09年高考数学卷(安徽.理)含详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
第I
卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）i 是虚数单位，若
1+7i 2-i
a bi =+（a 、
b ∈R ）
，则乘积ab 的值是 （A ）-15 （B ）-3 （C ）3 （D ）15 （2）若集合A=｛x ｜︱2x-1︱＜3｝，B=｛x ｜2x+13-x
＜0｝,则A ∩B 是
（A ）｛x ｜-1＜x ＜1-2
或2＜x ＜3｝ （B ）｛x ｜2＜x ＜3｝
（C ）｛x ｜1-2
＜x ＜2｝ （D ）｛x ｜-1＜x ＜1-2
｝
（3）下列曲线中离心率为2
6的是
（A ）
1422
2
=-
y
x
（B ）
1242
2
=-
y
x
（C ）
16
4
2
2
=-
y
x
（D ）
110
4
2
2
=-
y
x
（4）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是 （A ）d b c a p +>+:， d c b a q >>且:
（B ）11:>>b a p ，， :q )1,0()(≠>-=a a b a x f x
且的图像不过第二象限 （C ）1:=x p ， x x q =2
:
（D ）1:>a p ， )1,0(l o g )(:≠>=a a x x f q a 且在),0(+∞上为增函数 （5）已知{}n a 为等差数列，105531=++a a a ，99642=++a a a 。以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是
（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ）18
（6）设b a <，函数)()(2
b x a x y --=的图像可能是
0≥
（7）若不等式组 43≥+y x 所表示的平面区域被直线3
4+=kx y 分为面积相等的两43≤+y x 部分，则k 的值是 （A ）
3
7 （B ）
7
3 （C ）
3
4 （D ）
4
3
（8）已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f ，)(x f y =的图像与直线2=y 的两个相
邻交点的距离等于π，则)(x f 的单调递增区间是
（A ）Z k k k ∈?????
?+
-
，，12512
πππ
π （B ）Z k k k ∈??
????
++，，1211125ππππ （C ）Z ∈???
??
?+
-
k ,6k 3
k πππ
π， （D ）Z
k 326k ∈??
?
??
?++，，ππππk （9）已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2
-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点
))1(,1(f 处的切线方程是
（A ）12-=x y （B ）x y = （C ）23-=x y （D ）32+-=x y
（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （A ）75
1 （B ）
75
2 （C ）
75
3 （D ）
75
4
（在此卷上答题无效）
2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（理科）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．
. 二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置. （11）若随机变量X~N （μ，σ2），则P （X ≤μ）= . （12）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，
并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的
极坐标方程为)(4
R ∈=ρπ
θ，它与曲线
αcos 21+=x
（α为参数）相交于两点A 和B ，则
αs i n 22+=
y
|AB|= .
（13）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 .
（14）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹
角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈，，则x+y 的最大值是 .
（15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）. ①相对棱AB 与CD 所在的直线异面；
②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；
③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内。 （16）（本小题满分12分） 在△ABC 中，sin(C-A)=1,sinB=
3
1.
第（13）题图
第（14）题图
(Ⅰ)求sinA 的值；
(Ⅱ)设AC= 6 ，求△ABC 的面积.
(17)(本小题满分12分)
某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染的。对于C,因为难以判定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是1/2.同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是1/3.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量。写出X 的分布列（不要求写出计算过程），并求X 的均值（即数学期望）。
（18）（本小题满分13分）
如图，四棱椎F-ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC=2,BD= 2 .AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE=1,CF=2.
(Ⅰ) 求二面角B-AF-D 的大小；
(Ⅱ) 求四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 公共部分的体积。o m
第（18）题图
（19）（本小题满分12分） 已知函数.
)(.0),ln 2(2)(的单调性讨论x f a x a x
x x f >-+-=
(20)(本小题满分13分) 点P （x 0,y 0）在椭圆
=+
2
22
2b
y a
x 1(a>b>0)上，x 0=βαcos , y 0=2
0,s in π
ββ<
直线2l 与直线
1l ：
12
02
0=+
y b
y x a
x 垂直，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ.
（Ⅰ）证明：点P 是椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 与直线1l 的唯一交点；
（Ⅱ）证明：tan α,tan β,tan γ构成等比数列。
（21）（本小题满分13分） 首项为正数的数列{n a }满足*2
1),3(4
1N n a a n n ∈+=
+.
(Ⅰ)证明：若1a 为奇数，则对一切2≥n ，n a 都是奇数； (Ⅱ)若对一切*N n ∈，都有n n a a >+1，求1a 的取值范围。 W 数学（理科）试题 第4页（共4页）
2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）一. 选择题
1-10. BDB A B CACAD 1、[解析]
17(17)(2)
1325
i i i i i
+++=
=-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B 。
2、[解析]集合1{|12},{|3}2
A x x
B x x x =-<<=<-
>或，∴1{|1}2
A B x x =-<<-
选D
3、[解析]
由2e =2
22
222331
,1,222
c
b
b a a a =+==，选B
4、[解析]：由a ＞b 且c ＞d ?a c +＞b+d ，而由a c +＞b+d a ＞b 且c ＞d ，可举反例。选
A
5、[解析]：由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =，由246a a a ++=99得4399a =即
433a = ，∴2d =-，4(4)(2)412n a a n n =+-?-=-，由10
n n a a +≥??
6、[解析]：/()(32)y x a x a b =---，由/
0y =得2,3
a b x a x +==
，∴当x a =时，y 取极
大值0，当23
a b x +=
时y 取极小值且极小值为负。故选C 。
或当x b <时0y <，当x b >时，0y >选C
m
7、[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由3434
x y x y +=??+=?得A （1，1），又B （0，4），C （0，4
3）
∴S
△ABC
=
144(4)12
3
3
-
?=
，设y kx =与34x y +=的
交点为D ，则由122
3
B C D S S A B C ?=?=
知12
D x =
，∴52
D y =
∴5147,2233
k k =?
+=
选A 。
8. [解析]：()2sin()6
f x x π
ω=+
，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，
由22226
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
得，,3
6
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈，故选C
9、[解析]：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，
即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程为
12(1)y x -=-，即210x y --=选A
10、[解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这
6个点中任意选两个点连成直线，共有22
661515225C C ?=?=
种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有
//,//,//,AC DB AD CB AE BF //,//,//AF BE CE FD CF ED
共12对，所以所求概率为124225
75
p ==
，选D
二. 填空题 11、[解析]
12
12、[解析] 直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程2
2
(1)(2)4x y -+-=
∴||AB ==13、[解析] 由程序框图知，循环体被执行后a 的值依次为3、7、15、31、
63、127，故输出的结果是127。 14、[解析]设A O C α∠=
,,
O C O A xO A O A yO B O A O C O B xO A O B yO B O B ??=?+????=?+???
，即01cos 2
1cos(120)2
x y x y αα?=-????-=-+??
∴0
2[cos cos(120)]cos 2sin()26
x y π
ααααα+=+-=+=+
≤
15、[解析]①④⑤
? A
? ? ? ?
?
B
C
D
E F
三．解答题
16、解：（Ⅰ）由2
C A π
-=
，且C A B π+=-，∴4
2
B A π
=
-
，∴
s i n s i n ()
(c o s s i n )
42222
B B
B
A π
=-=-， ∴2
11sin (1sin )2
3
A B =
-=
，又sin 0A >
，∴sin 3
A =
（Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin A C B C B
A
=
∴sin 31sin 3
AC A BC B
=
=
=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+
13
33
3
3
=
+
=
∴11sin 2
2
3
ABC S AC BC C ?=
??=
?=
17
X 的均值为11111
1233
2
6
6
E X =?+?+?
=m
附：X 的分布列的一种求法
共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1
：
情形⑥之下，A 直接感染了三个人。 18、解：（I ）（综合法）连接AC 、BD 交于菱形的中心O ，过O 作OG ⊥AF ， G 为垂足。连接BG 、DG 。由BD ⊥AC ，BD ⊥CF 得BD ⊥平面ACF ，故BD ⊥AF 。 于是AF ⊥平面BGD ，所以BG ⊥AF ，DG ⊥AF ，∠BGD 为二面角B －AF －D 的平面角。 由F C A C ⊥， 2FC AC ==，得4
F A C π
=
，2
O G =
A
B
C
由,2
O B O G O B O D ⊥==
，得22
B G D B G O π
∠=∠=
（向量法）以A 为坐标原点，BD 、A C 、AE
方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空
间直角坐标系（如图）
设平面ABF 的法向量1(,,)n x y z = ，则由1100n A B n A F ??=???=??
得02220
x y y z ?-
+=???+=?
令1z =
，得1x y ?=??=-??
1(1,1)n =-
同理，可求得平面ADF
的法向量21,1)n =-
。
由120n n ?=
知，平面ABF 与平面ADF 垂直，
二面角B-AF-D 的大小等于
2
π
。
（II ）连EB 、EC 、ED ，设直线AF 与直线CE 相交于点H ，则四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 的公共部分为四棱锥H-ABCD 。
过H 作HP ⊥平面ABCD ，P 为垂足。
因为EA ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，，所以平面ACFE ⊥平面ABCD ，从而,.P AC HP AC ∈⊥ 由
1,H P H P A P P C C F
A E
A C A C
+=+=得23
H P =
。
又因为12A B C D S A C B D =
?=
菱形
故四棱锥H-ABCD
的体积13
9
ABC D V S H P =
?=
菱形
19、解：()f x 的定义域是(0,+∞),2
2
2
22
()1.a x ax f x x
x
x
-+'=+
-
=
设2()2g x x ax =-+,二次方程()0g x =的判别式28a ?=-. ① 当280a ?=-<，
即02a <<时，对一切0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上
是增函数。
② 当280a ?=-=,
即a =
仅对x =
()0f x '=,对其余的0x >都有()0f x '>,
此时()f x 在(0,)+∞上也是增函数。 ③ 当280a ?=->
，即a > 方程()0g x =
有两个不同的实根12
a x -
=
,22
a x +=
,120x x <<.
此时()f x 在(0,
2
a -
上单调递增, 在(
22
a a -
+是上单调递减, 在
)2
+∞上单调递增.
20、解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。 解：（I ）（方法一）由
002
2
1x y x y a
b
+
=得2
2
02
(),b
y a x x a y =
-代入椭圆
222
2
1x y a
b
+
=,
得222
22
002
4
2
2
2
21(
)(
1)0b x b x b
x x a
a y a y y +
-
+-=.
将00cos sin x a y b ββ
=??=?代入上式,得222
2cos cos 0,x a x a ββ-?+=从而cos .x a β= 因此,方程组22
22
002211
x y
a b x y x y a
b ?+=????+=??有唯一解00x x y y =??=?,即直线1l 与椭圆有唯一交点P .
(方法二)显然P 是椭圆与1l 的交点，若Q 111(cos ,sin ),02a b βββπ≤<是椭圆与1l 的交点，
代入1l 的方程
cos sin 1x y a
b
ββ+
=，得11cos cos sin sin 1,ββββ+=
即11cos()1,,ββββ-==故P 与Q 重合。
（方法三）在第一象限内，由
222
2
1x y a
b
+
=可得0y y =
=
椭圆在点P 处的切线斜率2
02
(),b x k y x a y '==-
=-
切线方程为2
0002
(),b x y x x y a y =-
-+即
002
2
1x x y y a
b
+
=。
因此，1l 就是椭圆在点P 处的切线。
根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线1l 的唯一交点。 （II ）00
tan tan ,y b x a
αβ=
=
1l 的斜率为202
0,x b y a
-
2l 的斜率为202
0tan tan ,y a a x b
b
γβ=
=
由此得2tan tan tan 0,αγβ=≠tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列。 21、解：（I ）已知1a 是奇数，假设21k a m =-是奇数，其中m 为正整数，
则由递推关系得2
13(1)14
k k a a m m ++=
=-+是奇数。
根据数学归纳法，对任何n N +∈，n a 都是奇数。 （II ）（方法一）由11(1)(3)4
n n n n a a a a +-=
--知，1n n a a +>当且仅当1n a <或3n a >。
另一方面，若01,k a <<则113014
k a ++<<=；若3k a >，则2
133 3.4
k a ++>
=
根据数学归纳法，1101,01,;33,.n n a a n N a a n N ++<?>?∈ 综合所述，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >。
（方法二）由2
1213,4
a a a +=
>得2
11430,a a -+>于是101a <<或13a >。
2
2111133
()()
,
4
4
4
n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++--=
-
=
因为2
1130,,4
n n a a a ++>=
所以所有的n a 均大于0，因此1n n a a +-与1n n a a --同号。
根据数学归纳法，n N +?∈，1n n a a +-与21a a -同号。
因此，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >。