2012年高考数学二轮专题函数与导数
函数与导数 2012.4.3
【考点预测】
1.对于函数的定义域、值域、图象,一直是高考的热点和重点之一,大题、小题都会考查,渗透面广.特别是分段函数的定义域、值域、解析式的求法是近几年高考的热点.
3.由指数函数、对数函数的图象入手,推知单调性,进行相关运算,同时与导数结合在一起的题目是每年必考的内容之一,要在审题、识图上多下功夫,学会分析数与形的结合,把常见的基本题型的解法技巧理解好、掌握好.
4.函数的单调性、最值是高考考查的重点,其考查的形式是全方位、多角度,与导数的有机结合体现了高考命题的趋势.
5.函数的奇偶性、周期性是高考考查的内容之一,其考查形式比较单一,但出题形式比较灵活,它主要出现在选择题、填空题部分,属基础类题目,复习时要立足课本,切实吃透其含义并能准确进行知识的应用.
6.应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用,仍将是高考压轴题.
【要点梳理】
1.求定义域、值域的方法有:配方法、不等式法、换元法、分离常数法等;求函数解析式的方法有:定义法、换元法、待定系数法、方程组法等;解决实际应用题的一般步骤是:分析实际问题,找出自变量,写出解析式,确定定义域,计算.
2.几种常见函数的数学模型:平均增长率问题;储蓄中的得利问题;通过观察与实验建立的函数关系;根据几何与物理概念建立的函数关系.
3.指数与对数函数模型是函数应用的基本模型,经常与导数在一起进行考查,应引起我们的高度重视.
4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,应熟练掌握.函数的零点、二分法、函数模型的应用是高考的常考点和热点,应认真研究、熟练掌握.
5.理解函数的单调性、奇偶性、最值及其几何意义,会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值,常与导数结合在一起考查,是高考的常考点.
6.对于幂指对函数的性质,只需立足课本,抓好基础,掌握其单调性、奇偶性,通过图象进行判断和应用,常与导数结合在一起考查.
7.导数的概念及运算是导数的基本内容,每年必考,一般不单独考查,它主要结合导数的应用进行考查. 8.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一,经常与解析几何结合在一起考查.
9.利用导数研究函数的单调性、极值、最值及解决生活中的优化问题是近几年高考必考的内容之一.
10.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.
11.求可导函数极值的一般步骤和方法:(1)求导数;(2)判断函数单调性;(3)确定极值点;(4)求出极值.
12.求可导函数最值的一般步骤和方法:(1)求函数极值;(2)计算区间端点函数值;(3)比较极值与端点函数值,最大者为最大值,最小者为最小值.
【考点在线】
考点一 函数的定义域
函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法,并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例1.已知函数()
f x =
M ,g(x)=ln(1)x +的定义域为N ,则M ∩N=( )
(A ){|1}x x >- (B ){|1}x x < (C ){|11}x x -<< (D )? 【答案】C
考点二 函数的性质(单调性、奇偶性和周期性)
函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
例2.(2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中,既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是( ) A 3
x y = B 1+=x y C 12
+-=x y D x
y -=2 【答案】B
【备考提示】:熟练函数的单调性、奇偶性方法是解答好本题的关键. 练习2: (2011年高考江苏卷2)函数)12(log
)(5
+=x x f 的单调增区间是__________ 【答案】1(,)2
-+∞
【解析】本题考察函数性质,属容易题.因为210x +>,所以定义域为1(,)2
-+∞,由复合函数的单调性知:函数
)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是1(,)2
-
+∞.
例3.(2009年高考山东卷文科12)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.(25)(11)(80)f f f -<<
B. (80)(11)(25)f f f <<-
C. (11)(80)(25)f f f <<-
D. (25)(80)(11)f f f -<< 【答案】D 【解析】因为(8)(4)[()]f x f x f
x f x +=-+=--=,所以8是该函数的周期;又因为
(4)()(f x f x f x -=-=-,所以2x =-是该函数的对称轴,又因为此函数为奇函数,定义域为R ,所以(0)0f =,且
函数的图象关于2x =对称, 因为函数()f x 在区间[0,2]上是增函数,所以在[0,2]上的函数值非负,故(1)0f >,所以
(25)(25)(1)0f f f -=-=-<,(80)(0)0f f ==,(11)(3)0f f =>,所以(25)(80)(11)f f f -<<,
【备考提示】:函数的奇偶性、单调性、周期性,是高考的重点和热点,年年必考,必须熟练掌握.
练习3:(2011年高考全国卷文科10)设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5()2
f -=( )
A.-
12
B.1 4
- C.
14
D.
12
【答案】A
考点三 函数的图象
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,读者要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想. 例4.(2011年高考山东卷理科9文科10)函数2sin 2
x y x =
-的图象大致是( )
【解析】因为'
12c o s 2
y x =
-,所以令'
12c o s 02
y x =
->,得1cos 4
x <
,此时原函数是增函数;令
'
12cos 02
y x =
-<,得1cos 4
x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得选C 正确.
练习4:(2010年高考山东卷文科11)函数2
2x
y x =-的图像大致是( )
【解析】因为当x=2或4时,2x -2x =0,所以排除B 、C ;当x=-2时,2x -2
x =14<04
-,故排除D ,所以选A.
考点四 导数的概念、运算及几何意义
了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例5.(2011年高考山东卷文科4)曲线2
11y x =+在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 【答案】C
【解析】因为'
2
3y x =,切点为P (1,12),所以切线的斜率为3,故切线方程为3x-y+9=0,令x=0,得y=9,故选C. 【备考提示】:导数的运算及几何意义是高考的热点,年年必考,熟练导数的运算法则及导数的几何意义是解答好本类题目的关键.
练习5:(2011年高考江西卷文科4)曲线x
y e =在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A.1 B.2 C.e D.
1e
【答案】A 【解析】1,0,0
'===e x e y x .
考点五 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题: 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值); 5.构造函数证明不等式.
例6.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值.
(Ⅰ)求a 、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的[03]x ∈,,都有2
()f x c <成立,求c 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)2
()663f x x ax b '=++,
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有(1)0f '=,(2)0f '=.
即6630241230a b a b ++=??
++=?,
.
解得3a =-,4b =.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,32
()29128f x x x x c =-++,
2
()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--.当(01)x ∈,时,()0f x '>;
当(12)x ∈,时,()0f x '<;当(23)x ∈,时,()0f x '>.
所以,当1x =时,()f x 取得极大值(1)58f c =+,又(0)8f c =,(3)98f c =+.
则当[]03x ∈,
时,()f x 的最大值为(3)98f c =+.因为对于任意的[]03x ∈,,有2
()f x c <恒成立, 所以 2
98c c +<,解得 1c <-或9c >,因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ,,. 【备考提示】:导数的应用是导数的主要内容,是高考的重点和热点,年年必考,必须熟练掌握. 练习6: 设函数f (x )=ax -(a +1)ln(x +1),其中a ≥-1,求f (x )的单调区间. 【解析】由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞,且'1()(1),1
ax f x a x -=≥-+
(1)当10a -≤≤时,'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减,(2)当0a >时,由'()0,f x =解得1.x a
=
'
()f x 、()f x 随
x 的变化情况如下表
从上表可知当1(1,)x a
∈-时,'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a
-上单调递减.
当1(,)x a
∈+∞时,'()0,f x >函数()f x 在1(,)a
+∞上单调递增.综上所述:当10a -≤≤时,函数()f
x 在(1,)-+∞上单调递减.
当0a >时,函数()f x 在1(1,)a
-上单调递减,函数()f x 在1(,)a
+∞上单调递增.
考点六 函数的应用 建立函数模型,利用数学知识解决实际问题. 例7. (2011年高考山东卷文科21)
某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为
803
π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用
为3千元,半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >.设该容器的建造费用为y 千元.(Ⅰ)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .
【解析】(I )设容器的容积为V ,
由题意知2
3
4
80,,33V r l r V π
ππ=+
=
又故3
22
24
80
4
420
3
()333V r
l r r r
r r
ππ-
=
=
-
=
- 由于2l r ≥因此02.r <≤所以建造费用22
24202342()34,3y rl r c r r r c r
ππππ=?+=?-?+因此
2
1604(2),0 2.y c r r r
ππ=-+<≤
(II )由(I )得322
1608(2)20
'8(2)(),0 2.2
c y c r r r r r c πππ-=--=-<<- 由于3,20,c c >->所以
当3
200,2
r r c -
==
-时
,m =则0m >
所以2
2
2
8(2)
'()().c y r m r rm m r
π-=
-++
(1)当9022
m c <<>
即时,∈∈当r=m 时,y'=0;
当r (0,m)时,y'<0;当r (m,2)时,y'>0.
所以r m =是函数y 的极小值点,也是最小值点。 (2)当2m ≥即932
c <≤
时,当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减,
所以r=2是函数y 的最小值点,综上所述,当932
c <≤
时,建造费用最小时2;r =
练习7:(2011年高考江苏卷17)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD 四个点重合于图中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm. (1)若广告商要求包装盒侧面积S (cm 2
)最大,试问x 应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V (cm 3
)最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值
.
【解析】(1)由题意知,
,
)x -,所以包装盒侧面积为
S=?)x -=2
308(30)8(
)82252
x x
x x +--≤?=?,当且仅当30x x =-,即15x =时,等号成立,
所以若广告商要求包装盒侧面积S (cm 2
)最大,x 应15cm.
(2)包装盒容积V=2
2x ?)x -=32
-+,(030)x <<
所以'
V =2
-+=(20)x --,令'0V >得020x <<; 令'
0V <得2030x <<,
所以当20x =时, 包装盒容积V 取得最大值,此时的底面边长为,高为,包装盒的高与底面边长的比
值为
12
.
考点七(理科) 定积分
例8. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )
(A )
103
(B )4 (C )
163
(D )6【答案】C
【解析】因为??
?-==
2
x y x
y 的解为??
?==2
4y x ,所以两图像交点为)2,4(,于是面积
?
?
=
--
=
4
4
)2(dx x dx x S 3
160
4)
22
1(
43
22
2
3
=
--x x x 故选C
练习8: (2011年高考湖南卷理科6)由直线0,3
,3
==
-
=y x x π
π
与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为( )
A.
2
1 B. 1 C.
2
3 D. 3 【答案】D
【解析】由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=3)023
(20
3sin 2cos 2
3
=
-?==?
π
π
x xdx 。故选D.
【易错专区】 问题1:函数零点概念
例1.函数2
()712f x x x =-+的零点为 .
解析:令2
()712f x x x =-+=0,解得:2x =或5x =
问题2:零点定理
例2.已知2
10mx x ++=有且只有一根在区间(0,1)内,求m 的取值范围 【解析】:设2
()1f x m x x =++,(1)当m =0时方程的根为-1,不满足条件. (2)当m ≠0∵2
10mx x ++=有且只有一根在区间(0,1)内又(0)f =1>0
∴有两种可能情形①(1)0f <得m <-2或者②1(1)02f m
=-且0<<1得m 不存在
综上所得,m <-2
【名师点睛】:对于一般()f x ,若()()0f a f b ?<,那么,函数()y f x =在区间(a,b )上至少有一个零点,但不一定唯一.对于二次函数()f x ,若()()0f a f b ?<则在区间(a,b )上存在唯一的零点,一次函数有同样的结论成立.但方程()f x =0在区间(a,b )上有且只有一根时,不仅是()()0f a f b ?<,也有可能()()0f a f b ?≤.如二次函数图像是
下列这种情况时,就是这种情况.
由图可知()f x =0在区间(a,b )上有且只有一根,但是()()0f a f b ?≤ 【考题回放】
1. (2011年高考海南卷文科10)在下列区间中,函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A.1(
,0)4
B.1(0,
)4
C. 11(
,)42 D.13
(,)24
【答案】C 【解析】因为(0)20f =-<,14
1
()204f e =-<,1
21
()102
f e =->,所以选C.
2.(2011年高考安徽卷文科5)若点(a,b)在lg y x = 图像上,a ≠1,则下列点也在此图像上的是( )
(A )(
a
1,b ) (B) (10a,1-b) (C) (
a
10,b+1) (D)(a 2,2b) 【答案】D
【解析】由题意lg b a =,lg lg b a a 2
2=2=,即(
)
2
,2a b 也在函数lg y x = 图像上. 3.(2011年高考安徽卷文科10)函数()()n
f x ax x 2
=?1-在区间〔0,1〕上的图像如图
所示,则n 的值可能是
(A )1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】A
【解析】代入验证,当1n =时
()()()f x ax x a x x x 232
=?1-=-2+,则
()()f x a x x 2
'=3-4+1,由()()f x a x x 2
'=3
-4+1=0
可知,121
,13x x =
=,结合图像可知函数应在10,3??
???
递增,在1
,13??
???
递减,即在13x =取得最大值,由()()f a 21111=??1-=3332,知a 存在.故选A.
4. (2011年高考福建卷文科8)已知函数f (x )=20,1, 0
x x x x >??
+≤?,。若f(a)+f(1)=0,则实数a 的值等于
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3 【答案】A
【解析】由题意知(1)2,f =因为()(1)0f a f +=,所以()20f a +=.当0a >时,()2,220a
a
f a =+=无解;当
0a ≤时,()1f a a =+,所以120a ++=,解得3a =-.
5. (2011年高考海南卷文科12)已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2
()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有( )
A.10个
B.9个
C.8个
D.1个 【答案】A 6. (2011年高考天津卷文科5)已知2log 3.6,a =4log 3.2,b =4log 3.6,c =则( )
A.a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. c a b >> 【答案】B
【解析】因为1a >,,b c 都小于1且大于0,故排除C,D;又因为,b c 都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以b c <,故选B.
7. (2011年高考四川卷文科4)函数1
()12
x
y =+的图像关于直线y=x 对称的图像大致是
( )
8.(2011年高考湖南卷文科7)曲线sin 1sin cos 2
x y x x
=
-
+在点(
,0)4
M π
处的切线的斜率为( )
A .12
-
B .
12
C
.2
-
D
.
2
答案:B
解析:2
2
cos (sin cos )sin (cos sin )
1
'(sin cos )
(sin cos )
x x x x x x y x x x x +--=
=
++,所以
2
4
1
1'|
2
(sin
cos
)
4
4
x y π
π
π
=
==+
9.(2011年高考湖南卷文科8)已知函数2
()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A
.[22-
+ B
.(22-+ C .[1,3] D .(1,3) 答案:B
解析:由题可知()11
x f x e =
->-,22
()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤,若有()(),
f a
g b =则
()(1,1]g b ∈-,即2
431b b -+->-,解得22b -<<+
11.(2011年高考辽宁卷文科6)若函数 ()(21)()
x
f x x x a =
+- 为奇函数,则a=( )
(A)
12
(B)
23
(C)
34
(D) 1 答案: A
解析:因为f (x )=
x
2x 1x-a +()()
为奇函数,所以f(-2)=-f(2),即
()
()
223252a a -=-
----,解得12
a =
。
12.(2011年高考重庆卷文科3)曲线22
3y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为( ) A .31y x =- B .35y x =-+
C .35y x =+
D .2y x = 【答案】A
13. (2011年高考山东卷文科16)已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*
0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 . 【答案】2
【解析】方程log (0a 1)a x x b a +-≠>,且=0的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图象与函数
(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*
0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图象,因为当(23)x a a =<<时,1y =,
此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =.
14.(2011年高考湖南卷文科12)已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 .答案:6 解析:(2)(2)93,(2)6g f f -=-+=-=-则,又()f x 为奇函数,所以(2)(2)6f f =--=.
15.(2011年高考陕西卷文科11)设lg ,0()10,0
x
x x f x x >?=?
≤? 则((2))f f - =______.【答案】1
【解析】:2
11((2))(10
)(
)lg
2100
100
f f f f --====-.
16.(2011年高考辽宁卷文科16)已知函数f (x )=e x -2x+a 有零点,则a 的取值范围是___________.答案: (],2ln 22-∞- 解析:函数f (x )=e x -2x+a 有零点,即方程f (x )=0有解,即-a =e x -2x 有解,设g(x)= e x -2x,
因为g ’(x)= e x -2,当x>ln2时g ’(x)>0, 当x 17.(2011年高考浙江卷理科22)(本题满分14分)设函数2 ()()ln ()f x x a x a R =-∈(Ⅰ)若x e =为()y f x =的极值点,求实数a (Ⅱ)求实数a 的取值范围,使得对任意(0,3]x e ∈恒有2 ()4f x e ≤成立.注:e 为自然对数的底数 ②当13x e <≤ 时,由题意,首先有2 2 (3)(3)ln 34f e e a e e =-≤ 解得33e a e - ≤≤+ 由(Ⅰ)知 ()()(2ln 1)a f x x a x x '=-+- 令()2ln 1a h x x x =+- 则(1)2ln 1110h a a =+-=-<,()2ln 0h a a => 且(3)2ln(3)12ln(3)133a h e e e e e =+- ≥+ - 2(ln 30e =- > 又()h x 在(0,)+∞ 内单调递增,所以函数()h x 在(0,)+∞内有唯一零点,记此零点为0x ,则013x e <<, 01x a <<从而,当0(0,)x x ∈ 时,()0f x '> 当0(,)x x a ∈ 时()0f x '< 当(,)x a ∈+∞ 时 ()0f x '>即()f x 在0(0,)x 内单调递增,在0(,)x a 内单调递减, 在(,)a +∞ 内单调递增。所以要使2 ()4f x e ≤对(1,3]x e ∈恒成立, 只要2200022 ()()ln 4,(1)(3)(3)ln(3)4(2) f x x a x e f e e a e e ?=-≤?=-≤?成立,由000 ()2ln 10a h x x x =+- =,知0002ln (3)a x x x =+ 将(3)代入(1)得0 2 3 2 04ln 4.x x e ≤又01x >。注意到函数23 ln x x 在[1,)+∞内单调递增,故01x e <≤ 再由(3)以及函数2ln x x x +在(1,)+∞ 内单调递增,可得13a e <≤ , 由(2)解得33 e a e - ≤≤+ ,所以33e a e - ≤≤ 综上,a 的取值范围为33 e a e - ≤≤. 18. (2011年高考全国新课标卷文科21)(本小题满分12分) 已知函数x b x x a x f + += 1 ln )(,曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为032=-+y x , (1)求b a ,的值(2)证明:当1,0≠>x x 时,x x x f -> 1ln )( 【高考冲策演练】 一、选择题: 1.(2010年高考山东卷文科3)函数()()2log 31x f x =+的值域为( ) A. ()0,+∞ B. )0,+∞?? C. ()1,+∞ D. )1,+∞?? 【答案】A 【解析】因为311x +>,所以()()22log 31log 10x f x =+>=,故选A 。 2.(2010年高考天津卷文科4)函数f (x )=2x e x +-的零点所在的一个区间是( ) (A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2) 【答案】C 【解析】因为0 (0)210f e =-=-<,1 (1)1210f e e =+-=->,所以选C. 3.(2010年高考天津卷文科6)设5 54a log 4b log c log == =25,(3),,则( ) (A)a 【解析】因为55a log 4log 5=1,=<2 2 55(log 3)(log 5)=1,b =<5 44c log log 41=>=, 所以c 最大,排除A 、B ;又因为a 、b (0,1)∈,所以a b >,故选D. 4.(2010年高考福建卷文科7)函数2x +2x-3,x 0 x)=-2+ln x,x>0 f ?≤??(的零点个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【解析】当0x ≤时,令2 230x x +-=解得3x =-; 当0x >时,令2ln 0x -+=解得100x =,所以已知函数有两个零点,选C 。 5.(2010年高考山东卷文科8)已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为 3 1812343 y x x =- +-,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) (A )13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件 【答案】C 【解析】令导数' 2 810y x =-+>,解得09x <<;令导数' 2 810y x =-+<,解得9x >,所以函数 3 1812343 y x x =- +-在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,)+∞上是减函数,所以在9x =处取极大值,也是最大 值,故选C 。 6.(2010年高考江西卷文科4)若函数4 2 ()f x ax bx c =++满足'(1)2f =,则'(1)f -=( ) A .1- B .2- C .2 D .0 【答案】B 【解析】' 3 ()42,f x ax bx =+则此函数为奇函数,所以' ' (1)(1)2f f -=-=-。 7.(2010年高考辽宁卷文科10)设25a b m ==,且 112a b + =,则m =( ) (A (B )10 (C )20 (D )100 解析:选A. 2 11log 2log 5log 102,10,m m m m a b + =+==∴= 又0,m m >∴= 8.(2010年高考辽宁卷文科12)已知点P 在曲线41 x y e =+上,α为曲线在点P 处的切线 的倾斜角,则α的取值范围是( ) (A)[0, 4 π ) (B)[ ,)42 ππ (C ) 3( ,]24 ππ (D) 3[ ,)4 ππ 解析:选D.244 121 2x x x x x e y e e e e '=- =- ++++ ,12,10x x e y e '+≥∴-≤< , 即1tan 0α-≤<,3[,)4 παπ∴∈ 9. (2010年高考宁夏卷文科4)曲线2 y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为( ) (A )1y x =- (B )1y x =-+ (C )22y x =- (D )22y x =-+ 【答案】A 解析:2 32y x '=-,所以1 1x k y =' ==,所以选A . 10. (2010年高考宁夏卷文科9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x ≥0),则(){}20x f x ->=( ) (A ){}24x x x <->或 (B ){} 04 x x x <>或 (C ){}06 x x x <>或 (D ){} 22 x x x <->或 【答案】B 解析:当0x ≥时,()2402x f x x =->?>,又由于函数是偶函数,所以x R ∈时,()0f x >的解集为{2x x <-或2}x >,故(2)0f x ->的解集为{0x x <或4}x >. 另解:根据已知条件和指数函数2x y =的图像易知()240x f x =->的解集为{2x x <-或2}x >,故(2)0 f x ->的解集为{0x x <或4}x >. 11.(2010年高考广东卷文科2)函数)1lg()(-=x x f 的定义域是( ) A.),2(+∞ B. ),1(+∞ C. ),1[+∞ D. ),2[+∞ 解:01>-x ,得1>x ,选B. 12. (2010年高考广东卷文科3)若函数x x x f -+=3 3 )(与x x x g --=3 3)(的定义域均为R ,则( ) A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数 B.)(x f 为奇函数,)(x g 为偶函数 C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数 D.)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数 解:由于)(3 3)() (x f x f x x =+=----,故)(x f 是偶函数,排除B 、C 二.填空题: 13.(2010年高考陕西卷文科13)已知函数f (x )=2 32,1, ,1, x x x ax x +?+≥?若f (f (0))=4a ,则实数a = . 【答案】2 三.解答题: 14. 在某产品的制造过程中,次品率p 依赖于日产量x , 已知 =p 1 ,101x ? ≤? -??>? 当0 其中x 为正整数,又该厂每生产一正品可赢利A 元,但每生产出一件次品就要损失3 A 元. (1) 将该厂的日赢利额T (元)表示为日产量x (个)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少? 【解析】(1)易知()4(1)[1],0,100,3 3(101) A T Ax p xp Ax x x N x * =-+=- ∈∈-. (2)求T 的最大值是个难点.须变换: ]}) 101(3404)101[(3 4101{]3 4) 101(3404[]) 101(34[x x A x x A x x x A T -+ --+ =+-- =-- =易知当且仅当≈- =3 404101x 89.4时, T 最大.但是x N *∈,)90(),89(f f 两者的最大值一定是T 的最大值吗?这是本题的第二个难点.因此,必须证明函数 )(x T 在(0,3 404101- )上是增函数,而在( 3 404101- ,100)上是减函数. 15.已知).1(1 )(-≠+= x x x x f )()1(x f 求的单调区间; (2)若.4 3)()(:,)(1,0> +-= >>c f a f b b a c b a 求证 【解析】解:(1) 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 1 11)(+- =x x f , .),1()1,()(上分别单调递增 和在区间+∞---∞∴x f (2)首先证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有事实上, )(1 1 1 1 )()(y x xy f y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y x x y f x f ++=+++++> ++++++= ++ += +. 而 ()),()1(,y x f y x xy f y x y x xy +>+++>++知由 )()()(y x f y f x f +>+∴ , 04) 2 ( 1)(12 2 >= +-≥-= a b b a b b a c .342 2 2 ≥++≥+∴a a a c a 4 3)3()()()(=≥+>+∴f c a f c f a f 16.某人上午7时乘摩托艇以匀速V 千米/小时(4≤V ≤20)从A 港出发前往50千米处的B 港,然后乘汽车以匀速W 千米 /小时(30≤W ≤100)自B 港向300千米处的C 市驶去,在同一天的16时至21时到达C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、y 小时,若所需经费)8(2)5(3100y x p -+-+=元,那么V 、W 分别为多少时,所需经费最少?并求出这时所花的经费 . 17.(2010年高考山东卷文科21)(本小题满分12分) 已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+ -∈ (I )当1a =-时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程; (II )当12 a ≤ 时,讨论()f x 的单调性. 【解析】解:(Ⅰ) 当=-=)(1x f a 时,),,0(,12ln +∞∈-++x x x x 所以 )('x f 因此,,)(12=f 即 曲线.1))2(2)(,处的切线斜率为,在点(f x f y =……………… 又 ,22ln )2(+=f 所以曲线 . 02ln , 2)22(ln ))2(2)(=+--=+-=y x x y f x f y 即处的切线方程为 ,在点( (Ⅱ)因为 11ln )(--+ -=x a ax x x f , 所以 2 11)('x a a x x f -+ -= 2 2 1x a x ax -+-- = ),0(+∞∈x , 令 ,1)(2 a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x (1) 当a=0时,g(x)=-x+1,x ∈(0,+∞), 所以 当x ∈(0,1)时,g(x)>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减 (2) 当a ≠0时,由f(x)=0, 即 ax2-x+1=0, 解得 x 1=1,x 2=1/a-1 ① 当a=1/2时,x 1= x 2, g(x)≥0恒成立,此时f(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; ② 当01>0 x ∈(0,1)时,g(x)>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减 x ∈(1,1/a-1)时,g(x)>0,此时f(x) 高中高考数学专题复习<函数与导数> 1.下列函数中,在区间()0,+∞上是增函数的是 ( ) A .1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2.函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A .y 轴对称 B .直线y =-x 对称 C .坐标原点对称 D .直线y =x 对称 3.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A .y =x -1与y .y y C .y =4lgx 与y =2lgx 2 D .y =lgx -2与y =lg x 100 4.下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数,且在)0,(-∞上为减函数的是( ) A .x x f ?? ? ??=23)( B .1)(2+=x x f C.3)(x x f -= D.)lg()(x x f -= 5.已知0,0a b >>,且12 (2)y a b x =+为幂函数,则ab 的最大值为 A . 18 B .14 C .12 D .34 6.下列函数中哪个是幂函数( ) A .3 1-??? ??=x y B .2 2-?? ? ??=x y C .3 2-=x y D .()3 2--=x y 7.)43lg(12x x y -++=的定义域为( ) A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8.如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数,则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9.曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( ) 高中数学教案—导数、定积分 一.课标要求: 1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ,y=x ,y=x 2,y=x 3 ,y=1/x ,y=x 的导数; ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax+b ))的导数; ③ 会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二.命题走向 导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三.要点精讲 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值 x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时, x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 高考数学二轮复习专题 02:函数与导数 A. B. C. D. 高考数学真题汇编——函数与导数 1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.【2018年理天津卷】已知,,,则a,b,c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合对数函数的性质可知:,, , 据此可得:.本题选择D选项. 点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确. 3.【2018年理新课标I卷】已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C. 点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 4.【2018年理新课标I卷】设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果. 5.【2018年全国卷Ⅲ理】设,,则 高中数学(函数和导数)综合练习含解析 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(题型注释) 1.已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈.3253()422 g x x x x =-+-+ (1)当1a =时,求证:()12,1,x x ?∈+∞,均有12()()f x g x ≥ (2)当[)1,x ∈+∞时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 2.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=,当0≠x 时,0)()(>+'x x f x f ,若)1(f a =,)2(2--=f b , )21(ln )21(ln f c =,则c b a ,,的大小关系正确的是( ) A .b c a << B .a c b << C .c b a << D .b a c << 3.函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值,则实数a 的取值范围是( ) A .[)0,4 B .()0,1 C .()0,4 D .()4,4- 4.在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ,若数列{}n x 是等差数列,数列{}n y 是等比数列,则函数()y f x =的解析式可能为( ) A .()21f x x =+ B .()2 4f x x = C .()3log f x x = D .()34x f x ??= ??? 5.设:x p y c =是R 上的单调递减函数;q :函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R .如果“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题,则正实数c 的取值范围是( ) A .1,12?? ??? B .1,2??+∞ ??? C .[)10,1,2??+∞ ??? D .10,2?? ??? 6.如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围 是( ) A .{2}∪(4,)+∞ B .(2,)+∞ C .{2,4} D .(4,)+∞ 第三课时函数与导数的应用 1.若函数f (x )=ax 4+bx 2+c 满足f ′(1)=2,则f ′(-1)=( ) A .-1 B .-2 C .2 D .0 2.已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系 式为y =-13 x 3 +81x -234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( ) A .13万件 B .11万件 C .9万件 D .7万件 3:由直线x =-π3,x =π 3 ,y =0与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B .1 C.3 2 D.3 4.若函数 y =f (x )在R 上可导,且满足不等式xf ′(x )>-f (x )恒成 立,且常数a ,b 满足a >b ,则下列不等式一定成立的是( ) A .af (a )>bf (b ) B .af (a ) 2019高考数学函数与导数复习指导 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中,函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分。一般为2个选择题或2个填空题,1个解答题,而且常考常新。 在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。 在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在: 1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象。 2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。 3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查。 4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。 5.涌现了一些函数新题型。 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素 养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。 家庭是幼儿语言活动的重要环境,为了与家长配合做好幼儿阅读训练 工作,孩子一入园就召开家长会,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长,要求孩子回家向家长朗诵儿歌,表演故事。我和家长共同配合,一道训练,幼儿的阅读能力提高很快。 7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。 “师”之概念,大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰:“师教人以道者之称也”。“师”之含义,现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称,隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》,有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制,老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”,其只是“老”和“师”的复合构词,所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称,虽能从其身上学以“道”,但其不一定是知识的传播者。今天看来,“教师”的必要条件不光是拥有知识,更重于传播知识。 8.求极值,函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合。 多项式函数的导数 教学目的:会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点:导数运算法则的应用 教学难点:多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2)(x x f =,由定义求)4()(/ /f x f ,并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数: (1)常数函数C y = (2)函数)(*N n x y n ∈= 二、新课讲授 1、两个常用函数的导数: 2、导数的运算法则: 如果函数)()(x g x f 、有导数,那么 也就是说,两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或差;常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数. 例1:求下列函数的导数: (1)37x y = (2)43x y -= (3)3 534x x y += (4))2)(1(2-+=x x y (5)b a b ax x f 、()()(2+=为常数 ) 例2:已知曲线331x y =上一点)3 82(,P ,求: (1)过点P 的切线的斜率; (2)过点P 的切线方程. 三、课堂小结:多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习:1、求下列函数的导数: (1)28x y = (2)12-=x y (3)x x y +=2 2 (4)x x y 433-= (5))23)(12(+-=x x y (6))4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A (4,0),B (2,4),求: (1)割线AB 的斜率AB k ;(2)过点A 处的切线的斜率AT k ;(3)点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M (2,6)处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数: (1)1452+-=x x y (2)7352++-=x x y (3)101372-+=x x y (4)333x x y -+= (5)453223-+-=x x x y (6))3)(2()(x x x f -+= (7)1040233)(34-+-=x x x x f (8)x x x f +-=2)2()( (9))3)(12()(23x x x x f +-= (10)x x y 4)12(32-+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线241x y = 在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323+-=x x y 在点P (2,-3)处的切线的方程。 高二数学 几种常见函数的导数 一、教学目标:熟记公式(C )'=0 (C 为常数), (x )'=1, ( x 2 )'=2x , 2'11x x -=??? ??.x x 21 )'(= 二、教学重点:牢固、准确地记住五种常见函数的导数,为求导数打下坚实的基础. 教学难点:灵活运用五种常见函数的导数. 三、教学过程: (一)公式1:(C )'=0 (C 为常数). 证明:y =f (x )=C , Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0, ,0=??x y .0lim ')('0=??==∴→?x y C x f x 也就是说,常数函数的导数等于0. 公式2: 函数x x f y ==)(的导数 证明:(略) 公式3: 函数2)(x x f y ==的导数 公式4: 函数x x f y 1)(==的导数 公式5: 函数x x f y ==)(的导数 (二)举例分析 例1. 求下列函数的导数. ⑴3x ⑵21x ⑶x 解:⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='?? ? ??21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(2 1'x 12121-=x 2121-=x .21x = 练习 求下列函数的导数: ⑴ y =x 5; ⑵ y =x 6; (3);13x y = (4).3x y = (5)x x y 2= 例2.求曲线x y 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。 例3.已知曲线2x y =上有两点A (1,1),B (2,2)。 求:(1)割线AB 的斜率; (2)在[1,1+△x ]内的平均变化率; (3)点A 处的切线的斜率; (4)点A 处的切线方程 例4.求抛物线y =x 2上的点到直线x -y -2=0 的最短距离. (三)课堂小结 几种常见函数的导数公式 (C )'=0 (C 为常数), (x )'=1, ( x 2 )'=2x , 2'11x x -=?? ? ??.x x 21)'(= (四)课后作业 《习案》作业四 回扣2 函数与导数 1.函数的定义域和值域 (1)求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围; ②若已知f (x )的定义域为[a ,b ],则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集;反之,已知f [g (x )]的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为函数y =g (x )(x ∈[a ,b ])的值域; ③在实际问题中应使实际问题有意义. (2)常见函数的值域 ①一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R ; ②二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0):当a >0时,值域为????4ac -b 2 4a ,+∞,当a <0时,值域为? ???-∞,4ac -b 2 4a ; ③反比例函数y =k x (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}. 2.函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称),都有f (-x )=-f (x )成立,则f (x )为奇函数(都有f (-x )=f (x )成立,则f (x )为偶函数). (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数f (x ),如果对于定义域内的任意一个x 的值:若f (x +T )=f (x )(T ≠0),则f (x )是周期函数,T 是它的一个周期. 3.关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若函数f (x )满足f (x +a )=f (x -a ),则f (x )为周期函数,2a 是它的一个周期. ②设f (x )是R 上的偶函数,且图象关于直线x =a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,2a 是它的一个周期. ③设f (x )是R 上的奇函数,且图象关于直线x =a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,4a 是它的一个周期. (2)函数图象的对称性 ①若函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x ), 即f (x )=f (2a -x ), 则f (x )的图象关于直线x =a 对称. 高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1 x -a . 若a≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ???? 0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ?? 1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ?? ??1a =ln 1 a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ?? 1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. 高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9.已知函数f(x)=x(e2x﹣a). (1)若y=2x是曲线y=f(x)的切线,求a的值; (2)若f(x)≥1+x+lnx,求a的取值范围. 10.已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (Ⅰ)求a,b,c,d的值; (Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围. 11.已知函数f(x)=alnx x+1 +b x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y﹣3 =0. (Ⅰ)求a、b的值; (Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx x?1. 12.已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx (a ∈R ). (1)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为x +y ﹣1=0,求a 的值; (2)若f (x )的导函数f '(x )存在两个不相等的零点,求实数a 的取值范围; (3)当a =2时,是否存在整数λ,使得关于x 的不等式f (x )≥λ恒成立?若存在,求出λ的最大值;若不存在,说明理由. 13.已知函数f (x )=4lnx ﹣ax +a+3 x (a ≥0) (Ⅰ)讨论f (x )的单调性; (Ⅱ)当a ≥1时,设g (x )=2e x ﹣4x +2a ,若存在x 1,x 2∈[1 2,2],使f (x 1)>g (x 2), 求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底数,e =2.71828…) 14.已知函数f (x )=a x +x 2﹣xlna (a >0且a ≠1) (1)求函数f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; 函数综合题分类复习 题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开),极值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 0)('=x f 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知; 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元);第二种:分离变量求最值(请同学们参考例5);第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立;参考例4; 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++,2x =是)(x f 的一个极值点. (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若当[1, 3]x ∈时,2 2()3 f x a ->恒成立,求a 的取值范围. 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . (1)若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6,求函数)(x f y =的解析式;(2)若3>a ,求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 (1)求()f x 在[0,1]x ∈上的值域; (2)若对于任意1[0,1]x ∈,总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-, 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> (Ⅰ)求,a b 的值; (Ⅱ)当[1,4]x ∈-时,求()f x 的值域; (Ⅲ)当[1,4]x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+) (0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)若]1,1[-∈t 时,0(≤+'tx x f )恒成立,求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=,在1-=x 时有极值0,则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2,函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g . (1) 若函数)(x g 在1=x 处有极值,求)(x g 的解析式; (2) 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数,且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立,求实数m 的取值范围. 答案: 1、解:(Ⅰ) '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点, ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根,解得32 b =. 令'()0f x >,则2 320x x -+>,解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞,(2, +)∞. (Ⅱ)∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <,(2,3)x ∈时'()0f x >, ∴ ()f x 在(1,2)上单调递减,()f x 在(2,3)上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1,3]上的最小值,且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时,要使 22()3f x a -> 恒成立,只需22(2)3f a >+, 即2 2233 a a +>+,解得 01a <<. 2、解:(Ⅰ)a ax x x f ++='23)(2 . 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ,得 ???=-=23b a . ∴ 233)(23+--=x x x x f . (Ⅱ)023)(2=++='a ax x x f . ∵ 3>a ,∴ 01242>-=?a a . 函数与导数 1.求函数的定义域,关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解,如开偶次方根、被开方数一定是非负数;对数式中的真数是正数;列不等式时,应列出所有的不等式,不应遗漏. 对抽象函数,只要对应关系相同,括号里整体的取值范围就完全相同. [问题1] 函数y 的定义域是________. 答案 ??? ?0,14 2.用换元法求解析式时,要注意新元的取值范围,即函数的定义域问题. [问题2] 已知f (cos x )=sin 2x ,则f (x )=________. 答案 1-x 2(x ∈[-1,1]) 3.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不同的式子来表示对应关系的函数,它是一个函数,而不是几个函数. [问题3] 已知函数f (x )=????? e x ,x <0,ln x ,x >0, 则f ????f ????1e =________. 答案 1e 4.判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响. [问题4] f (x )=lg (1-x 2) |x -2|-2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”). 答案 奇 解析 由? ???? 1-x 2>0, |x -2|-2≠0得定义域为(-1,0)∪(0,1), f (x )=l g (1-x 2) -(x -2)-2=lg (1-x 2) -x . ∴f (-x )=-f (x ),f (x )为奇函数. 5.弄清函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若f (x )为偶函数,则f (-x )=f (x )=f (|x |). (3)若奇函数f (x )的定义域中含有0,则必有f (0)=0. 故“f (0)=0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件. [问题5] 设f (x )=lg ????21-x +a 是奇函数,且在x =0处有意义,则该函数为( ) A .(-∞,+∞)上的减函数 B .(-∞,+∞)上的增函数 C .(-1,1)上的减函数 D .(-1,1)上的增函数 答案 D 解析 由题意可知f (0)=0,即lg(2+a )=0, 解得a =-1, 故f (x )=lg 1+x 1-x ,函数f (x )的定义域是(-1,1), 在此定义域内f (x )=lg 1+x 1-x =lg(1+x )-lg(1-x ), 函数y 1=lg(1+x )是增函数,函数y 2=lg(1-x )是减函数,故f (x )=y 1-y 2是增函数.选D. 6.求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接,可用“及”连接,或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替. [问题6] 函数f (x )=1 x 的减区间为________. 答案 (-∞,0),(0,+∞) 7.求函数最值(值域)常用的方法: (1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数. 2015专题五:函数与导数 在解题中常用的有关结论(需要熟记): (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x ',切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值,则0()0f x '=。反之,不成立。 (3)对于可导函数()f x ,不等式()f x '0>0<()的解集决定函数()f x 的递增(减)区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增(减)的充要条件是:x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值,则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 (若()f x '为二次函数且I=R ,则有0?>)。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数,进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈,()f x 0>恒成立,则min ()f x 0>; 若x I ?∈,()f x 0<恒成立,则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈,使得0()f x 0>,则max ()f x 0>;若0x I ?∈,使得0()f x 0<,则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈,12()()f x g x >恒成立,则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得12()()f x g x <,则max max ()()f x g x <. (11)已知()f x 在区间1I 上的值域为A,,()g x 在区间2I 上值域为B , 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得1()f x =2()g x 成立,则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、,且极大值大 于0,极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-()③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <-> 1、讨论函数在内的单调性 2、作出函数22||3y x x =--的图像,指出单调区间和单调性 3、求函数[]()251x f x x = -在区间,的最大值和最小值 4 、使函数y = 的最小值是 2的实数a 共有_______个。 5、已知函数()f x 的定义域为R ,且对m 、n R ∈,恒有()()()1f m n f m f n +=+-,且1()02f -=,当12 x >-时,()0f x > (1)求证:()f x 是单调递增函数;(2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证. 6、已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数,且(1)(23)f x f x -<-,求x 的取值范围。 四、强化训练 1、已知()f x 是定义在R 上的增函数,对x R ∈有()0f x >,且(5)1f =,设1()()()F x f x f x =+,讨论()F x 的单调性,并证明你的结论。 2、设函数2 ()22f x x x =-+(其中[,1]x t t ∈+,t R ∈)的最小值为()g t ,求()g t 的表达式 3、定义域在(0,)+∞上的函数()f x 满足:(1)(2)1f =;(2)()()()f xy f x f y =+; (3)当x y >时,有()()f x f y >,若()(3)2f x f x +-≤,求x 的取值范围。 4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,a b R ∈, 都满足()()()f ab af b bf a =+ (1)求(0)f ,(1)f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并加以证明 223f(x)x ax =-+(2,2)- 函数与导数二轮复习建议 金陵中学 朱骏 函数是高中数学的核心内容,因而在历年的江苏高考中,函数一直是考查的重点和热点.高考既注重单独考查函数的基础知识,也会突出考查函数与其它知识的综合应用;既考查具体函数的图象与性质,也考查函数思想方法的应用. 下表列出的是《考试说明》对函数部分具体考查要求及2019年~2019年四年江苏高考 基本题型一:函数性质的研究 例1(2019年江西理改)若f (x )= 1log(2x +1) ,则f (x )的定义域为____________. 【解析】由???2x +1>0log(2x +1)>0 ,解得?????x >-12x <0 ,故-12<x <0,答案为(-1 2,0). 说明:以函数定义域为载体,考查对数函数的图象与性质. 例2(2019年江苏)设函数f (x )=x (e x +a e -x )(x ∈R )是偶函数,则实数a =_______. 【解析】 由g (x )=e x +a e -x 为奇函数,得g (0)=0,解得a =-1;也可以由奇函数的定义解得. 说明:1.函数奇偶性的定义中应关注两点:①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件;②f (0)=0是定义域包含0的函数f (x )是奇函数的必要条件.2.利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法. 变式:若函数f (x )=k -2x 1+k ·2 x (k 为常数)在定义域上为奇函数,则k 的值是_______. 答案:±1. 例3 设a (0<a <1)是给定的常数,f (x )是R 上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,若f (1 2 )=0,f (log a t )>0,则t 的取值范围是________. 【解析】 因为f (x )是R 上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,故f (x )在区间(-∞,0)上也是增函数.画出函数f (x )的草图. 由图得-12<log a t <0或log a t >12,解得t (0,a ) ∪(1,a a ). 说明:1.单调性是函数的局部性质,奇偶性是函数的整体 性质,单调性和奇偶性常常结合到一起考查. 2.函数图象是函数性质的直观载体,“以形辅数”是数形结合思想的重要体现. 例4(2019年江苏卷)已知函数f (x )=???x 2 +1,x ≥0,1, x <0,则满足不等式f (1-x 2 )>f (2x ) 的x 的范围是 . 【解析】画出函数f (x )的图象,根据单调性,得???1-x 2 >2x , 1-x 2 >0. ,解得 x ∈(-1,2-1). 说明:1.函数单调性是比较大小和解不等式的重要依据,如果把式f (1-x 2 )>f (2x )具体化,需要分类,情形比较复杂,本题对能力要求较高.2.分段函数是高考常考的内容之一,解决相关问题时,应注意数形结合、分类讨论思想的运用. 变式:设偶函数f (x )=log a |x -b |在(-∞,0)上单调递增,则f (a +1)与f (b +2)的大小关系为________________________. 答案:f (a +1)>f (b +2). 例5(2019年江苏)设a 为实数,函数f (x )=2x 2 +(x -a )|x -a |.(1)若f (0)≥1,求a 的取值范围;(2)求f (x )的最小值;(3)设函数h (x )=f (x ),x ∈(a , +∞),直接写出....(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集.【解析】(1)因为f (0)=-a |-a |≥1,所以,-a >0,即a <0.由a 2 ≥1,得a ≤-1. (2)记f (x )的最小值为g (a ), f (x )=2x 2 +(x -a )|x -a |=? ????3(x - a 3)2+2a 2 3,x >a , ①(x +a )2-2a 2 , x ≤a , ② (ⅰ)当a ≥0时,f (-a )=-2a 2 ,由①②知f (x )≥-2a 2 ,此时,g (a )=-2a 2 . (ⅱ)当a <0时,f (a 3)=23a 2.若x >a ,则由①知f (x )≥23 a 2 ;若x ≤a ,则x +a ≤2a <0,由②知f (x )≥2a 2 >23a 2.此时,g (a )=23 a 2.高中高考数学专题复习《函数与导数》
高中数学导数与积分知识点
高考数学二轮复习专题02:函数与导数
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 17 题;共 34 分)
1. (2 分) (2016 高一上·厦门期中) 已知函数 f(x)=xln(x﹣1)﹣a,下列说法正确的是( )
A . 当 a=0 时,f(x)没有零点
B . 当 a<0 时,f(x)有零点 x0 , 且 x0∈(2,+∞)
C . 当 a>0 时,f(x)有零点 x0 , 且 x0∈(1,2)
D . 当 a>0 时,f(x)有零点 x0 , 且 x0∈(2,+∞)
2. (2 分) (2018 高二下·沈阳期中) 函数 A. B. C. D.
恰有一个零点,则实数 的值为( )
3. (2 分) 已知函数 f(x)= -cosx,若 A . f(a)>f(b) B . f(a)
, 则( )
4. ( 2 分 ) (2019 高 二 上 · 浙 江 期 中 ) 已 知
的两个相邻的零点,且
,则
,且
,
,
是函数
的值为( )
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5. (2 分) 定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时,f(x)= =f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( )
A . 3a﹣1 B . 1﹣3a C . 3﹣a﹣1 D . 1﹣3﹣a
, 则关于 x 的函数 F(x)
6. (2 分) 已知函数 取值范围是( )
A. B.
的图像为曲线 C,若曲线 C 存在与直线
垂直的切线,则实数 m 的
C.
D.
7. (2 分) (2016 高一上·沈阳期中) 已知函数 f(x)满足:当 f(x)= ()
A.
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,则 f(2+log23)=高考数学真题汇编——函数与导数
高中数学(函数和导数)综合练习含解析
高三二轮复习函数与导数
高考数学函数与导数复习指导
高中数学 多项式函数的导数素材
高二数学 几种常见函数的导数
高考数学函数与导数
高中数学函数与导数常考题型归纳
高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二
2020高考数学函数与导数综合题型分类总结
二轮复习-函数与导数
2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题
高中数学函数与导数练习题
函数与导数二轮复习建议