小学数学教学中的名词解释(整数加减法)

小学数学教学中的名词解释（整数加减法）

[加法]

由于自然数的理论有基数理论与序数理论两种，所以从理论上讲，加法的定义也有两种形式．

（1）根据序数理论，在自然数列中的数a之后再数出b个数来，如数得的最后一个数恰好对应于自然数列中的数c，那么数c叫做a与b的和，记作

a＋b＝c．

其中a与b叫做加数，符号“＋”叫做加号，读作“加”．求两个数的和的运算叫做加法．

当加数为0时，则补充定义：

a＋0＝a，0＋a＝a，0+0＝0．

（2）根据基数理论，设A与B是两个没有公共元素的有限集合，它们的基数分别是a 和b，那么集合A和B的并集C的基数c，叫做a与b的和，记作

a+b=c．

a，b都叫做加数，求两个加数的和的运算叫做加法．

在小学数学里一般把加法定义为“把两个数合并成一个数的运算”，这样容易为小学生所接受．

显然，“加”是运算的方法，“和”是加法运算的结果．由加法定义可知：在非负整数的集合里，任意两个整数都能相加，而且和是唯一的．

加法意义的教学，从“10以内数的认识”就开始了，但给出定义则是在教学“多位数加法”时．在给出定义之前要通过实物、图形等演示，说明把两个数合并起来用加法计算．然后，通过解答加法应用题，使学生熟悉“添上”，“合并”，“增加”等术语．在此基础上，通过应用题引出加法的定义，从而进一步认识加法．（见[加减法的关系]）

在教学加法算式各部分的名称时，要使学生弄清楚哪几个数是加数，哪个数是和，是哪几个数的和，并注意在练习中经常运用这些术语，学会用各种方法来表述一个加法算式．例如，3+ 2＝？可以表述为：（1）3加2是多少？（2）3与2相加，和是多少？（3）求3

与2的和．（4）一个加数是3，另一个加数是2，和是多少？（5）比3多2的数是几？

[加数]见[加法]

[和]见[加法]

[减法]

设a，b是两个非负整数，如果存在一个非负整数c，能够使b+c=a，那么c叫做a与b 的差，记作

a-b=c．

a叫做被减数，b叫做减数，符号“- ”叫做减号，读作“减”．求两个数的差的运算，叫做减法．

从定义可知，减法是加法的逆运算．

根据减法的定义可知：a-a=0，a－0=a．

在小学数学里，一般把减法定义为“已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算”．

减法也可以采用如下的定义：

（1）从自然数列中数a的前一个数开始，倒着数出b个数来，如数得的最后一个数恰好对应于自然数列中的数c，那么数c叫做a与b的差，求差的运算叫做减法．

（2）设A是有限集合，B是A的子集，它们的基数分别是a和b，那么集合A和B的差集的基数c，叫做a与6的差，求差的运算叫做减法．

在非负整数集合里，任意两个整数的差不一定存在，也就是说，在非负整数集合里，减法运算不是总能施行的．但如果两个数的差存在，那么它是唯一的．

减法意义的教学，也是从“10以内数的认识”开始，到教学“多位数减法”时再给出定义．在给出定义之前，要通过实物等演示，说明从一个数中拿去一部分，求剩下多少用减法计算．然后通过解答减法应用题等，使学生熟悉“拿去”、“去掉”、“还剩”、“减少”等术语．在此基础上，通过一道加法应用题和相应的两道减法应用题，概括出减法的定义，从而进一步认识减法．（见[加减法的关系]）

教学减法算式各部分的名称时，要使学生分清被减数、减数、差（是哪两个数的差），并进一步弄清被减数、减数、差与加数、和的关系．对一个减法算式，要使学生熟悉各种表述方式．如5-3＝？可以表述为：（1）5减3是多少？（2）5与3相差多少？（3）被减数是5，减数是3，差是多少？（4）两个加数的和是5，其中一个加数是3，另一个加数是多少？（5）5比3多多少？3比5少多少？（6）比5少3的数是几？

[被减数]见[减法]

[减数]见[减法]

[减号]见[减法]

[加减法的关系]

减法是加法的逆运算．根据这样的关系，可以对加、减法计算的结果进行验算和求加、减法算式中的未知数．

学生从10以内的加、减法起，通过看图列出加法和相应的减法算式，把一道加法算式改写成两道减法算式，利用加法做20以内的退位减法，以及用加法验算减法等，已逐渐积累了对加减法意义和它们相互关系的感性认识．为此，到教学加减法的关系时，主要是进行概括．

（1）在学生已有的基础上，通过分析加法应用题和把加法应用题改编成减法应用题，使学生看到用加法解的问题都是把两个数合并成一个数，而用减法解的问题都是已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数，从而概括出加、减法的意义．

（2）根据加、减法的意义，通过分析一个加法算式和相应的两个减法算式之间的关系，概括出加法算式中的和就是减法算式中的被减数，两个加数分别是减法算式中的差与减数，从而说明减法是加法的逆运算．但要注意的是不能由此推出加法也是减法的逆运算或把加减法的关系说成是互为逆运算的关系．

练习时，可以让学生根据已知的加法算式，直接说出相应的两个减法算式的差，也可以把一个加法算式（或应用题），改写（或改编）成两个减法算式（或应用题），或把减法题改成一道加法题和一道减法题，还可以解答像下面这样叙述的应用题，以加深理解。

①书架上有许多书，再放上20本，就刚好是100本，原来书架上有多少本书？

②车场里开出18辆车后，还剩下8辆，车场里原来有多少辆车？

（3）根据加减法的关系，得出加法或减法算式中各个数之间的下列关系：

一个加数=和-另一个加数，

被减数=差+减数，

减数=被减数-差．

从而让学生掌握求加减法算式中的未知数的方法．例如，x＋21＝38是已知两个加数的和与其中的一个加数，要求另一个加数，所以未知数等于和减去一个加数，即x＝38-21，

得x＝17．做这类练习时，要注意指导学生按正确的格式进行书写，不能连等，求出未知数的值后还应进行验算．学生对于求减数最易产生错误，教学中要多作练习．

[加法的运算定律]

加法的运算定律有：

（1）加法交换律．两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变．即

a＋b＝b＋a

（2）加法结合律．三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变．即

（a＋b）+c＝a＋（b＋c）．

加法交换律和结合律的推广：几个数相加，任意交换加数的位置，或者先把其中几个数结合成一组相加，它们的和不变．例如：

3＋8＋7＋5＋2＝（3＋7）＋（8＋2）＋5．

加法交换律和结合律，是多位数加法运算的基础．例如：

324＋572＝（300＋20＋4）＋（500＋70＋2）

=（300＋500）＋（20＋70）＋（4＋2）

（加法交换律和结合律的推广）

=800+90+6

＝896．

写成竖式为：

应用加法交换律和结合律，可以使有些计算简便．例如：

169+ 73+31＋27

＝（169＋31）＋（73＋27）（加法交换律和结合律的推广）

=200+100

=300．

对于加法交换律，学生在学习10以内数的加法时，就已有感性认识，例如4＋2＝2＋4；以后又知道，要检查加法算得对不对，可以调换加数的位置再加一遍．在教学加法交换律时，应在此基础上，用举例归纳的方法，把学生的感性认识上升到一般规律．

加法交换律的练习组织：（1）从几个算式中，如35＋52，52＋35，53＋25，32＋55等，找出相等的算式．（2）在□里填上适当的数．如，35＋52＝52+□，43+□=56+□．（3）应用加法交换律进行验算或简便计算．

对于加法结合律，教学时则应先让学生口算类似（8＋7）＋3和8＋（7＋3）这样的一组组题目，把它们组成等式，以增加感性认识，然后分析比较每一个等式等号两边的异同，举例说明（□+△）+○=□+（△+○），从而归纳出加法结合律，并注意与加法交换律进行比较，使学生明确，加法交换律是改变加数的位置，而加法结合律是改变计算的顺序．

加法结合律的练习组织：（1）从几个算式中根据加法结合律找出相等的算式．（2）把适当的数填在□里．如，（46＋53）＋28=46＋（□+□）．（3）应用加法结合律改变题目的计算顺序．

（4）应用加法运算定律进行简便计算，并要学生说出计算的依据．

应用加法运算定律进行简便计算，需要熟悉题中哪些数相加可以得到整十、整百、整千数．计算时应写出必要的计算步骤，并注意括号的合理使用．

[加法交换律]见[加法运算定律]

[加法结合律]见[加法运算定律]

[加减法的运算性质]

（1）一个数减去两个数的和，可以从这个数里逐次减去和中的每个加数．即

a-（b+c）＝a-b-c，

或

a－（b+c）＝a-c－b．

这个性质可以推广到一个数减去几个数的和．例如：

89-（15+24+37）＝89-15-24-37．

（2）一个数减去两个数的差，可以从这个数里减去差里的被减数（在能减的情况下），再加上差里的减数；或者先加上差里的减数，再减去差里的被减数．即

a-（b-c）＝a-b+c，

或

a－（b－c）＝a＋c－b

例如：723-（800-277）=723＋277-800．

（3）一个数加上两个数的差，可以先加上差里的被减数，再减去差里的减数；或者先减去差里的减数（在能减的情况下），再加上差里的被减数．即

a＋（b-c）＝a＋b-c；

或

a＋（b-c）＝a－c＋b．

例如：78＋（22-10）＝78＋22-10．

（4）几个数的和减去一个数，可以从任何一个加数里减去这个数（在能减的情况下），再同其余的加数相加．即

（a+b+c）-d＝（a-d）+b＋c．

例如：（37＋12＋48）-17＝（37-17）＋12＋48．

上述这些性质都可逆过来应用．例如：

1204-248-352＝1204-（248+352）．

利用加减法的运算性质，就可以进行多位数的减法运算．例如：

896-324=（800＋90＋6）-（300＋20＋4）

＝（800＋90+6）-300-20-4（性质1）

＝（800－300）＋（90－20）＋（6-4）（性质4）

=500＋70＋2

=572．

写成竖式为：

小学里，只是在教学加减法的速算时，让学生从具体的计算中了解加减法的一些运算性质（不出一般公式），从而能进行一些简便运算（见[加减法的速算法]）．

[加减法的运算法则]

（1）一位数的加法以及相应的减法，可以根据加减法的定义求出得数．加法有81题，列表如下：

和在10以内（包括和是10）的共45题，称为10以内数的加法，其中基本题（表中左方框出的题）有25题．其余36题是和超十的加法，称为20以内的进位加法，其中基本题（表中下方框出的题）有20题．

相应的减法也有81题，列表如下：

被减数在10以内（包括被减数是10）的共45题，称为10以内数的减法．其余36题是与20以内的进位加法相应的减法，称为20以内的退位减法．

一位数的加法以及相应的减法，是加减法计算的基础．

（2）多位数的加法法则是：相同数位上的数相加；哪一位上的数相加满十，要向前一位进一．这是根据加法的运算定律得到的（见[加法运算定律]）．

（3）多位数的减法法则是：相同数位上的数相减；被减数哪一位上的数不够减，就从前一位退“一”作“十”，加到这个数上，再减．这是根据减法的运算性质得到的（见[加减法的运算性质]）．

加减法的笔算一般从个位算起，口算一般从高位算起．

[10以内数的加减法]

10以内数的加减有以下几种计算方法：

（1）逐一加减的方法．当加上或减去的数比较小（如1或2）时，可用加上一个单位再加上一个单位或减去一个单位再减去一个单位的方法求得结果．例如，5+2就是5＋1＋1，5-2就是5-1-1．

（2）分组加减的方法．如加上或减去的数是3或4时，可把3分成2和1，4分成2

和2，利用加减1、2的基础进行计算．例如，5+3=5＋2＋1，7-4=7-2-2．

（3）交换、互补的方法．当加上或减去的数比较大时，加法可以用交换加数位置的方法计算，例如3+6=6+3＝9；减法可以用减数与差互补的方法进行计算，例如计算8-6，可以想因为8-2=6，所以8-6＝2．

（4）应用数的组成的方法．按2—10各数的组成做加减法．例如，5和2组成7，所以5＋2＝7，2＋5＝7；7可以分成5和2，所以7-2=5，7-5＝2．

10以内数的加减法采用哪种计算方法，往往与教材的编排有关．教材按加数、减数的大小编排时，一般采用前三种方法；教材按自然数的认识顺序编排加减法时，一般采用第（4）种方法．当然也可以几种方法结合使用．

教学时：（1）通过直观教具的演示或学生自己动手操作，掌握数的组成．例如，6根小棒可以分成5根和1根，4根和2根，3根和3根；反过来，5和1，4和2，3和3，都能组成6，由此可以计算和是6的加法，6减几的减法．（2）熟记10以内的加法和减法，可以按加数、减数的大小顺序记，也可以按数的组成一组一组记．（3）根据三个数列出一个加法算式和两个减法算式，具体地认识加减法之间的关系，从而熟记10以内数的加减法．（4）通过多种形式的练习，熟练10以内数的加减法．

[20以内的进位加法和退位减法]

20以内的进位加法和退位减法的计算方法有以下几种：

（1）凑十加，用十减．利用10的组成，把20以内的进位加法和退位减法，转化成与10有关的加减法．

凑十加，就是把一个加数分成两个数，然后根据加法运算定律，把其中的一个数与另一个加数凑成十，再加上余下的另一个数．例如：

9＋3=9＋（1＋2）＝（9＋1）＋2＝12．

用十减，就是把被减数分成10和几，然后根据加减法的运算性质再计算．例如：

12-9=（10＋2）-9＝（10-9）＋2＝3．

也可以把减数分成两个数，从被减数中先减去其中的一个数，使结果为10，再减去另一个数．例如：

12-9＝12-（2+7）＝12-2-7=3．

（2）用加十减补做加法，减十加补做减法．

“补”是指与一个数凑满十的补数．如9的补数是1，8的补数是2，……

“加十减补”，就是指先加上10，再减去另一个加数的补数．例如：

3＋9＝3＋（10-1）＝（3＋10）-1＝12．

“减十加补”，就是指先减去10，再加上减数的补数．例如：

12-9＝12-（10-1）＝12-10+1＝3．

（3）用口诀做加法，根据加减法的关系做减法．

把20以内的进位加法（共36题）编成20句口诀，如：“九二十一”（9＋2＝11， 2＋9=11），“八三十一”（8+3＝11， 3＋8= 11），……．计算时，用口诀得出结果．例如：

9＋3=12，想：九三十二．

根据加减法的关系做减法，通常也叫做“做减法，想加法”．例如：

12-9＝3，想：9＋（）＝12，

因为9+3＝12，所以12-9＝3．

以上几种计算方法各有利弊．“凑十加，用十减”容易学，但要分两步计算，延长了思维的时间．“加十减补，减十加补”与珠算配合起来学较为有利，但补数概念比较抽象．“用口诀做加法，根据加减法的关系做减法”，思维过程比较简捷，但需熟记口诀与理解加减法的关系．一般教材中常采用“凑十加，用十减”的方法，也有在讲了凑十加后，再用口诀帮

助熟记的．在口算、珠算并教的教材中往往采用“加十减补，减十加补”的方法．无论采用哪一种方法，最后都要求形成熟练的计算技能．

20以内进位加法的教学：（1）通过实物的演示，使学生理解和掌握思考方法．例如，“凑十加”的思考方法可按如下的过程由具体到抽象地进行教学：

由此概括出20以内进位加法的计算规律．（2）让学生用语言说出计算步骤，巩固计算方法．如8＋5，因为8加2得10，所以把5分成2和3；8加2得10，10加3得13，因此8＋5=13．（3）简化计算的思维过程．从详尽地说出计算步骤，到只想“凑十”，说出得数．如8＋5，想：8加2是10，8＋5=13．也可以用口诀简化思维过程，直接说出得数．（4）“凑十加”一般是拆较小的数凑较大的数比较方便，如8＋5或5＋8一般都把5拆成2和3．也可以根据交换律来计算，如已学会8＋5＝13，那么5＋8也等于13．

20以内进位加法是多位数加法的重要基础，也是20以内退位减法的基础，要求口算十分熟练，因此要反复训练．教师可以制作活动口算卡片（如图）让学生视算，或教师口报加数让学生听算；也可以给每个学生一套1—9的数字卡片或20以内进位加法的卡片，两人一组，每人出一张卡片，口算和是几；等等．

20以内退位减法的教学：（1）通过实物的演示，使学生理解和掌握思考方法．例如，“用十减”的思考方法可按如下的认识过程进行教学：

又如，“做减法，想加法”的教学可以这样进行：先根据实物或图形演示列出加法算式和相应的两个减法算式，然后脱离直观，根据加法算式直接列出相应的两个减法算式，再根据填加数的算式，说出相应的减法算式（如根据8+（）=13，列出13-8，掌握“做减法，想加法”的方法，最后直接出示减法算式，让学生说出计算方法．（2）让学生说出计算步骤，巩固计算方法．如13-8，想：8加几是13，因为8加5是13，所以13-8=5．（3）简化计算的思维过程．如13-8，想：8加5是13，13-8=5．最后直接说出得数．

20以内退位减法是多位数减法的重要基础，要求口算十分熟练，因此也要反复训练．训练方式可参考20以内的进位加法．

[多位数加减法的口算]

多位数加减法的口算有（1） 100以内的加减法口算，即两位数加减整十数、两位数加减一位数和两位数加减两位数的口算；（2）整百、整千数的加减法口算．

口算的方法一般应队高位算起，这样便于记忆和计算．因此，两位数加减整十数、两位数加减一位数的口算是多位数加减法口算的基础．

两位数加减整十数，两位数加减一位数的口算，首先要讲清为什么相同数位上的数才能相加或相减，为此必须让学生掌握数的组成和数位的概念．教学时，可以用教具（如小棒、计数器等）说明相加减的两个数每一位上的数字所表示的值，掌握计算的方法．第二，重点讲清进位、退位的法则，即“满十进一”和“退一当十”，这也是教学中的难点．可以借助教具，边演示边计算．例如，35+7和 35-7可以这样安排教学过程：

为了巩固进位加法和退位减法的计算法则，可以向学生提一些问题，如：个位上的数相加满十时，一个十到哪里去了？个位上3减7，怎么会得6的？等等．

两位数加减两位数的口算，主要应讲清口算步骤．一般两位数加减两位数的口算，应先加减整十数，再加减一位数．这样计算既适用于视算，也适用于听算．教学时，可用活动卡

片帮助学生掌握口算方法．如： 35+27，先出示，再翻出 7，即，使学生掌握先加整十数，再加个位数的方法．

整百、整千数的加减法口算，是在学生掌握数的组成和100以内加减法口算的基础上，使学生学会按计数单位百、千进行计算的方法．

加减法的口算是进一步学习乘除法的基础，有些口算，如两位数加一位数、两位数减两位数等必须使学生熟练掌握．

[多位数加减法的笔算]

加减法笔算一般分为不进位加法和不退位减法，进位加法和退位减法．

不进位加法和不退位减法的教学，重点是要讲清相同数位上的数才能相加或相减，即数位对齐的道理．教学时，可以把竖式与演示的教具对照，理解竖式中数位对齐的道理，掌握竖式的书写格式．

不进位加法和不退位减法，从高位算起与从个位算起没有什么两样．但是，要告诉学生笔算一般应从个位算起，以便与进位加法和退位减法的计算方法一致．

进位加法和退位减法的教学，重点是讲清进位、退位的法则，进位和退位按照思维顺序的不同可以分成：

（1）先算进、退位的数．如：

（2）后算进、退位的数．如：

初学时，一般可以在进1或退1的数位上加圆点帮助记忆．如：

由于加法进位记号写在第二加数下面，减法退位记号写在被减数上面，所以一般加法后加进位数，而减法则先减退位数．

进位加法和退位减法的教学顺序是：（1）只有某一位上需要进位、退位的，如 418+65，1320-250；（2）有两个不相邻的数位上需要进位、退位的，如7306+854，1230-425；（3）连续有两个以上的数位上需要进位、退位的，如 640+376，435-356；（4）隔位退位的减法，如 3004-628．

[加减法的估算]

加减法计算，有时不要求精确结果，可以用已知数的近似数（见[准确数和近似数]）来估算和、差．例如：

15876-（8442+1588）约是多少？

先把各数按四舍五入法截取到同一位的近似数（见[截取近似数的方法]），然后按近似数求和、差．

15876-（8442+1588）

≈16000-（8000+2000）

=16000-10000

=6000．

教学时，首先要让学生掌握把已知数化成接近的整百、整千数．然后要使学生知道在同一道题估算时，相加或相减的两个数应化成相同要求的整百数或整千数，不能一个数化成整千数，一个数化成整百数．并注意正确使用约等号．

[加减法的验算]

加法的验算方法有：

（1）用加法验算．根据加法的交换律，把加数交换位置后再加，两次加得的结果必须相同．

（2）用减法验算．根据减法是加法的逆运算，把所得的和减去它的一个加数，所得的差必须等于另一个加数．

减法的验算方法有：

（1）用加法验算．根据减法和加法的关系，把减数和差相加，所得的和必须与被减数相等．

（2）用减法验算．根据减法算式中各数之间的关系，把被减数减去差，所得的结果必须等于减数．

加减法还可以用弃九法验算（见[弃九验算法]）．

教学时，除了要使学生掌握验算方法外，还必须使学生认识验算的作用．课堂练习和测验时要留有时间让学生进行验算，使学生养成习惯．注意纠正学生只写验算式子，不真正进行验算的做法．

[和、差的变化]

在加法和减法运算中，由于已知数的变化而引起的和、差的变化，简称和、差的变化．

和的变化：

（1）如果一个加数不变，另一个加数增加（或减少）一个数，那么它们的和也增加（或减少）同一个数．即

如果 a+b=c，

那么（a+d）+b=c+d，

（a-d）+b=c-d

（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变．即

如果 a+ b= c，

那么（a+d）+（b-d）=c．

利用和的变化，可以使某些加法运算简便．例如：

394+248=（394 + 6） +（248- 6）

=400+242

= 642．

差的变化：

（1）如果减数不变，被减数增加（或减少）一个数，那么它们的差也增加（或减少）同一个数．即

如果 a-b=c，

那么（a+d）-b=c+d，

（a- d）- b= c-d

（2）如果被减数不变，减数增加（或减少）一个数，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数．即

如果 a-6=c，

那么 a-（b+d）=c-d，

a-（b-d）=c+d

（3）如果被减数和减数都增加（或减少）同一个数，那么它们的差不变．即

如果 a-b=c，

那么（a+d）-（b+d）=c，

（a-d）-（b-d）=c．

利用差的变化，也可以使某些减法运算简便．例如：

752-296=（752+4）-（296+4）

=756-300

=456．

和、差的变化在小学里一般不详细讲解，只要通过生活实例，让学生有些了解就可以了．