两直线位置关系及其夹角公式的运用

两直线位置关系及其夹角公式的运用
两直线位置关系及其夹角公式的运用

11.3(3)两直线位置关系及其夹角公式的运用

教学目标设计

能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法. 会综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题.

教学重点及难点

综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题. 教学用具准备

多媒体设备

教学过程设计

例1.(1)求经过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程;

(2) 求过点(2,1)A ,且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程.

解:(1)已知直线的斜率3

2-=k ,∵两直线平行,∴所求直线的斜率也为32-,

所以,所求直线的方程为:)1(324--=+x y ,即01032=++y x . 另解:设与直线0532=++y x 平行的直线l 的方程为:032=++m y x ,

l 过点)4,1(-A ,∴213(4)0m ?+?-+=,解之得10m =, 所以,所求直线的方程为01032=++y x .

(2) 已知直线的斜率为2-,直线l 与已知直线垂直,∴l 的斜率为21=k ,

所以,所求直线l 的方程为)2(211-=-x y ,即02=-y x . 另解:设与直线0102=-+y x 垂直的直线方程为20x y m -+=, ∵直线l 经过点)1,2(A ,∴2210m -?+=,∴0m =,

所以,所求直线l 的方程为02=-y x

[说明] 一般地①与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为0=++m By Ax ,其中m 待定;②与直线0=++C By Ax 垂直的直线的方程可设为0=+-m Ay Bx ,其中m 待定.

例2. (如右图)等腰三角形的一个腰所

在直线1l 的方程是022=--y x ,底边所在

直线2l 的方程是01=-+y x ,点)0,2(-在另

一腰上,求这条腰所在直线3l 的方程.

解:设3l 的方程为0)0()2(=-++y b x a (其中),(b a =为一法向量,b a ,不同时为零),1l 与2l 的夹角是1θ,2l 与3l 的夹角是2θ ,由夹角公式得101cos 1=

θ, 又1l 、2l 、3l 所围成的三角形是等腰三角形,所以21θθ=, 101|2|cos 222=++=b a b

a θ025222=++?

b ab a 即b a b a ==22或

舍去b a =2(否则与直线1l 重合), ∴3l 的方程是:

042=+-y x .

[说明]①本题是夹角公式与平几知识的综合,采用待定系数法求直线方程;②作为几何综合题,一般需要先从其几何特点入手,找出所求的量与已知量之间的联系,再把几何问题转化为方程

来解决;③本题也可以设3l 的方程为2)2(-=+=x x k y 或,再分类求解.

例3、是否存在实数k ,使直线06)2(3=++-y k x 与直线02)32(=+-+y k kx 分别有如下的位置关系: (1)平行; (2)重合;

(3)相交; (4)垂直; (5)相交,且交点在第二象限.若存在求出k 的值;若不存在,说明理由.

解:联立方程组?

??=+-+=++-02)32(06)2(3y k kx y k x , 由0=D 1,921=-=?k k ;由10=?=k D x ;由10=?=k D y .

(1) 9-=k 时,两直线平行;

(2)1=k 时,重合;

(3)19≠-≠k k 且时,相交;

(4)由21310)32)(2(3±=

?=-+-k k k k 时,垂直; (5)交点坐标为)9

6,914(

+-+-k k ,显然不存在实数k ,使交点在第二象限.

例4、已知直线l 满足性质:如果任意一点),(y x 在直线l 上,那么点)8,3(y x y x -+也在直线l 上,求直线l 的方程.

解:由已知,点),(y x 和 )8,3(y x y x -+都在直线l 上,

而当0==y x 时,083=-=+y x y x ,所以直线l 经过原点,且不能与坐标轴重合.因此可设直线l 的方程为:)0(0≠=+mn ny mx ①

点)8,3(y x y x -+仍在直线l 上,0)8()3(=-++∴y x n y x m

即0)3()8(=-++y n m x n m ②

由题意,方程①与②表示的是同一条直线l ,所以

)8()3(n m n n m m +=-,即082322=--n mn m ,解得:n m n m 2,3

4-=-= 所以直线l 的方程为02034=+=-y x y x 或.

[说明] ①本题也可以设直线方程的一般式:0=++c by ax ①, 点)8,3(y x y x -+仍在直线l 上 0)8()3(=+-++∴c y x b y x a ②.再由直线①与②重合,求得系数c b a ,,;

②例题4,有一定难度,可以根据学生实际情况选用. 课堂小结

1.通过两直线的位置关系以及夹角有关知识的综合应用,深化对知识以及思想方法的理解,进一步巩固所学的知识.

2.进一步体会分类讨论、数形结合等数学思想方法,这些方法将会贯穿整个高中的数学学习.

作业布置

书面作业:习题11.3 B 组 ----1,2,3,4,5

补充练习:1.过原点作直线l 的垂线,若垂足为(2,3)-,则直线l 的方程是 ;答:23130x y -+=

2.已知直线024=-+y mx 与直线052=+-n y x 垂直,垂足为),1(p ,则p n m +-的值为 .答:10,12,2m n p ==-=-; 20

3.求与直线0532=++y x 平行,且在两坐标轴上的截距之和为6

5

的直线l 的方程.答:0132=-+y x

4.已知直线l 的方程为01243=-+y x ,求直线'l 的方程,使'l 与l 垂直且'l 与坐标轴围成的三角形面积为6.

解 设直线'l 的方程为034=+-m y x ,令0=x ,得3m y =

,令0=y ,得4

m x -

=, 由题意:1||||6243

m m ?-?=,即1442=m ,12±=m , 所以,所求直线l 的方程为01234=±-y x . 5.直线l 过点)2,0(-M 且与直线03:1=-+y x l 和042:2=+-y x l 分别交于点Q P ,,若M 恰为线段PQ 的中点,求直线l 的方程. 解 设点),(n m P ,由中点公式,得)24,2(n m Q ---,又点Q P ,分

别在1l 、2l 上,列方程组?

??=-----=+-02)24()2(2022n m n m ,解3,6-==n m ,0126=++∴y x 为所求.

6. 已知三角形ABC 的顶点)1,3(-A ,AB 边的中线所在的直线方程为059106=-+y x ,B ∠的平分线所在直线的方程为0104=+-y x ,求BC 边所在直线的方程.

解 设点),(b a B ,则AB 的中点)2

1,23(-+b a P ,由B 点在其角平分线上,中点P 在AB 边的中线上,列出关于b a ,的方程组,解得:)5,10(,5,10B b a ∴==,

从而得直线02576:=--y x AB , 由题意,BC 边所在直线的斜率存在,

设)10(5:-=-x k y BC ,根据夹角公式,得,7692=-

=k k 或其中7

6=k 舍去(否则BC 与AB 重合),所以BC 边所在直线的方程为06592=-+y x .

[说明]补充练习仅供课外巩固练习选用.

教学设计说明

直线是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对直线的位置关系作了比较系统的研究,因此本节课的重点确定为用解析法研究两直线的位置关系以及夹角的求法.为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上采取了以下的措施:

一、新课引入——以旧带新,提出课题

帮助学生再现原有的认知结构,在“最近发展区”创设问题情景,使学生对本节课的主题有一个直观的印象,寻找新知生长点,激发学生的探究心理,顺利引入课题.

二、概念形成——实例分析,探究,概括形成一般规律 通过对实例的解答,图像的观察,抽象、概括出一般规律,这种运用数形结合的思想,由特殊到一般的探索过程,符合学生认知习惯,有利于培养学生抽象、概括的能力.

要启动学生的思维,就要有一个明确的可供思考的问题,使学生的思维有明确的指向.因此,在上述探究的基础上,提出

问题:两条直线的位置关系与方程组的解之间有怎样的对应关系呢?这个问题是本节课的中心议题,应引导全班学生积极思维,让多一点学生发表意见,形成“高潮”.

三、巩固和应用阶段

数学概念是要在运用中不断领悟,通过运用与练习,可以纠正错误的认识,促使对概念的正确理解,通过设计不同层次的问题,满足学生多层次需要,起到评价反馈的作用.

1、初步应用、突出内涵

这里安排例1、例2都是公式的“初步应用”,目的也在于帮助学生正确运用所学的基本知识,强调运用公式的前提条件,规范解题过程.

2、变式应用,提升能力

设计例题时,注意学习过程的循序渐进,按照先易后难的顺序层层递进,让学生感到有挑战、有收获,跳一跳,够得着.例3,例4,目的是在解决问题的方法上进行适当的延展,使得学生对概念的认识不断深入.

通过对具体例题的讲解分析,在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用,并及时归纳总结,培养学生分析、思考的习惯,以及归纳总结的能力.

在本节的设计中,力图使学生初步理解并能应用所学的知识,引领学生掌握研究这类问题的一般思路和方法,从而达到培养学生学习能力的目的.根据自己对“问题驱动”教学模式的认识,在教学的每一个环节均设计了问题.以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,使难点的突破水到渠成.

平面上两直线的夹角求法解析

平面上两直线的夹角求法解析 一、内容概述 在2004年审定的人教A和B版教材中,平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及到.但是,该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式: ,平面向量中直线法向量夹角的余弦及直线方向向量夹角的余弦的应用来进行考查. 二、基本概念 ①平面上直线方程的两种常用表示: 直线的点斜式方程:; 直线的一般式方程:不全为. ②平面上两条相交直线夹角的概念: 平面上两条相交直线,所成四个角中的最小角,叫做两条直线的夹角. ③平面上两条直线所成角的范围: 如果两条直线平行或重合,规定它们所成的角为; 如果两条直线垂直,规定它们的夹角为; 如果两条直线相交且互不垂直,则两直线的夹角范围为. ④平面上直线的方向向量: 基线与平面上一条直线平行或重合的向量,叫做直线的方向向量; 直线点斜式方程的一个方向向量为. ⑤平面上直线的法向量: 基线与平面上一直线垂直的向量,叫做直线的法向量; 直线的一般式方程不全为的一个法向量为.

三、理论推导 1.已知倾斜角,根据两角差的正切公式求两直线夹角. 证明:如下图所示,在平面直角坐标系中,直线的倾斜角为,直线的倾斜角为. 假设为直线,所成的一角,显然,则,由公式得: 又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是,所以.从而得: 即,平面上直线与直线的夹角. 2.已知直线的一般式方程,运用直线法向量夹角余弦求平面上两直线夹角.

证明:如下图所示,在平面直角坐标系中,直线的一般式方程为 ,一法向量;直线的一般式方程为,一法向量. 假设为直线,所成的一角,显然(左图)或(右图)由法向量夹角的余弦得: 又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是,所以.从而得: 即,平面上直线与直线的夹角. 3.已知直线的点斜式方程,利用直线方向向量夹角余弦求平面上两直线夹角. 证明:如下图所示,在平面直角坐标系中,直线的点斜式方程为,一方向向量;直线的点斜式方程为,一方向向量.

两直线所成的角(夹角)

两直线所成的角(夹角) 教学目标 (一) 知识教学点: 一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式,两直线的夹角公式,能熟练运用公式解题. (二) 能力训练点 通过课题的引入,训练学生由特殊到一般,定性、定量逐层深入研究问题的思想方法;通过公式的推导,培养学生综合运用知识解决问题的能力. (三) 学科渗透点 训练学生由特殊到一般,定性、定量逐步深入地研究问题的习惯. 二、教材分析 1. 重点:前面研究了两条直线平行与垂直,本课时是对两直线相交的情况作定量的研究.两 直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到,教学时要讲请1l 、2l 的公式的推导方法及这一公式的应用. 2,难点:公式的记忆与应用. 2. 疑点:推导1l 、2l 的角公式时的构图的分类依据. 三、活动设计 分析、启发、讲练结合. 四、教学过程 学生活动 答1:通过直线的斜率或从方程的特点来观察 答2:通过它们相交所得到的角的大小。 教师活动 前言:不重合的两条直线的位置关系,除了平行就是相交,在相交的情况下垂直关系是非常特殊的,那么还有那么多的一般的相交情况值得我们去研究。 一、提出问题、 1. 解析几何中怎样判断两条直线的平 行和垂直? 2. 对于两条相交的直线,怎样来刻画它 们之间的相交程度呢? 二、新课、 (出示图形)两条直线相交就构成了两对对顶角,同学们已经想到用角的大小来刻画两

答:学生说出哪个角为2l 到1l 的角。 归纳:“到”角的三个要点: 始边、终边和旋转方向。就此提出“到”角实际上是一个“方向角”。 答:1l 到2l 的角与2l 到1l 的角的和是180° 答:“到”角的范围为:),0(π 通过动画的演示由学生归纳出两直线的斜率变化的的确确导致了1l 到2l 的角的变化,增强信心推导公式。 条直线的相交程度。(取个名字是很重要的) 1、 概念的建立: (1)“到”角:两直线相交,把直线1l 按逆 时针方向旋转到与2l 重合时所转的角,叫做 1l 到2l 的角。 题一: (1) 求直线1l :13+=x y 到直线2l : 1=x 的角的大小。 (2) 求直线1l :2=y 到直线2l : 1+-=x y 的角的大小。 (3) 求直线1l :32+-=x y 到直线2l : 2 3 - =x y 的角的大小。 (第3小题的解决带来的困难引出新课) 2.1l 到2l 的角的计算公式的推导: (几何画板演示) 问题1:两条直线的平行和垂直关系从解析几何研究的角度我们只要研究一下他们斜率的关系就可以,那么大胆预测1l 到2l 的角与两直线的斜率会有关系吗?

直线方程公式

1、斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2、.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3、两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4、夹角公式 (1)2121 tan | |1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212 tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120 A A B B +≠). 直线12l l ⊥时,直线l 1与l 2的夹角是2 π. 5、 1l 到2l 的角公式 (1)2121 tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212 tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120 A A B B +≠). 直线12l l ⊥时,直线l 1到l 2的角是2π. 6、四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为 111222 ()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程.与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠),λ是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线0Ax By C ++= (A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量. 7、点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=).

两条相交直线的夹角.

课题:两条相交直线的夹角(教案) 【教学目标】: 1、理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系;掌握根据已知条件求出两条相交直线的夹角; 2、理解两条直线垂直的充要条件. 3、体会数形结合的数学思想,培养思维能力. 【教学重点】:两条相交直线的夹角. 【教学难点】:夹角公式的应用. 【教学过程】: 一、课题引入: 平面上两条直线有几种位置关系? 相交、平行、重合.(垂直是相交的一种特殊情形) 下面我们对两条直线的位置关系作进一步研究.(引出课题:两条直线的夹角) 二、新课讲授: 1. 两条直线的夹角: 平面上两条相交直线,它们构成四个角,是两对对顶角.如果一对是锐角,另一对是钝角,那么我们规定锐角作为它们的夹角.如果四个角都是直角,那么规定两直线夹角是直角,此时也称两条直线相互垂直. 平面上两条直线相交时构成两组对顶角.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. 规定:如果两条直线平行或重合,它们的夹角为0. 所以,两条相交直线的夹角02 π α≤≤ . 2. 夹角公式: 如果已知两条直线的方程分别为: 11112222:0 :0 l a x b y c l a x b y c ++=++=(其中11,a b 不同时为零, 22,a b 不同时为零).系数确定,方程确定,直线确定,它们的夹角也就确定,那么如何根据方程来求1l 与2l 的夹角? 设12,l l 的方向向量分别为12,d d ,向量12,d d 的夹角为θ,直线12,l l 的夹角为α.将直线12,l l 的方向向量12,d d 平移至同一起点,构成四种情形,如图. 当02 π θ≤≤ 时,αθ=;当 2 θπ<≤时,απθ=-.于是,cos cos αθ=. d d α

人教版高中数学必修第二册两条直线的夹角(1)

两条直线的夹角(1) 教学目标 1、理解两条直线l1与l2的夹角,l1到l2的角的概念 2、掌握两条直线的夹角公式和到角公式,理解两公式之间的关系 3、能正确使用夹角公式和到角公式 教学重点 两直线夹角公式和到角公式 教学难点 夹角公式和到角公式的应用 教学过程 一、复习引入 1、平面几何中两直线夹角的定义 2、在平面直角坐标系中,我们怎样来阐述两条直线所成的角呢? 二、新课讲解 1、l 1到l 2的角 两条直线l 1和l 2相交构成四个角,它们是两对对顶角,为了区分这些角,我们把直线l 1按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转过的角,叫做l 1到l 2的角。如图: l 1到l 2的角是1θ,l 2到l 1的角2θ 且π θθθθ=+>>2121,0,0 l 2 问题:已知l 1:y=k 1x+b 1 l 2:y=k 2x+b 2 怎样确定l 1到l 2的角θ? l 1 (师生共同讨论) 2、l 1与l 2的夹角 (1) 当 l 1与l 2相交但不垂直时,若l 1到l 2的角为θ,则l 2到l 1的角为θπ-,其 中锐角那一个为l 1与l 2的夹角α,则|1|tan 2 11 2k k k k +-=α (2) 当l 1⊥l 2时,夹角为 2 π 练习:已知直线l 1:y=-2x+3 l 2:y=x- 2 3 求:(1)l 1到l 2的角(2)l 2到l 1的角(3)l 1与l 2的夹角 3、已知直线l 1: A 1x+B 1y+C 1=0 l 2:A 2x+B 2y+C 2=0 (0,0,0212121≠+≠≠B B A A B B ),直线l 1到l 2的角是θ,求证:2 1211 221tan B B A A B A B A +-= θ 思考:若直线l 1与l 2中,有斜率不存在时,怎样确定它们的夹角? 三、例题 1、已知直线l 1与l 2的斜率是方程03432=+-x x 的两根,求这两直线的夹角。 2三角形三边所在直线方程是AB :x-y+3=0,BC:y=1,CA: x+(2-3)y-3=0,求三角形ABC

沪教版高中数学高二下册:11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 教案

11.3(2)两条直线的夹角 教学目标 理解直线夹角公式的推导过程,能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法.通过两条直线夹角公式的推导,形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力 教学重点及难点 理解两条直线夹角公式的推导过程,会求两条直线的夹角 教学过程 一、复习引入 1.引例:判断下列各组直线的位置关系,如果相交,则求出交点的坐标 (1)023:1=++y x l , 032:2=--y x l ; (2)015:1=-x l , 032:2=--y x l ; (3)0524:1=+-y x l , 032:2=--y x l . 问题1:(对于上述(1)、(2)这样),当两条直线相交时,用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢? 二、学习新课 1、概念形成 两条直线的夹角 如右图,两条直线相交,一共构成几个角?它们有什么关系? 平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角,它们是两组互补的对顶角,因 为相对而言,锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为 两条直线的夹角. 如果两条直线平行或重合,规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是??????2,0π ,而两条相交直线夹角的取值范围是(]2,0π. 问题2:现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系,当给出两条直线的方程时,它们的相对位置就确定了,它们的夹角也随之确定,那么,如何根据直线方程求两直线的夹角呢?

2、夹角公式的推导 引导学生画图分析,寻找夹角、方向向量之间的关系. 设两条直线的方程分别为 1l :0111=++c y b x a (11,b a 不全为零) 2l :0222=++c y b x a (22,b a 不全为零). 设1l 与2l 的夹角为α,1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ,其夹角为θ,且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -, 当]2, 0[πθ∈时,则θα=如图甲所示;当],2( ππθ∈时,则θπα-=,如图乙所示. 于是得:222221212121212 1| ||||||||cos |cos b a b a b b a a d d +?++=?==θα. 即为直线1l 与2l 的夹角公式. 特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2 π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ?1d 垂直2d ?1n 垂直2n ?02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量) 而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有12 211-=?b a b a ,即当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 其中21,k k 分别为直线1l 与2l 的斜率. 3、例题分析 例1:(回到引例)求下列各组直线的夹角: (1)023:1=++y x l , 032:2=--y x l ; (2)015:1=-x l , 032:2=--y x l ;

两直线位置关系及其夹角公式的运用

11.3(3)两直线位置关系及其夹角公式的运用 教学目标设计 能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法. 会综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题. 教学重点及难点 综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题. 教学用具准备 多媒体设备 教学过程设计 例1.(1)求经过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程; (2) 求过点(2,1)A ,且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程. 解:(1)已知直线的斜率3 2-=k ,∵两直线平行,∴所求直线的斜率也为32-, 所以,所求直线的方程为:)1(324--=+x y ,即01032=++y x . 另解:设与直线0532=++y x 平行的直线l 的方程为:032=++m y x , l 过点)4,1(-A ,∴213(4)0m ?+?-+=,解之得10m =, 所以,所求直线的方程为01032=++y x .

(2) 已知直线的斜率为2-,直线l 与已知直线垂直,∴l 的斜率为21=k , 所以,所求直线l 的方程为)2(211-=-x y ,即02=-y x . 另解:设与直线0102=-+y x 垂直的直线方程为20x y m -+=, ∵直线l 经过点)1,2(A ,∴2210m -?+=,∴0m =, 所以,所求直线l 的方程为02=-y x [说明] 一般地①与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为0=++m By Ax ,其中m 待定;②与直线0=++C By Ax 垂直的直线的方程可设为0=+-m Ay Bx ,其中m 待定. 例2. (如右图)等腰三角形的一个腰所 在直线1l 的方程是022=--y x ,底边所在 直线2l 的方程是01=-+y x ,点)0,2(-在另 一腰上,求这条腰所在直线3l 的方程. 解:设3l 的方程为0)0()2(=-++y b x a (其中),(b a =为一法向量,b a ,不同时为零),1l 与2l 的夹角是1θ,2l 与3l 的夹角是2θ ,由夹角公式得101cos 1= θ, 又1l 、2l 、3l 所围成的三角形是等腰三角形,所以21θθ=, 101|2|cos 222=++=b a b a θ025222=++? b ab a 即b a b a ==22或 舍去b a =2(否则与直线1l 重合), ∴3l 的方程是: 042=+-y x . [说明]①本题是夹角公式与平几知识的综合,采用待定系数法求直线方程;②作为几何综合题,一般需要先从其几何特点入手,找出所求的量与已知量之间的联系,再把几何问题转化为方程

两条直线的夹角

两条直线的夹角 一、 教学目的: 1. 分清直线1l 到直线2l 的角与直线2l 到直线1l 的角以及两条直线1l 与2l 的夹角的区别 与联系。 2. 掌握直线1l 到直线2l 的角的计算公式 3. 掌握直线1l 与直线2l 的夹角的计算公式 二、 情感目标: 通过对两直线的倾斜角与夹角的关系探索,找出夹角的正切值与两直线斜率之间的关系;运用两角差的正切公式,进一步渗透解析几何的思想,即用代数运算解决几何图形问题;培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性。 三、 教学重、难点: 1.当一条直线斜率不存在时,如何求解两直线的夹角。 2.根据题意正确使用夹角,到角公式,注意根据图形进行舍解。 四、 教学过程: (一)引入: 平面内两条直线的位置关系有平行、重合和相交。我们分别用直线的代数形式去描述了它们的位置关系。在相交直线中特殊的位置关系是垂直,即两条直线所成角为90。。因此,我们可以用两直线的夹角大小来描述两条相交直线的位置关系。 平面上,两条相交直线1l 和2l 构成四个角,它们是两对对顶角。为了区别这些角,通常规定:直线1l 绕着交点M 按逆时针方向旋转到和2l 重合时所得到的角,叫做1l 到2l 的角。直线2l 绕着交点M 按逆时针方向旋转到和1l 重合时所得到的角,叫做2l 到1l 的角。 2l M 1l 当1l ⊥2l 时,即1l 到2l 的角为90。 =?21k k 1-或一条直线斜率为零,另一条直线斜 率不存在。通过这充要条件启发我们,1l 到2l 的角的大小是否也可以与1l 、2l 的斜率建立关系呢? (二)推导:

设两条直线方程分别是1l :11b x k y +=,2l :22b x k y +=(1k ,2k 均存在),1l 到2 l 的角θ 如果121-=k k ,那么θ=90。 如果121-≠k k ,设1l 和2l 的倾斜角分别是1α和2α,则1k =1αtg ,2k =2αtg 不论12ααθ-= 或 )(12ααπθ-+=, 都有1 212121)(ααααααθtg tg tg tg tg tg +-= -=, 即1 2121k k k k tg +-= θ 一条直线到另一条直线的角,可能不大于直角,也可能大于直角,如果只需要考虑不大于直角的角θ(叫做两条直线的夹角),那么有1 2121k k k k tg +-= θ (θ 90≠) 当两条直线平行或重合时,则它们的夹角是零度角,此时公式仍适用。 (三)例题: 例1 求下列两直线的夹角θ。 (1)1l :x+2y-5=0, 2l :2x-3y+1=0; (2)1l :x-3y-2=0, 2l :2y+3=0; ( 3) 1l :x-5=0, 2l :2x+4y+3=0; 小结:已知直线方程求夹角大小问题。第一小题求出直线斜率后直接套用夹角公式;第二小题其中一条直线斜率为零,既可以套用公式,又可以观察图像,显然夹角不是倾斜角就是倾斜角的补角;第三小题其中一条直线斜率不存在,不能使用公式,只能观察图像,分析倾斜角与夹角的关系。 例2 求经过点(-5,6)且与直线2x+2y-5=0的夹角为 45的直线方程。 小结:已知夹角大小求直线方程问题。据题意直线过点(-5,6),因此只需确定直线斜率k ,

两条直线的夹角

11.3两条直线的夹角(2) 教学目标理解直线夹角公式的推导,能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导,形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力 教学重点理解两条直线夹角公式的推导,会求两条直线的夹角 教学难点理解两条直线夹角公式的推导,会求两条直线的夹角 教学方法师生互动 教学过程设计说明 引入 1.引例:判断下列各组直线的位置关系,如果相交,则求出交点的坐标(课本p16例1). (1)0 12 4 3: 1 = - +y x l,0 1 12 7: 2 = - -y x l; (2)0 12 4 3: 1 = - -y x l,3 : 2 = x l; (3)0 12 4 3: 1 = - -y x l,0 5 8 6: 2 = + -y x l.解:(参考课本p16~17) [说明]复习判断两直线的平行、重合、相交,以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题. 思考并回答下列问题 1.(对于上述(1)、(2)这样),当两条直线相交时,用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢? 教具演示:两条直线相交,使其中一条直线绕定点旋转,让学生观察这两条直线的关系. 解答:两条直线的夹角. 2.回顾旧知:在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么? 解答:角是有公共端点的两条射线所组成的 几何图形(如右图). [说明]在复习旧知的基础上引人新课. 概念分析 关于两直线的夹角 1、概念形成 两条直线的夹角 如右图,两条直线相交,一共构成几个角?它们有什么关系?怎样定义两条直线的夹角呢? 平面上两条直线 1 l和 2 l相交构成四个角, 它们是两组互补的对顶角,因为相对而言,锐角 比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或 直角为两条直线的夹角. 如果两条直线平行或重合,规定它们的夹角为0.因此,两条直 线的夹角的取值范围是? ? ? ?? ? 2 ,0 π ,而两条相交直线夹角的取值范围 是(] 2 ,0 π . 现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系,当给出

空间两直线夹角公式

3.1.5空间向量运算的坐标表示一、向量的直角坐标运算设 a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a 1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a 1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 R a b a1b1 a2 b2 a3b3 a // b a1 b1 a2 b2 a3 b3 R a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 . a b a1b1 a2 b2 a3b3 0 已知=3-24,=-25-3,则ab_______ a b _________ 3a 5b __________ ______ a b __________ 2a b a 2b ____二、距离与夹角1.距离公式(1)向量的长度(模)公式 2 a a a a12 a2 2 a32 2 b b b b12 b2 2 b32注意:此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。(2)空间两点间的距离公式终点坐标减在空间直角坐标系中,已知 A x1起点坐标y1 z1 、B x2 y2 z2 ,则AB x2 x1 y2 y1 z2 z1 AB AB AB x 2 x1 2 y 2 y1 2 z 2 z1 2 d A B x2 x1 y2 y1 z2 z1 2 2 22.两个向量夹角公式 a b a1b1 a2 b2 a3b3 cos a b a b a1 a2 a3 b1 b2 b3 2 2 2 2 2 2注意:(1)当cos a b 1 时,与 b 同向;a (2)当cos a b 1 时,与 a b 反向;(3)当cos a b 0 时,a b 。思考:当0 cos a b 1 及 1 cos a b 0时,的夹角在什么范围内?练习一:1.求下列两个向量的夹角的 余弦: 1 a 2 3 3 b 1 0 0 2 a 1 1 1 b 1 0 1 2.求下列两点间的距离:1 A1 1 0 B 1 1 1 2 C 3 1 5 D 0 2 3 .三、应用举例例1 已知A3 3 1、B 1 0 5 ,求:A M (1)线段AB 的中点坐标和长度;B解:设M x y z 是AB 的中点,则1 1 3 OOM OA OB 3 3 1 1 0 5 2 3 2 2 2 3∴点M 的坐标是2 3 . 2d A B 1 3 2 0 3 2 5 1 2 29 .(2)到 A 、B 两点距离相等的点P x y

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