2017年高考数学一轮复习第十章立体几何初步第72课平行与垂直的综合应用教案

平行与垂直的综合应用

一、教学目标

1．理解直线与平面及平面和平面相关判断定理、性质定理；

2．能熟练地解决有一定综合性的立体几何证明问题.

二、知识梳理

【回顾】

证明线面平行、垂直有哪些方法？

证明面面平行、垂直有哪些方法？

【解析】

1.由面面平行可推出线面平行.

2.根据面面垂直的性质定理可推出线面垂直.

3.线面、面面平行和垂直最终都可归纳为求证线线平行和垂直，因此积累常见的平行和垂直的结构，可以为证题带来很大方便.

三、诊断练习

1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。找出学生错误的原因，设计“问题串”，将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。

2、诊断练习点评

题1．PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB和PC的中点，则MN与平面PAD的关系为______. 【分析与点评】取PD中点E，连AE及NE，因四边形AMNE是平行四边形，可判断MN//平面PAD.利用中点制造平行关系是常方法。

题2．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，下面有三个命题：

①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β.则真命题的个数为________．【分析与点评】对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，得l⊥β，又直线m?平面β，故l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m垂直和异面的

情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.

题3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下四个结论：

①D1C∥平面A1ABB1；②A1D1与平面BCD1相交；

③AD⊥平面D1DB；④平面BCD1⊥平面A1ABB1．

上面结论中，所有正确结论的序号为．

【分析与点评】对于①，由于平面A1ABB1∥平面CDC1D1，而D1C?平面CDC1D1，

故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1正确；

对于②，由于A1D1∥BC，所以A1D1?平面BCD1，错误；

对于③，只有AD⊥D1D，AD与平面BCD1内其他直线不垂直，错误；

对于④，容易证明BC⊥平面A1ABB1，而BC?平面BCD1，故平面BCD1⊥平面A1ABB1．正确．题4．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是________．

①若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

②若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

③若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n

④若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n

【分析与点评】易知①正确．而②中α⊥β且m⊥α?m∥β或m?β，又n∥β，容易知道m，n的位置关系不定，因此②错误．而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③错误．而④中因为②不对，此项也不对．综上可知①正确．

3、要点归纳

（1）线面关系是各类位置关系的核心，利用线面关系可判断面面关系，也可确定线线关系；B

C

D A1

A B1

C1

D1

（2）空间问题落实到平面上解决，常利用中位线构造平行关系，利用等腰三角形“三线合一”构造垂直关系，在有线段长度时可通过计算证平行或垂直；

（3）要关注学生文字语言与符号语言及图形语言之间的相互转化的训练。

四、范例导析

例1 如图，已知空间四边形ABCD 中，BC = AC ，AD = BD ，E 是AB 的中点.

（1）求证：AB ⊥平面CDE ； （2）求证：平面CDE ⊥平面ABC ； （3）若G 为△ADC 的重心，试在线段AE 上确定一点F ，使得GF//平 面CDE. 【教学处理】

因（1）（2

）两小题是线面垂直和面面垂直判定定理的简单应用，故（

1）（2）两小题可让学生完成，注重检查解题的规范性；（3）可先引导学生讨论，再由学生完成。

【引导分析与精讲建议】

（1）利用等腰三角形“三线合一”性质可证明AB ⊥EC 及AB ⊥ED ，从而证明AB ⊥平面CDE ；

（2）利用（1）及面面垂直判定定理可证明平面ABC ⊥平面CDE ；

（3）设计问题引导学生讨论，①G 是△ACD 的重心可得出什么数量关系？②落实到哪个平面解决问题？③如何作出过直线GF 且过点A 的平面？④要达到GF//平面CDE 的目的，只需要GF 与哪条直线平行？

例2

在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD

＝2，AB ＝3，BC ＝BE ＝7，△DCE 是边长为6的正三角形．

(1)求证：平面DEC ⊥平面BDE ；

(2)求点A 到平面BDE 的距离．

例2答案：(1)证明 因为四边形ABCD 为直角梯形， AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝3，所以BD ＝13，

又因为BC ＝7，CD ＝6，所以根据勾股定理可得BD ⊥CD ，

因为BE ＝7，DE ＝6，同理可得BD ⊥DE .

因为DE ∩CD ＝D ，DE ?平面DEC ，CD ?平面DEC ，

所以BD ⊥平面DEC .因为BD ?平面BDE ，

所以平面DEC ⊥平面BDE .

(2)解 如图，取CD 的中点O ，

连接OE ，因为△DCE 是边长为6的正三角形，

所以EO ⊥CD ，EO ＝33，

由(1)易知EO ⊥平面ABCD ，

则V E －ABD ＝13×12

×2×3×33＝33， 又因为Rt△BDE 的面积为

A B

C

D E

G

C

112×6×13＝313， 设点A 到平面BDE 的距离为h ，

则由V E －ABD ＝V A －BDE ，

得13×313h ＝33，所以h ＝33913

， 所以点A 到平面BDE 的距离为33913

. 【教学处理】

让学生寻求由“线面垂直?面面垂直”所需要的“线”和“面”，并说明理由.

【引导分析与精讲建议】

需要的线面垂直中的线怎么找？ 一般方法，先确实两个平面的交线，然后在两个平面内再分别寻找有哪条线与交线垂直，那条线即为所需要的线。

【点评】要求三棱锥的体积，必须求出三棱锥的一个顶点到对面的距离，本质上任然是证明线面垂直，要抓住线线垂直与线面垂直的相互转化。同时注意我们在求三棱锥体积时有个等体积转化，本题中任意选择一个点作顶点，另外三个点构成的三角形作底面都可以计算出三棱锥体积。

例3 已知等腰梯形PDCB （如图1），PB = 3，DC = 1，PD = BC = 2，A 为PB 边上一点，且PA = 1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD ⊥面ABCD （如图2）.

（1）证明：平面PAD ⊥PCD ；

（2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分V 几何体PDCMA ：V 几何体MACB = 2：

1.

【教学处理】

（1）让学生用分析法列出寻求平面PAD ⊥PCD 的步骤；

（2）先让学生建立感性认识：写出所有的几何体。 【引导分析与精讲建议】

问题①是证明“PA ⊥平面PCD ”，还是证明“CD ⊥平面PAD ” 问题②由条件能不能证明“CD ⊥AD ”？

问题③由“面PAD ⊥面ABCD ”能得出“CD ⊥PA ”吗？ 问题④各个几何体体积之间有什么数量关系？

若“V 几何体PDCMA ：V 几何体MACB = 2：1”则“V 几何体MACB ：V 几何体PABCD =？”

问题⑤能求出“V 几何体PABCD 吗”

问题⑥得出“V 几何体MACB ”的值后，如何确定M 点的位置？

变式：已知菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=?，将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置，点E 、F 、M 分别是AB 、1DC 、1BC 的中点., (1)证明：BD //平面EMF .(2)证明：1AC BD ⊥.(3)当EF AB ⊥时，求线段1AC 的长。

五、解题反思

1、空间问题转化为平面问题是解立体几何问题的指导思想，添加辅助线时也应在平面内作出所需辅助线；

2、要注重“文字语言”、“图形语言”及“符号语言”之间相互转化的训练，强调过程的规范性；

A B C

P 图1 A B P C D M 图2

3、“线面位置关系”是“线线位置关系”及“面面位置关系”的核心，应归纳推导“线面位

置关系”的方法，并注重分析法在寻求解题思路过程中的运用，

如例3（1）中位置关系的证明；

4、利用中位线或对应线段成比例构造平行关系、利用等腰三角形“三线合一”性质构造垂

直关系、通过计算（主要运用勾股定理逆定理）证明垂直，常用于平行或垂直关系的证明，

如例1的平行、垂直的证明者及例2中平行的构造等；

5、运用几何体的分割与组合，分离主要图形等方法，简化问题的解决过程，

如例题3中，V几何体PABCD= V几何体PDCMA+V几何体MACB．