2017-2018学年人教版九年级数学上册全册精品导学案(含答案)

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第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.

2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.

3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.

重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.

难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.

一、自学指导.(10分钟)

问题1:

如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①

问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?

分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.

设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部

比赛共x(x-1)

2__场.列方程__

x(x-1)

2=28__,化简整理,得__x

2-x-56

=0__.②

探究:

(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.

(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.

归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.

1.一元二次方程的定义

等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式

一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:

ax2+bx+c=0(a≠0).

这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.

二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)

1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?

(1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1;

(3)5x2-2x-1

4=x

2-2x+

3

5;

(4)2(x+1)2=3(x+1);

(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0.

解:(2)(3)(4).

点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.

2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.

解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.

点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.

一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)

1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.

证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,

∵(m-4)2≥0,

∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0.

∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.

点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.

2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x

=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.

点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.

二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)

1.判断下列方程是否为一元二次方程.

(1)1-x2=0; (2)2(x2-1)=3y;

(3)2x2-3x-1=0; (4)1

x2-2

x=0;

(5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x2=5-4x.

解:(1)是;(2)不是;(3)是;

(4)不是;(5)不是;(6)是.

2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,

解得a=-3 4.

3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:

(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;

(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.

解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.

学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)

1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.

3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.

学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法(1)

1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.

2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.

重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.

难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.

一、自学指导.(10分钟)

问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?

设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:

__10×6x2=1500__,

由此可得__x2=25__,

根据平方根的意义,得x=__±5__,

即x1=__5__,x2=__-5__.

可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.

探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?

方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根

的意义,可将方程变形为,即将方程变为__2x

两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=

2x2=2.

在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.

方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.

归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p 或mx+n=±p.

二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)

解下列方程:

(1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50;

(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.

解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,

y2=4,(x-8)2=25,

y=±2,x-8=±5,

∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,

∴x1=13,x2=3;

(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,

(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,

∴原方程无解;2x-1=0,

∴x 1=x 2=12

. 点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.

一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)

1.用直接开平方法解下列方程:

(1)(3x +1)2=7; (2)y 2+2y +1=24;

(3)9n 2-24n +16=11.

解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113

. 点拨精讲:运用开平方法解形如(mx +n)2=p(p ≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.

2.已知关于x 的方程x 2+(a 2+1)x -3=0的一个根是1,求a 的值.

解:±1.

二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)

用直接开平方法解下列方程:

(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5;

(3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0;

(5)4x 2=81; (6)(x +5)2=25;

(7)x 2+2x +1=4. 解:(1)x 1=1+2,x 2=1-2; (2)x 1=2+5,x 2=2-5;

(3)x 1=-1,x 2=13

; (4)x 1=16,x 2=-16

(5)x 1=92,x 2=-92

; (6)x 1=0,x 2=-10;

(7)x 1=1,x 2=-3.

学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)

1.用直接开平方法解一元二次方程.

2.理解“降次”思想.

3.理解x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)中,为什么p ≥0?

学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)

21.2.1 配方法(2)

1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.

2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.

重点:掌握配方法解一元二次方程.

难点:把一元二次方程转化为形如(x -a)2=b 的过程.

(2分钟)

1.填空:

(1)x 2-8x +__16__=(x -__4__)2;

(2)9x 2+12x +__4__=(3x +__2__)2;

(3)x 2+px +__(p 2)2__=(x +__p 2

__)2. 2.若4x 2-mx +9是一个完全平方式,那么m 的值是__±12__.

一、自学指导.(10分钟)

问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米?

设场地的宽为x m ,则长为__(x +6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x +6)=16__,整理得到__x 2+6x -16=0__.

探究:怎样解方程x 2+6x -16=0?

对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x +9=4,可以发现方程x 2+6x +9=4的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x 2+6x -16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?

解:移项,得x 2+6x =16,

两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x 2+bx +(b 2

)2的形式,得 __x 2__+6__x__+9=16+__9__,

左边写成平方形式,得

__(x +3)2=25__,

开平方,得

__x +3=±5__, (降次)

即 __x +3=5__或__x +3=-5__,

解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.

归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.

问题2:解下列方程:

(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0;

(3)4x 2+16x +16=9.

解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52

; (3)x 1=-72,x 2=-12

. 归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:

(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;

(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;

(3)方程两边同时除以二次项系数a ;

(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;

(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.

二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)

1.填空:

(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2;

(2)x 2-x +__14__=(x -__12

__)2; (3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.

2.解下列方程:

(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0;

(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.

解:(1)移项,得x 2+6x =-5,

配方得x 2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4,

由此可得x +3=±2,即x 1=-1,x 2=-5.

(2)移项,得2x 2+6x =-2,

二次项系数化为1,得x 2+3x =-1,

配方得x 2+3x +(32)2=(x +32)2=54

, 由此可得x +32=±52,即x 1=52-32

x 2=-52-32

. (3)去括号,整理得x 2+4x -1=0,

移项得x 2+4x =1,

配方得(x +2)2=5,

x +2=±5,即x 1=5-2,x 2=-5-2.

点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x 的完全平方式.

一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)

如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8 m ,CB =6 m ,点P ,Q 同时由A ,B 两点出发分别沿AC ,BC 方向向点C 匀速移动,它们的速度都是1 m /s ,几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半?

解:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.根据题意可列方程: 12(8-x)(6-x)=12×12

×8×6, 即x 2-14x +24=0,

(x -7)2=25,

x -7=±5,

∴x 1=12,x 2=2,

x 1=12,x 2=2都是原方程的根,但x 1=12不合题意,舍去.

答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.

点拨精讲:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.

二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)

1.用配方法解下列关于x的方程:

(1)2x2-4x-8=0;(2)x2-4x+2=0;

(3)x2-1

2x-1=0 ; (4)2x

2+2=5.

解:(1)x1=1+5,x2=1-5;

(2)x1=2+2,x2=2-2;

(3)x1=1

4+

17

4,x2=

1

4-

17

4;

(4)x1=

6

2,x2=-

6

2.

2.如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求(xy)z的值.

解:由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即(x-2)2+(y+3)2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2.

∴(xy)z=[2×(-3)]-2=1 36.

学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)

1.用配方法解一元二次方程的步骤.

2.用配方法解一元二次方程的注意事项.

学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)

21.2.2公式法

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.

2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.

重点:求根公式的推导和公式法的应用.

难点:一元二次方程求根公式的推导.

(2分钟)

用配方法解方程:

(1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0.

解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.

一、自学指导.(8分钟)

问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?

问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac

2a,

x2=-b-b2-4ac

2a.

分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具

体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

探究:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:

(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2

-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac

2a就得到方程的根,当b

2-

4ac<0时,方程没有实数根.

(2)x=-b±b2-4ac

2a叫做一元二次方程ax

2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.

(5)一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b2-4ac.

二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)

用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?

(1)2x2-3x=0;(2)3x2-23x+1=0;

(3)4x2+x+1=0.

解:(1)x1=0,x2=3

2;有两个不相等的实数根;

(2)x1=x2=

3

3;有两个相等的实数根;

(3)无实数根.

点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.

一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)

1.方程x2-4x+4=0的根的情况是(B)

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根

D.没有实数根

2.当m为何值时,方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0,

(1)有两个不相等的实数根?

(2)有两个相等的实数根?

(3)没有实数根?

解:(1)m <14; (2)m =14; (3)m >14

. 3. 已知x 2+2x =m -1没有实数根,求证:x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.

证明:∵x 2+2x -m +1=0没有实数根,

∴4-4(1-m)<0,∴m <0.

对于方程x 2+mx =1-2m ,即x 2+mx +2m -1=0,

Δ=m 2-8m +4,∵m <0,∴Δ>0,

∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.

二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)

1.利用判别式判定下列方程的根的情况:

(1)2x 2-3x -32

=0; (2)16x 2-24x +9=0; (3)x 2-42x +9=0 ; (4)3x 2+10x =2x 2+8x.

解:(1)有两个不相等的实数根;

(2)有两个相等的实数根;

(3)无实数根;

(4)有两个不相等的实数根.

2.用公式法解下列方程:

(1)x 2+x -12=0 ; (2)x 2-2x -14

=0; (3)x 2+4x +8=2x +11; (4)x(x -4)=2-8x ;

(5)x 2+2x =0 ; (6)x 2+25x +10=0.

解:(1)x 1=3,x 2=-4;

(2)x1=2+3

2,x2=

2-3

2;

(3)x1=1,x2=-3;

(4)x1=-2+6,x2=-2-6;

(5)x1=0,x2=-2; (6)无实数根.

点拨精讲:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的;

(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的

前提下,把a,b,c的值代入x=-b±b2-4ac

2a(b

2-4ac≥0)中,可求得方程的

两个根;

(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.

学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)

1.求根公式的推导过程.

2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.

3.用判别式判定一元二次方程根的情况.

学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)

21.2.3因式分解法

1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.

2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.

重点:用因式分解法解一元二次方程.

难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.

(2分钟)

将下列各题因式分解:

(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;

(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;

(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.

一、自学指导.(8分钟)

问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)

设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①

思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?

分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:

x(10-4.9x)=0,

于是得x=0或10-4.9x=0,②

∴x1=__0__,x2≈2.04.

上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.

点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.

(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x +1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.

二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)

1.说出下列方程的根:

(1)x(x -8)=0; (2)(3x +1)(2x -5)=0.

解:(1)x 1=0,x 2=8; (2)x 1=-13,x 2=52

. 2.用因式分解法解下列方程:

(1)x 2-4x =0; (2)4x 2-49=0;

(3)5x 2-20x +20=0.

解:(1)x 1=0,x 2=4; (2)x 1=72,x 2=-72

; (3)x 1=x 2=2.

一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)

1.用因式分解法解下列方程:

(1)5x 2-4x =0; (2)3x(2x +1)=4x +2;

(3)(x +5)2=3x +15.

解:(1)x 1=0,x 2=45

; (2)x 1=23,x 2=-12

; (3)x 1=-5,x 2=-2.

点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.

2.用因式分解法解下列方程:

(1)4x 2-144=0;

(2)(2x -1)2=(3-x)2;

(3)5x 2-2x -14=x 2-2x +34

; (4)3x 2-12x =-12.

解:(1)x1=6,x2=-6;

(2)x1=4

3,x2=-2;

(3)x1=1

2,x2=-

1

2;

(4)x1=x2=2.

点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.

二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)

1.用因式分解法解下列方程:

(1)x2+x=0; (2)x2-23x=0;

(3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0;

(5)(x-4)2=(5-2x)2.

解:(1)x1=0,x2=-1;

(2)x1=0,x2=23;

(3)x1=x2=1;

(4)x1=11

2,x2=-

11

2;

(5)x1=3,x2=1.

点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤:

(1)将方程右边化为__0__;

(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;

(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;

(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.

2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.

解:设小圆形场地的半径为x m.

则可列方程2πx2=π(x+5)2.

解得x1=5+52,x2=5-52(舍去).

答:小圆形场地的半径为(5+52) m.

学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)

1.用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0,即“二次降为一次”.

2.正确的因式分解是解题的关键.

学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

1. 理解并掌握根与系数的关系:x1+x2=-b

a,x1x2=

c

a.

2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.

重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.

难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.

一、自学指导.(10分钟)

自学1:完成下表:

问题:你发现什么规律?

①用语言叙述你发现的规律;

答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.

九年级下册数学29.3 课题学习 制作立体模型(导学案)

29.3 课题学习制作立体模型 一、导学 1.课题导入 问题:怎样由视图转化为立体图形? 这节课我们通过动手实践来体会这个过程. 2.学习目标 (1)体验平面图形向立体图形转化的过程. (2)体会用三视图表示立体图形的作用. (3)进一步感受平面图形与立体图形之间的关系. 3.学习重、难点 重点:根据三视图制作立体模型. 难点:具体操作. 4.自学指导 (1)自学内容:教材P105~P106. (2)自学时间:30分钟. (3)自学方法:准备刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯等参与活动. (4)课题活动参考提纲: ①以硬纸板为主要材料,分别做出下面的两组三视图所表示的立体模型. 图1 图2 ②按照下面给出的两组三视图,用马铃薯做出相应的实物模型. 图3 图4

③下面每组平面图形都是由四个等边三角形组成. a.其中哪些可以折叠成多面体,把上面的图形描在纸上,剪下来,叠一叠,验证你的答案; b.画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图,并指出图中是怎样体现“长对正,高平齐,宽相等”的; c.如果上图中小三角形的边长都是1,那么对应的多面体的表面积是多少? cm2) ④下面的图形由一个扇形和一个圆组成. a.把上面的图形描在纸上,剪下来,围成一个圆锥. b.画出由上面图形围成的圆锥的三视图. c.如果上图中扇形的半径为13 cm,圆的半径为5 cm,那么对应的圆锥的体积是多少? 1 ×π×52cm3). 3 ⑤结合具体实例,写一篇介绍三视图、展开图的应用的短文. 二、自学 学生结合自学指导进行自学. 三、助学 1.师助生: (1)明了学情:观察学生具体操作中的情况. (2)差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导. 2.生助生:小组内相互交流、研讨、总结、归纳. 四、强化 1.由三视图想象实物形状.

人教九年级下册数学-相似三角形的应用举例导学案

27.2.3 相似三角形的应用举例青海一中李清 〔学习设计〕

例 5:已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和 CD=12m,两树的根部的距离BD=5m,一个身高1.6m的人沿 着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进,当他与 左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的 树的顶端点C? 分析:, AB l CD l ⊥⊥?AB∥CD,?AFH∽?CFK。 ? FH AH FK CK =,即 8 1.6 6.4 512 1.610.4 FH FH - == +- ,解得FH=8。 数学建模的关键 是生活中的实际 问题转化为数学 问题,转化的方法 之一是画数学示 意图,在画图的过 程中可以逐渐明 问题中的数量关 系与位置关系,进 而形成解题思路。

【素材积累】 1、不求与人相比,但求超越自己,要哭旧哭出激动的泪水,要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标,便得摘心中描绘出目标达成后的景象;那么,梦想必会成真。求人不如求己;贫穷志不移;吃得苦中苦;方为人上人;失意不灰心;得意莫忘形。桂冠上的飘带,不是用天才纤维捻制而成的,而是用痛苦,磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑,一定要成为你工作醉大的资产。 2、不求与人相比,但求超越自己,要哭旧哭出激动的泪水,要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标,便得摘心中描绘出目标达成后的景象;那么,梦想必会成真。求人不如求己;贫穷志不移;吃得苦中苦;方为人上人;失意不灰心;得意莫忘形。桂冠上的飘带,不是用天才纤维捻制而成的,而是用痛苦,磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑,一定要成为你工作醉大的资产。

2018年新人教版七年级数学下册导学案全册

2018年新人教版 七年级数学下册 导学案

目录 第五章相交线与平行线........................................ 错误!未定义书签。 课题:相交线............................................. 错误!未定义书签。 课题:垂线............................................... 错误!未定义书签。 课题:同位角、内错角、同旁内角........................... 错误!未定义书签。 课题:平行线............................................. 错误!未定义书签。 课题:平行线的判定....................................... 错误!未定义书签。 课题:平行线的性质....................................... 错误!未定义书签。 课题:平行线的判定及性质习题课............................ 错误!未定义书签。 课题:命题、定理.......................................... 错误!未定义书签。 课题:平移................................................ 错误!未定义书签。 课题:相交线与平行线全章复习.............................. 错误!未定义书签。第六章实数.................................................. 错误!未定义书签。 课题:平方根(第1课时)................................. 错误!未定义书签。 课题:平方根(第2课时)................................. 错误!未定义书签。 课题:平方根(第3课时)................................. 错误!未定义书签。 课题:立方根(第1课时)................................. 错误!未定义书签。 课题:立方根(第2课时)................................. 错误!未定义书签。 课题:实数(第1课时).................................. 错误!未定义书签。 课题:实数(第2课时).................................. 错误!未定义书签。 课题:实数复习(一)..................................... 错误!未定义书签。 课题:实数复习(二)..................................... 错误!未定义书签。第七章平面直角坐标系........................................ 错误!未定义书签。 课题:有序数对........................................... 错误!未定义书签。

初中数学导学案

课题:一元一次方程导学案 实际问题与一元一次方程(三) 编写教师: 学生姓名: 导学目标: 1、 掌握应用方程解决实际问题的方法步骤,提高分析问题、解决问题的能力。 2、 通过探索球赛积分表中数量关系的过程,进一步体会方程是解决实际问题的数学模型, 并且明确用方程解决实际问题时,不仅要注意解方程的过程是否正确,还要检验方程的 解是否符合问题的实际意义。 3、 鼓励学生自主探究,合作交流,养成自觉反思的良好习惯。 重点:把实际问题转化为数学问题,不仅会列方程求出问题的解,还会进行推理判断。 难点:把实际问题转化为数学问题。 教学过程: 一、引入新课 请同学们看课本P106中“某次篮球联赛积分榜”。 学生观察积分榜,并思考下列问题: (1) 用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系; (2) 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗? 在学生充分思考、合作交流后,教师引导学生分析。 要解决问题(1)必须求出胜一场积几分,负一场积几分,你能从积分榜中得到负一场积 几分吗?你选择其中哪一行最能说明负一场积几分? 通过观察积分榜,从最下面一行数据可以发现,负一场积1分,那么胜一场积几分呢? 解:设胜一场积x 分,从表中其他任何一行可以列方程,求出x 的值。 例如从第三行的方程:23159=?+x ,解得x=2. 用表中其他行可以验证,得出结论:负一场积1分,胜一场积2分. (1) 如果一个队胜m 场,则负(14-m)场,胜场积分为2m ,负场积分为14-m , 总积分为2m+(14-m)=m+14。 (2) 如果设一个队胜了x 场,则负了(14-x )场,若这个队的胜场总积分等于负场总积 分,那么列方程为:x x -=142,解得3 14=x . 想一想,x 表示什么量?它可以是分数吗?由此你能得出什么结论? 这里x 表示一个队所胜得场数,它是一个整数,所以314= x 不符合实际意义。由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。 拓展延伸: 如果删去积分榜的最后一行,你还能用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系 吗? 设胜一场积x 分,则前进队胜场积分为10x ,负场积分为(24 -10x )分,他负了4场,

最新人教版初中九年级数学上册《一元二次方程》导学案

第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 ——一元二次方程的相关概念 一、新课导入 1.导入课题: 情景:要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高? 问题1:列方程解应用题的一般步骤是什么?(导出审题的关键是寻找等量关系) 问题2:你能画出示意图表示这个问题吗?(用线段AB表示雕像的高度,雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图,把这个问题转化为数学问题) 问题3:能反映问题的等量关系的是哪一句话?(根据题意导出关系式 BC2=2AC) 问题4:设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程,并化简.这个方程是一元一次方程吗?它有什么特点? 这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.(板书课题) 2.学习目标: (1)会设未知数,列一元二次方程. (2)了解一元二次方程及其根的概念. (3)能熟练地把一元二次方程化成一般形式,并准确地指出各项系数. 3.学习重、难点: 重点:一元二次方程的一般形式及相关概念. 难点:寻找等量关系. 二、分层学习 1.自学指导: (1)自学内容:教材第1页到第2页的问题1、问题2. (2)自学时间:5分钟. (3)自学方法:先寻找问题中的等量关系,再根据等量关系列出方程.

(4)自学参考提纲: ①问题1中,要制作一个无盖的方盒,四角都要剪去一个相同的正方形,我们设正方形边长为x cm,则盒底的宽为(50-2x) cm,盒底的长为(100-2x) cm,根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600,你能把它整理为课本上的方程②吗?试说明具体经过哪几步变形得到. 先去括号5000-100x-200x+4x2=3600 移项合并同类项4x2-300x+1400=0 系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0 ②问题2中,本次排球比赛的总比赛场数为28场. 设邀请x支队参赛,则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场. 整个比赛中总比赛场数是多少?你是怎样算出来的? 本题的等量关系是什么?你列出的方程是x(x-1)=28. 你能把它整理为课本上的方程③吗?试说明具体经过哪几步变形得到. 去括号x2-12x=28 系数化为1(两边同乘以2) x2-x=56 2.自学:学生可参考自学指导进行自学. 3.助学: (1)师助生: ①明了学情:观察了解学生是否会寻找等量关系,是否会化简方程. ②差异指导:简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别,对不会寻找等量关系的学生给予辅导,说明化简方程的基本要求. (2)生助生:同桌之间、小组内交流、研讨. 4.强化: (1)总结寻找等量关系的策略,简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据. (2)练习:根据下列问题列方程 ①一个圆的面积是2πm2,求半径.πr2=2π ②一个直角三角形的两条直角边相差3cm,面积为9cm2,求较长的直角边的长. 1 x(x-3)=9 2

最新人教版2018年九年级数学上册全册导学案(含答案)

第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题. 2.掌握一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)及有关概念. 3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念. 重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索. 难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项. 一、自学指导.(10分钟) 问题1: 如图,有一块矩形铁皮,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 分析:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为__(100-2x)cm __,宽为__(50-2x)cm __.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x 2-75x +350=0__.① 问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛? 分析:全部比赛的场数为__4×7=28__. 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他__(x -1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x (x -1)2__场.列方程__x (x -1) 2 =28__,化简整理,得__x 2-x -56=0__.② 探究: (1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__. (2)它们最高次数分别是几次?__2次__.

人教版数学九年级下册全册课堂同步导学案

人教版数学九年级下册全册课堂同步导学案 第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 一、课前预习 1.什么是函数? 2.什么是一次函数? 3.什么是正比例函数? 4.乘法表中乘积为12的两个因数之间存在什么关系? 二、创设情境 1.问题1 京沪线铁路全程为 1463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h) 随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化. 问题2 某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪,草坪的长 y(单位:m)随宽x(单位:m)的变化而变化. 问题3 已知北京市的总面积为1.68×104km2,人均占有面积 S(单位:km2/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化. 三、形成概念 反比例函数定义: 四、概念辨析 下列函数中哪些是反比例函数?并说出它的k。哪些是一次函数? ;; ; ; ;;

; ;. 五、例题探究 例1.当m =时,关于x的函数y=(m+1)是反比例函数? 例2.已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6. (1)写出y关于x的函数解析式;(2)当x=4时,求y的值. (3)当y =8 时,求x的值. 例3.画出的图像.(思考:画出的图像)

六、拓展练习 1.已知y与x2成反比例,并且当x=3时,y=4. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)当x=1.5时,求y的值; (3)当y=6时,求x的值. 2.已知y-1与成反比例,且当x=1时y=4,求y与x的函数表达式,并判断是哪类函数? 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 学习目标: 1.能用描点法画出反比例函数的图象. 2.掌握反比例函数的图象和性质,并会用性质解决问题. 学习重难点: 重点:反比例函数的图象和性质 难点:理解反比例函数的性质,并能灵活运用 学习过程: 一、温故知新 1.反比例函数的反比例函数的表达式是 ____________ _______;解析式中自变量x的取值能为0吗?为什么?_______________ _______。 2.一次函数和二次函数的图象分别是,它们性质分别是: 。 3. 画函数图象的一般步骤是(1);(2);(3)。

人教版九年级数学下册数学活动(导学案)

数学活动 ——利用测角仪测量物高 一、导学 1.活动导入 请同学们准备如下学具:半圆形量角器一个,细线一根,小挂件(或其他小重物),软尺一个. 这节课我们利用测角仪测量物高. 2.活动目标 (1)能自制测角仪,根据实际情况设计测量物高的方案. (2)能运用解直角三角形的知识根据测量的数据计算物高. 3.活动重、难点 重点:自制测角仪,测量物高. 难点:测量活动. 二、活动过程 1.活动指导 (1)活动内容:教材P81活动1、2:制作测角仪,测量树的高度;利用测角仪测量塔高. (2)活动时间:45分钟. (3)活动方法:完成活动参考提纲. (4)活动参考提纲: ①自制测角仪: 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处,细线的另一端系一个小挂件,如图1、2所示,制成的一个简单测角仪. 图1 图2 图3 ②探索测角仪的使用方法:如图3所示,仰角的度数是多少? ③测量原理探讨:

a.测量底部可以到达的物体的高度,如图4: b.测量底部不可以直接到达的物体的高度,如图5: ④探讨测量方案,设计活动报告: a.测量树高 (底部可以到达的物高),如图6: b.测量塔高(底部不可到达的物高),如图7: 图6 图7 ⑤活动实施: a.设计测量方案. b.实际测量,记录数据. c.整理数据计算物高. d.填写活动报告. 课题 测量示意图 测量数据 测量项目第一次第二次平均值 计算过程 结论 3.助学

(1)师助生: ①明了学情:了解学生是否能制作测角仪、设计测量方案,并积极参与活动. ②差异指导:全班学生每6人一组分组活动,指导学生制作测角仪、设计测量方案,督促学生认真完成活动. (2)生助生:小组内互相交流. 4.强化 (1)底部可以到达的物高的测量原理. (2)底部不可到达的物高的测量原理. 三、评价 1.学生学习的自我评价:这节课你有什么收获?有哪些不足? 2.教师对学生的评价: (1)表现性评价:从学生参与活动的积极性、动手操作能力等方面进行评价. (2)纸笔评价:活动报告评价检测. 3.教师的自我评价(教学反思). 本课时的数学活动是利用测角仪测量物高.整个活动过程应充分发挥学生的主动性,指导学生利用半圆形量角器、细线、小挂件制作一个简单的测角仪,对于在活动过程中有问题的学生及时给予帮助,增强与学生的互动和交流,将实际问题转化为数学模型,利用解直角三角形的知识进行解答. 一、基础巩固(60分) 1. (20分)某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综合实践活动,如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图,用测角仪测得旗杆顶端A的仰角记为α,CD为测角仪的高,测角仪CD的底部C处与旗杆的底部B处之间的距离记为CB,四个小组测量和记录数据如下表所示:

2018-2019学年新版人教版八年级数学上册全册导学案

2018—2019学年第一学期八年级数学教学案 ——数理化教研组 姓名 班级八(1)、(2)

教学目录 第11章三角形(8) 11.1 与三角形有关的线段(2) 11.1.1 三角形的边 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 11.1.3 三角形的稳定性 信息技术应用画图找规律 11.2 与三角形有关的角(3) 11.2.1 三角形的内角 7.2.2 三角形的外角 阅读与思考为什么要证明 11.3 多边形及其内角和(2) 11.3.1 多边形 11.3.2 多边形的内角和 数学活动 复习小结(1) 第12章全等三角形(11) 12.1 全等三角形(1) 12.2 三角形全等的判定(6) 信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质(2) 数学活动 复习小结(2) 第13章轴对称(14) 13.1 轴对称(3) 13.1.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 13.2 画轴对称图形(2) 信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形(5) 13.3.1 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 实验与探究三角形中边与角之间的不等关系 13.4 课题学习最短路径问题(2) 数学活动 复习小结(2) 第14章整式的乘法与因式分解(14)14.1整式的乘法(6) 14.1.1 同底数幂的乘法 14.1.2 幂的乘方 14.1.3 积的乘方 14.1.4 整式的乘法 14.2 乘法公式(3) 14.2.1 平方差公式 14.2.2 完全平方公式 阅读与思考杨辉三角 14.3 因式分解(3) 14.3.1 提公因式法 14.3.2 公式法 阅读与思考型式子的分解 数学活动 复习小结(2) 第15章分式(15) 15.1 分式(4) 15.1.1 从分数到分式 15.1.2 分式的基本性质 15.2 分式的运算(6) 15.2.1 分式的乘除 15.2.2 分式的加减 15.2.3 整数指数幂 阅读与思考容器中的水能倒完吗?15.3 分式方程(3) 数学活动 复习小结(2)

2019-2020九年级数学上册全册导学案

第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题. 2.掌握一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)及有关概念. 3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念. 重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索. 难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项. 一、自学指导.(10分钟) 问题1: 如图,有一块矩形铁皮,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 分析:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为__(100-2x)cm __,宽为__(50-2x)cm __.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x 2-75x +350=0__.① 问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛? 分析:全部比赛的场数为__4×7=28__. 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他__(x -1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x (x -1)2__场.列方程__x (x -1) 2=28__,化简整理,得__x 2-x -56=0__.② 探究: (1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__. (2)它们最高次数分别是几次?__2次__. 归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程. 1.一元二次方程的定义 等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式: ax 2+bx +c =0(a ≠0). 这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax 2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项. 点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a ≠0是一个重要条件,不能漏掉. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)

人教九年级下册数学-平行投影与中心投影导学案

29.1 投影 李度一中陈海思 第1课时平行投影与中心投影 【学习目标】 (一)知识技能: 1.了解投影的有关概念,能根据光线的方向辨认物体的投影。 2.了解平行投影和中心投影的区别。 3.了解物体正投影的含义,能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。(二)数学思考:在探究物体与其投影关系的活动中,体会立体图形与平面图形的相互转化关系,发展学生的空间观念。 (三)解决问题:通过对物体投影的学习,使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识。 (四)情感态度:通过学习,培养学生积极主动参与数学活动的意识,增强学好数学的信心。 【学习重点】 了解正投影的含义,能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 【学习难点】 归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影。 【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。 【学习过程】 【情境引入】 活动1 设问:你注意观察过周围物体在日光或灯光下的影子吗?影子与物体有着怎样的联系呢?教师展示实物及图片,学生观察、思考,感知物体与投影之间的关系。

学生讨论、发表观点;教师归纳。 总结出投影、投影线、投影面的概念。 总结:一般地,用光线照射物体,在上,得到的叫做物体的投影,叫做投影线,投影所在的叫做投影面。【自主探究】 活动2 教师给学生展示一组阳光下的投影图片,设问:下列投影中,投影线、投影面分别是什么?这些投影线有何共同特征?学生观察、思考、归纳,教师指导。 归纳总结:由形成的投影叫做平行投影。 试举出平行投影在生活中的应用实 例。。 活动3 出示一组灯光下的投影,学生观察投影线、投影面分别是什么?这些投影线有何共同特征?学生分析、回答。 归纳总结:由发出的光线形成的投影叫做中心投影。 试举出中心投影在生活中的应用实 例。。 活动4 出示教材88页练习:将物体与它们的投影用连接起来。 【合作探究】 活动5: 问题1

【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案

【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案 §1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1.认识并理解集合的含义,知道常用数集及其记法; 2.了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3.初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1. 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. (1)小于5的自然数; (2)某班所有高个子的同学; (3)不等式217x +>的整数解; (4)所有大于0的负数; (5)平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析:判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1.下列说法正确的是( ) (A )所有著名的作家可以形成一个集合 (B )0与 {}0的意义相同 (C )集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 (D )方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2.下列四个集合中,是空集的是 ( ) A .}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C .}0|{2 ≤x x D .}01|{2 =+-x x x 3.方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 ( ) A .)}1,1{( B .}1,1{ C .(1,1) D .}1{. 4.已知}1,0,1,2{--=A ,}|{A x x y y B ∈==,则B = 5.若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在花括号“{ }”内表示集合的方法.当集合中的元素 较少 时,用列举法表示方便. .例:x 2 -3x +2=0的解集可表示为{1,2}. 有些集合元素的个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3,…,100},{1,2,3,4,…,n ,…}. 小结 用列举法表示集合时,应把集合中的元素一一列举出来,并且写在大括号内,元素和元素之间要用“,”隔开.花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义,如实数集R 可以写为{实数},

北师大版下册数学九年级第1章导学案全集

1.1 锐角三角函数 第1课时正切与坡度 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义,并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗?你有哪些办法? 2、生活问题数学化: ⑴如图:梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的? ⑵以下三组中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?

二、直角三角形的边与角的关系(如图,回答下列问题) ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系? ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题: 例1、如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中,∠C=90°,BC=12cm ,AB=20cm ,求tanA 和tanB 的值. 四、随堂练习: 1、如图,△ABC 是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC 吗?

2、如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为55m,求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i=3:4的斜坡前进10米,则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ,则 tanθ=______. 5、如图,Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB的长为12 m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD,求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习:

2017-2018学年人教版五年级下册数学全册导学案

5.1.1 观察物体 班级姓名 【学习目标】 1.认识从不同方向观察拼摆的立体图形,所看到的图形是不同的。根据三个方向观察到的形状摆小正方体,结果只有一种。 2.学会通过从一个或多个方向观察到的图形来拼摆小立方体 【学习过程】 一、知识铺垫 1. 用手中的4块积木搭一个你喜欢的形状。 展示不同的摆法。 二、自主探究 1.现在有四块积木,如果我想摆出从正面看是这一形状(如图): 如果再加一个小正方体,要保证从正面看到的形状不变,你可以怎样摆?有几种摆法?同学们以小组为单位,合作解决。 2. 学生展示交流得出摆放的规律:。 3.一个立体图形从正面看到的平面图形如下图: 请你用手中的4块积木搭一个你喜欢的形状。 4.根据教材第2页例2,小组合作操作用小正方体搭出这个立体图形。 5. 汇报搭过程中的想法和做法。 6.总结:例1:先照图用三个小正方体摆好从正面看到的基本形状,然后余下的一个正方体可以摆在原来物体的前边或后边,都可让正视图保持不变。如果摆在前边,从正面能看到这个正方体,它必须与原来物体里的正方体对齐着摆;如果摆在后边,从正面不能看到这个正方体,它既可以与原来物体里的正方体对齐着摆,也可以不对齐着摆。 例2:可以先根据正面图形搭出符合正面的立体图形,再根据上面观察到的图形搭出符合上面的立体图形,最后根据左面图形确定最后的立体图形。根据从正面、左面、上面观察到的平面图形还原立体图形只有唯一的一种情况。

三、课堂达标 1.右边的图形,分别是从什么方向看到的?填一填 从()面看从()面看 从()面看 先让学生独立做出判断,再组织交流。 2.根据下面图形从不同方向看到的图形摆一摆 从正面看从左面看从上面看 3. 课本第2题:先让学生动手摆一摆,再组织交流摆法。通过交流,引导学生体会第(1)题中有多种不同的摆法,第(2)题是不能确定5个小正方体怎么样摆的。

初三数学导学案

宜宾县课改联盟学校九年级数学科导学案 一、学习目标 1.掌握利用图形的相似测量物体的高度,并画出实际问题的平面示意图。 二、学习重点 重点:用相似三角形的知识解决旗杆等物体的测量问题。 三、自主预习 1.旧知回顾 (1)什么是相似三角形?. (2)相似三角形的性质是什么? (3)相似三角形判定方法有哪些? 四、合作探究 1.请你想办法测量一下学校操场旗杆有多高? (1)如何利用太阳光照射的影子来测?能画出具体示意图吗? (2)需要哪些测量工具? (3)应测量哪些数据? (4).小组合作,看看还有哪些方法? 2.拿一根高 3.5米的竹竿立在离旗杆底部B27米的C处(如图)然后沿BC的方向走到D 处,这时目测旗杆顶部A与竹杆顶部E恰好在同一直线上,又测得C,D两点间的距离为3米,小芳的目高1.5米这样便可知道旗杆的高度。 你认为这种测量方法可行吗?请说明理由? A E F B C D

3.如图,小明在地面上放置了一个平面镜E 来测量旗杆AB 的高度,镜子与旗杆的距离EB=20米,镜子于小明的距离ED=2米,小明刚好从镜中看到旗杆的顶端A 。已知小明眼睛的高度CD=1.5米,则旗杆AB 的高度是多少米? 五、巩固反馈 1.某建筑物在地面的影长为36米,同时高为1.2米的侧杆影长为2米,那么该建筑物的高为_________米。 2.垂直于地面的竹竿的影长为12米,其顶端到期影子顶端的距离为13米,如果此时测得某小树的影长为6米,则树高___________米。 3.在平静的湖面上,有一枝红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被风吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深多少? 4.在一棵树的10米高B 处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处.另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,求这棵树的高度. 5.在河的两岸有对应的A 、B 两点,请你利用相似三角形的知识设计一个方案测量并求出AB 的距离。并说明理由。 C D E A B

【人教版】九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题. 2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念. 3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念. 重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索. 难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.

一、自学指导.(10分钟) 问题1: 如图,有一块矩形铁皮,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 分析:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为__(100-2x)cm __,宽为__(50-2x)cm __.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x 2-75x +350=0__.① 问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛? 分析:全部比赛的场数为__4×7=28__. 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他__(x -1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x (x -1)2__场.列方程__x (x -1)2 =28__,化简整理,得__x 2-x -56=0__.② 探究: (1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__. (2)它们最高次数分别是几次?__2次__.

初中数学导学案设计.docx

骄子教育年级册学科导学案主备人授课时间___________审批人 课题平行线的性质及平移 课型学习小授课组评分教师 导学方法先经历自主探究总结的过程,并独立完成自主学习部分,然后小组交流讨论,形成结论,最后完成当堂训练题。 学习目标 重点难点1.经历探索直线平行的性质的过程, 掌握平行线的三条性质。 2.能运用三条性质进行简单的推理和计算。 3会利用平行线的性质解决一些实际问题。 掌握平行线的性质,并且会运用它们进行简单推理和计算。 精要知识点 平行线的性质 1: 两条直线被第三条直线所截,如果 角相等。 课独简记为 ________________。 前自 表示为 : ∵______ ∴_________ 尝平行线的性质 2: 两条直线被第三条直线所截,如试果相等, 那么内错角相等。 简记为, _______________表示为 :∵________ ∴a b 1. 提前两天发 ,那么同位给学生完成。 2. 上课前教师 认真批阅,查看 学生完成情况 3. 给予评分 (全对的 3 分) 4. 教师上课前 提问检测学生 掌握情况对于 大部分学生不1明白的地方予 2以讲评( 5~8 分 钟)

平行线的性质 3: 两条直线被第三条直线所截, 如果 2a ,那么同旁内角1 互补。 b 简记为,__________________ 表示为 :∵ __________ ∴ 【点将题】 合 作 探 究课1. 如图所示, AB∥EF∥DC,EG∥DB, 则图中与∠ 1相等的角(∠ 1除外)共有()1、5 分钟独立做 题, 5 分钟后小 组分工讨论不 会的题目,教师 参与其中指导 2、寻找帮助: A . 6个 B .5个 C .4个 D .2个对于小组讨论 无法完成的题 目可请求别的 小组同学解答,2.如图,已知 AB∥CD,则图中与∠ 1互补的角共有 ()帮助解答问题 的小组讲解正 确予以加 5 分奖 励,或者寻求老 师帮助,但加分 要减半 3、通过以上两A.5个 B .4个 C . 3个 D . 2个步能够全部理 解正确的小组 每人加 2 分 中3.如图, l 1∥12,l 为11、 12的截线,∠ 1=70°,则下列结论中不正确的个数有:①∠ 5=70°;②∠ 3=∠6; ③∠ 2+∠6=220°;④∠ 4+∠7=180°()

北师大版九年级数学上册导学案

北师大版九年级数学上册课程纲要 平陌镇初级中学 ?课程类型:国家课程,必修课 ?设计教师:九年级数学组 ?适用年级:九年级 ?授课时间:48—53课时 【课程目标】 第一章证明(二) 1.了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式; 2.结合实例体会反证法的含义; 3.能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线(高)、两底角的平分线相等,并由特殊结论归纳出一般结论; 4.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理; 5.会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题; 6.掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理; 7.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立; 8.能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题; 9.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论; 10.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线;已知底边及底边上的高,能利用尺规作出等腰三角形; 11.能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论; 12.能够利用尺规作已知角的平分线; 13.根据中垂线判定定理证明三角形三边中垂线共一点;根据角平分线判定定理证明三角形三内角角平分线共一点; 第二章一元二次方程 14.会用开平方法解形如(x+m)2=n (n≥0)的方程; 15.理解配方法,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程; 16.体会转化的数学思想,用配方法解一元二次方程的过程; 17.利用配方法解数字系数的一般一元二次方程;

18.经历到方程解决实际,问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型,培养学生数学应用的意识和能力; 19.进一步掌握用配方法解题的技能; 20.通过推导求根公式,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力; 21.会用公式法解一元二次方程; 22.会用分解因式法解系数简单的一元二次方程; 23.掌握黄金分割中黄金比的来历; 24.通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力; 第三章证明(三) 25.体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法; 26.能运用综合法证明平行四边形的性质定理,及其它相关结论; 27.能运用综合法证明平行四边形的判定定理; 28.能运用综合法证明矩形性质定理和判定定理; 29.能运用综合法证明菱形的性质定理和判定定理; 30.能运用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论; 第四章视图与投影 31.通过具体活动,积累数学活动经验,进一步增强学生的动手实践能力和数学思维能力,发展学生的空间观念; 32.通过学习和实践活动,激发学生对视图与投影学习的好奇心,体会数学与生活的联系; 33.通过实例能够判断简单物体的三视图,能根据三种视图描述基本几何体或实物原型,实现简单物体与其三种视图之间的相互转化; 34.会画圆柱、三棱柱、四棱柱、圆锥、球的三视图; 35.通过实例了解中心投影和平行投影的含义及其简单应用,初步进行物体与其投影之间的相互转化; 36.通过实例了解视点、视线、盲区的含义及其在生活中的应用; 第五章反比例函数 37.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程,抽象出反比例函数的概念,并结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义; 38.能画出反比例函数的图象,根据图像和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质; 39.逐步提高观察和归纳分析能力,体验数形结合的数学思想方法;

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