B 船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A 船早于B 船到达的区域称为A 区，否则称为B 区．若在A 地北偏东45?

方向，距A 地M 点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移． ⑴求A 区与B 区边界线（即A 、B 两船能同时到达的点的轨迹）方程； ⑵问：

①应派哪艘船前往救援？

②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到0.1小时）

试卷答案

1.C

2.D

3.C

4.D

5.C

6.A

7.D

8.A

9.2

10.24621

n n n ++

11.3 12.2 13.m>1

1

15.

（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n =

=?，2

0.0045010

y ==?，

0.10.0040.0100.0160.040.030x =----=． ················· 3分

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)有5人，分数在[90,100)有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数ξ的可能取值为1,2,3，则

12523751(1)357C C P C ξ====，21523

7204(2)357C C P C ξ====，3

537102

(3)357

C P C ξ====． 所以，ξ的分布列为

所以，14215

1237777

E ξ=?+?+?=．

12分

16.

（I ）证明：取AB 中点M ，连FM ，GM ． ∵ G 为对角线AC 的中点， ∴ GM ∥AD ，且GM=1

2 AD ，

又∵ FE ∥1

2 AD ，

∴ GM ∥FE 且GM=FE ．

∴四边形GMFE 为平行四边形，即EG ∥FM ． 又∵ EG ?平面ABF ，FM ?平面ABF ，

∴ EG ∥平面ABF ．…………………………………………………………… 4分 （Ⅱ）解：作EN ⊥AD ，垂足为N ，

由平面ABCD ⊥平面AFED ，面ABCD ∩面AFED=AD ， 得EN ⊥平面ABCD ，即EN 为三棱锥E-ABG 的高． ∵ 在△AEF 中，AF=FE ，∠AFE=60o， ∴ △AEF 是正三角形． ∴ ∠AEF=60o， 由EF//AD 知∠EAD=60o， ∴ EN=AE ?sin60o ∴ 三棱锥B-AEG 的体积为

11122332B AEG E ABG ABG V V S EN --?==?=???．……………………8分

（Ⅲ）解：平面BAE ⊥平面DCE ．证明如下： ∵ 四边形ABCD 为矩形，且平面ABCD ⊥平面AFED ，

∴ CD ⊥平面AFED ， ∴ CD ⊥AE ．

∵ 四边形AFED 为梯形，FE ∥AD ，且60AFE ∠=°， ∴ =120FAD ∠°．

又在△AED 中，EA=2，AD=4，60EAD ∠=°，

由余弦定理，得ED=． ∴ EA 2

+ED 2

=AD 2

， ∴ ED ⊥AE ． 又∵ ED ∩CD=D ， ∴ AE ⊥平面DCE ， 又AE ?面BAE ，

∴ 平面BAE ⊥平面DCE ． …………………………………………………12分 17.

（I ）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05， ∴

3600

120x

+=0.05，解得x=60． ………………………………………………2分 ∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． ……… 4分 ∴ 应在“无所谓”态度抽取720×360

3600 =72人． ………………………… 6分

（Ⅱ）∵ y+z=720，y≥657，z ≥55，故满足条件的(y ，z)有：

(657，63)，(658，62)，(659，61)，(660，60)，(661，59)，(662，58)，(663，57)，(664，56)，(665，55)共9种． …………………………… 8分 记本次调查“失效”为事件A ，

若调查失效，则2100+120+y<3600×0.8，解得y<660． ∴ 事件A 包含：(657，63)，(658，62)，(659，61)共3种．

∴ P(A)= 39 =1

3 ． …………………………………………………………… 12分

18.

2()2,(1)4f x x ax b f ''=+-=- ∴124a b +-=- ①

又11(1,)3-

在()f x 图象上,∴111

33

a b +-=- 即40a b -+= ②

由①②解得1

3

a b =-??=?，

∴3

221()3,()23(3)(1)3

f x x x x f x x x x x '=

--=--=-+ ∴2()230f x x x '=--= 解得1x =-或3．

∴5

()(1),()(3)93

f x f f x f =-=

==-极大极小． 又(3)9,(6)18,f f -=-=

∴()(6)18,()(3)(3)9f x f f x f f ====-=-最大最小

19.解：（1）当1a =-时，2()(1)|1|f x x x x =+-+, 故有,

221,1

()1,

1x x f x x ?-≥-=?

<-?, …………………2分 当1x ≥-时，由()1f x =，有2

211x -=，解得1x =或1x =-…………………3分

当1x <-时，()1f x =恒成立 …………………4分 ∴ 方程的解集为{|11}x x x ≤-=或 …………………5分

（2）22(1),()(1),x a x a x a

f x a x a x a ?-++≥=?+-

, …………………7分

若()f x 在R 上单调递增，则有

14

10

a a a +?≤?

??+>?， 解得，13a ≥ …………………9分 ∴ 当1

3

a ≥

时，()f x 在R 上单调递增 ……………10分 （3）设()()(23)g x f x x =--

则22(3)3,()(1)3,

x a x a x a

g x a x a x a ?-+++≥=?--+

不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，等价于不等式()0g x ≥对一切实数

x R ∈恒成立．

①若1a >，则10a -<，即

201a <-，取021x a

=-，此时0(,)x a ∈-∞ 022

()()(1)31011g x g a a a a a

==-?-+=-<--，

即对任意的1a >，总能找到02

1x a

=

-，使得0()0g x <， ∴不存在1a >，使得()0g x ≥恒成立． …………………12分

②若1a =，2244,1

()2,

1x x x g x x ?-+≥=?

所以()0g x ≥恒成立． …………………13分 ③若1a <，

当(,)x a ∈-∞时，()g x 单调递减，其值域为2(23,)a a -++∞， 由于2223(1)22a a a -+=-+≥，所以()0g x ≥成立． 当[,)x a ∈+∞时，由1a <，知34a a +<

， ()g x 在3

4

a x +=处取最小值， 令2

3(3)()3048

a a g a ++=+-≥，得35a -≤≤，又1a <，所以31a -≤<……15分 综上，[3,1]a ∈-. …………………16分 略

20.解：⑴设点P 为边界线上的点，由题意知

23030

PA PB

=+，即60PA PB -=， 即动点P 到两定点A 、B 的距离之差为常数，

∴点P 的轨迹是双曲线中的一支。 ……… …………… 3分

由2200,260c a ==得30a =，222

100309100b =-=

∴方程为

22

19009100

x y -=（0x >） ………………… 6分 ⑵①M 点的坐标为(50,150)M ，A 点的坐标为(100,0)A -，B 点的坐标为(100,0)B ，∴

212.1MA =≈，158.1MB =≈，

212.1158.15460MA MB -=≈-=<，∴点M 在A 区，又遇险船向正北方向漂移，，即遇险船始终在A 区内，∴应派A 船前往救援 …………………8分

②设经t 小时后，A 救援船在点N 处与遇险船相遇。在AMN ?中，AM =，

10,30,135MN t AN t AMN ==∠=? ………………… 9分

∴222(30)(10)210t t t =+-??? 整理得24152250t t --=，

解得9.606t =

≈或t =

（舍） ………………… 13分 ∴A 救援船需9.6小时后才能与遇险船相遇． …………………14分