北师大版八年级上册数学平方根与立方根练习题
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授课时段
课题 平方根与立方根习题课
重点 难点
教学步骤及教学内容
【知识归纳】
1.平方根：
（1）若x 2
=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方根,
记为 。规定，0的算术平方根为 。
（2）一个 的平方根有2个，它们互为 ；
只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。 （3）两个公式：（a ）2＝ （ ）； =2a
2.立方根：
1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ；
2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。 3）立方根的性质：（1）
()
3
3
a ＝ ，
（2）33
a ＝ .
平方根与立方根练习题
一、填空题
1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92
=x ，那么=x ________； 2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 4. 若3
,x x x =
=则 ，若2,x x x =-=则 。
5．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 6．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义；
7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ；
8．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 9.若0|2|1=-++y x ，则x+y=； 10．若642=x ，则3x ＝＿＿＿＿.
11．立方根是－8的数是＿＿＿，64的立方根是＿＿＿＿。 12．如果x 、y 满足|2|+++x y x =0，则x=，y=＿＿＿； 13、如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于 ； 14.若x 的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若3x =1，则x=＿＿＿ 二、选择题
1. 若2
x a =，则（ ）
A.0x >
B. 0x ≥
C. 0a >
D. 0a ≥
2．2
)3(-的值是（ ）．
A ．3-
B ．3
C ．9-
D ．9
3．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 4．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425+ D 、无法确定 6. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ）
A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤ 7. 若n 为正整数,则
21
1n +-等于（ ）
A ．-1 B.1 C.±1 D.21n + 8. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）
A.01a <<
B.0a >
C. 1a <
D. 1a >
9、2008年是北京奥运年，下列各整数中，与2008最接近的一个是（ ）
A ．43；
B 、44；
C 、45；
D 、46；
10．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A 、n+1；B 、2n +1；C 、1n +；D 、21n +。 11. 以下四个命题
①若a 是无理数，则a 是实数；②若a 是有理数，则a 是无理数；③若a 是整数，则a 是有理数；④若a 是自然数，则a 是实数．其中，真命题的是（ ） Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③
Ｄ．④
12. 当01a <<，下列关系式成立的是（ ） Ａ．a a >，3a a > Ｂ．a a <，3a a < Ｃ．a a <，3a a >
Ｄ．a a >，3a a <
13. 下列说法中，正确的是（ ）
Ａ．27的立方根是3，记作273=Ｂ．25-的算术平方根是5 Ｃ．a 的三次立方根是3a ±Ｄ．正数a 的算术平方根是a 14．下列命题中正确的是（ ）
（1）0.027的立方根是0.3；（2）3a 不可能是负数；（3）如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0;(4)一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1. A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（4） D.（3）(4) 15. 下列各式中，不正确的是（ ）
Ａ．2
33
(3)(3)->
-
Ｂ．2
33(8)(2)-<--
Ｃ．2
2
21a a +>+
Ｄ．2
(5)5-=-
16．若a<0，则a
a 22
等于（）
A 、
21 B 、2
1
- C 、±21 D 、0 17、化简(－3)2
的结果是（ ）
A.3
B.－3
C.±3 D ．9 18．已知正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A ．S a =
B ．±S a =
C ．a S =
D ．a S =±
19、算术平方根等于它本身的数（ ）
A 、不存在；
B 、只有1个；
C 、有2个；
D 、有无数多个； 20、下列说法正确的是（ ）
A ．a 的平方根是±a ；
B ．a 的算术平方根是a ；
C ．a 的算术立方根3a ；
D ．-a 的立方根是－3a ． 21、满足-2＜x ＜3的整数x 共有（ ）
A ．4个；
B ．3个；
C ．2个；
D ．1个．
22、如果a 、b 两数在数轴上的位置如图所示，则 ()2b a +的算术平方根是（ ）； A 、a+b ；B 、a-b ；C 、b-a ；D 、-a-b ；
23、如果-()2
1x -有平方根，则x 的值是（ ） A 、x ≥1；B 、x ≤1；C 、x=1；D 、x ≥0；
24．已知a 中，a 是正数，如果a 的值扩大100倍，则a 的值（ ） A 、扩大100倍；B 、缩小100倍；C 、扩大10倍；D 、缩小10倍；
三、解方程 1. 8)12(3
-=-x 2．4(x+1)2=8
3. (2x+1)2
-16=0 4. (2x-5)3
=-27
四、解答题
1.已知： 实数a 、b 满足条件0)2(12=-+-ab a
a ． －1． 0
b ．． 1．
2.已知一个正数的平方根是2a-1和a-5,求a 的值
3.（1）若b=3-a +a -3+2,求b a
的值。 （2）已知a 、b 满足5-a +2a -5=b+4,求ab 的值
4.实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，且a b =，化简2
2
()2a a b c a c ++---．
5.已知一个正方体的体积是10002cm ，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，截去后余下的体积是4882cm ，问截去的每个小正方体的棱长是多少？
a b
c 0
八年级数学平方根练习题包含答案
平方根检测题 ◆随堂检测 1、25 9的算术平方根是 ；___ __ 2、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是 3x 的取值范围是 ，若a ≥04、下列叙述错误的是（ ） A 、-4是16的平方根 B 、17是2(17)-的算术平方根 C 、164的算术平方根是18 D 、0.4的算术平方根是0.02 ◆典例分析 例：已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c 且a 、b |4|0b -=，求c 的取值范围 分析：根据非负数的性质求a 、b 的值，再由三角形三边关系确定c 的范围 |4|0b -=0 |4|b -≥0|4|b -=0 所以a=3 b=4 又因为b-a A ．1a + B ．21a + C ．21a + D ．1a + 2、（08年泰安市）88的整数部分是 ；若a<57 山东省枣庄市第四十二中学八年级数学第二章《平方根》教案北师大 版 教学目标： 1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根． 2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根． 3．了解算术平方根的性质． 教法与学法指导： 学生已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性． 课前准备： 制作课件，学生课前进行相关调查及预习工作. 教学过程 一．创设情境 1.我们已在上学期学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算。在这五种运算中那些是逆运算呢? a加法与减法互为逆运算； b乘法与除法互为逆运算 c那么乘方与谁互为逆运算呢？ 要剪出一张边长是5厘米的正方形纸片，它的面积是多少？ 这个问题实际上就是求: 我们把问题反过来，要做一张面积是25平方厘米的方桌面，它的边长是多少厘米？ 实际上就是要求出一个数，使它的平方等于25，即： 显然，括号里应是±5，但－5不符题意。 ∴方桌面的边长应是5厘米 如果这块正方形的面积为单位1，那么它的边长是多少？如果面积分别为9、16、36、呢？那么3呢？怎么求呢？怎么表示？ 二．自主探究合作交流 上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题。实际上是已知一个正数，求这个正数平方根的问题。 对于面积为3的直接求不出来，那么怎样准确的把它表示出来呢？ 阅读课本38页并回答以上问题。（找同学回答并说明理由） 问题1：你能叙术算术平方根的概念吗？ 一般地：如果一个正数的平方等于a，即=a，那么这个正数叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。 强调：书写时根号一定要把被开方数盖住。 问题2：表示什么意思？它的值是怎样的数？ 这里的被开方数a应该是怎样的数？ 问题3：0的算术平方根是多少？怎么表示？ 归纳：表示a的算术平方根。 算术平方根为非负数，即：0，被开方数为非负数，即a0,负数没有算术平方根，即：当a<0时，无意义。 三．巩固练习加深理解 （一）例题精讲 .例1：求下列各数的算术平方根。 900； 1； 49/64 ；14； 92 －9；0 学生活动：模仿教材例1的模式，注意语言的准确性和书写的规范性。 学生板演，全班同学做完后修改板演同学的错误，用彩笔改出来。 对于 92 －9；0 三个问题的设置加深对算术平方根的非负性的理解，进一步提高语言表达的准确性和书写的规范性。 例2：下列各式表示什么意思？你能求出它们的值吗？ 平方根与立方根知识点平方根 1.概念： （1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数 （2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 （3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B零有一个平方根，它是零本身 C负数没有平方根 （4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号2a表示， a叫做被开方数，2叫做根指数,正数a的负的平方根用符号“﹣2a”表示，a的平方根合起来记作“±2a，其中“2”读作“二次根号”“2a”读作“二次根号下a ”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“±2a”读作“正、负根号a” （5）算术平方根：注： 1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质； 2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； 3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。 3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同： 联系：①具有包含关系： ②存在条件相同： 立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数 （2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。 （3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零 （4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号3a来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1. 相关概念 某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 （a≥0,b≥0）。 非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根， 即（a≥0,b>0）。 开方运算 我们知道，当a≥0时，│a│=a；当a<0时，│a│=a.综上所述，有 初二数学上册平方根与立方根专项练习题 一、填空题： 1、144的算术平方根是 ， 16的平方根是 ； 2、327= ， 64-的立方根是 ； 3、7的平方根为 ，21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ； 5、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； 6、当x= 时， 13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若 3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10若x 的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若 3x =1，则x=＿＿＿； 11．若2)1(+x -9=0，则x=＿＿＿；若273x +125=0，则x=＿＿＿； 12．当x ＿＿＿时，代数式2x+6的值没有平方根； 13如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于 ； 147在整数 和整数 之间，5在整数 和整数 之间。 二、选择题 11、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 12、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 13、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 14、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 15、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0 学科教师辅导讲义 知识点2：估算 估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结 确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值围是（ ） A.10< 2.平方根与算术平方根的区别与联系 例2.求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0009 （2）8125 （3）25-）（ 知识点4：平方根的性质 平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ± ，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.0 随堂巩固 一、选择题. 1. 4的算术平方根是（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是（ ） A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是（ ） A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ） A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：（1）4 12= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += . 3004.0 第二章实数 2. 平方根（第1课时） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生刚学完《勾股定理》，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能． 学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》的第二节《平方根》．本节内容计2个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性，因此确定本节的教学目标如下： ①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质． ②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识． ③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲． 三、教学过程设计 本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．本节课教学流程为： 第 一环节：问题情境 方法一：问题导入 内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大的正方形，那么有22 =a ，a ＝ ，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若a x =2，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习． 方法二：问题导入 内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： =2x ，=2y ，=2z ，=2w ． 目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性． 效果：能表示22=x ，32 =y ，42=z ，52=w ；能求得2=z ，但不能求得x ，y ，w 的值． 说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二． 第二环节：初步探究 内容1：情境引出新概念 22=x ，32=y ，42=z ，52=w ，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？ 目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性． 平方根与立方根知识点 1、平方根： （1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数 （2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 （3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B零有一个平方根，它是零本身 C负数没有平方根 （4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示， a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读 作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”. （5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是 ：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。 3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同： 2、立方根： 1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数 （2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。 （4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。 注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1. 典型例题：平方根 例1 说出一个正数的算术平方根与平方根的区别与联系． 解：（1）一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根． （2）一个数的算术平方根与平方根的平方都等于这个数． 例2 如图，把12个边长为1cm 的正方形拼在一起． （1）算出A 点到B.C.D.E.F 之间的长度． （2）以图中A.B.C.D.E.F 中的三个点为顶点的三角形中有没有等腰三角形？如果有写出这些三角形，并说明它们为什么是等腰三角形．“ 分析：利用勾股定理可以算出A 点与C.D.E.F 各点的距离．（2）找到某一点到另外两个点的距离相等，就可以确定由这三个点为顶点的三角形是等腰三角形． 解 ：（1）3=AB cm ．17142 2=+=AC cm ． 5254202422=?==+=AD cm ． 5253422==+=AE cm ． 133222=+=AF cm ． （2）图中BEF CEF ??,是等腰三角形，因为2==EF EC cm ，因此CEF ?是等腰三角形． 又因为 101322=+==BF BE cm ，因此BEF ?是等腰三角形． 例3 在直角三角形ABC 中，b a 、是两条直角边，c 为斜边，若46.13,23.9==b a ，求c 的长（精确到0．01）． 分析：根据勾股定理2 22c b a =+，代入相关的数据，利用求平方根的方法可求出c 的值． 解：222c b a =+ ，且46.13,23.9==b a ， ∴32.163645.26646.1323.92 222≈=+=+=b a c ． 例4 求下列各数的平方根． 平方根: 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说，如果x 2 ＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2 ＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没 有平方根。 知识点二： 概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？ －7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2 ； )3 21(-（3）已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解： 例1、求下列各数的平方根： (1)81； (2)1916； (3)0.09 例2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1)－64； (2)0； (3)( - 例3、求下列各式的值： (1)10000； (2)144-；(4)0001.0-； (5)81 49± 第三章 实 数 3.1.1 平方根和算数平方根（1） 南强中学 胡燕科 教学目标： 1、了解平方根的概念，会用根号表示平方根。 2、了解开方与乘方互逆运算，会用求某些非负数的平方根。 3、发展学生的符号语言。 教学重点难点：了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根 教学方法：观察、比较、合作、交流、探索. 教学过程 一、问题导入 1、复习乘方的运算，即已知底数和指数，求幂的运算。 要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少？ 2、问题导入 要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？ 这节课我们就一起来学习与乘方互逆的另一种运算。 二、探索规律，揭示新知 1、平方根的概念 （1）观察式子 括号里面能够填什么？ 我们把把括号里的±3叫做9的平方根（二次方根）。 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。 如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。 设计说明：所选的题目具有代表性，学生通过做题后思考讨论交流，能够较好接受平方根的概念 （2）练习巩固平方根的概念 出示练习题目 2、平方根的性质 ①144的平方根是什么? ②0的平方根是什么? ③ 的平方根是什么? ④-4的平方根是什么?为什么? 从上面的回答中,你发现了什么? 设计说明：通过对具体的数的平方根的讨论交流，使学生自己总结出正数、0、负数的平方根的情况，让学生经历探索规律的过程，加深对规律的理解 问题三：从问题二中，你得到了什么结论？ 3、平方根的表示方法 9 )(2=121 64 （1）正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。 （2）正数a 的算术平方根记作： 它的另一个平方根记作： （3）一个正数a 的平方根表示为： （4）0的算术平方根还是0 小结：求一个正数的平方根，只要求出它的算术平方根后，就可以写出它的平方根了。 4、平方根的求法 例1 求下列各数的平方根： （1）100；（2）1.44；（3） ； 分析：1、判断这些数是否都有平方根； 2、根据规律各个数的平方根有几个？ 设计说明：在处理例题时要让学生充分参与分析，在运算时特别要注意一个正数的平方根有两个，对解题方式有提醒按要求。 解： （1） ∴100的平方根是±10 即 注意：不能写成 请你妨照上面的例子完成其余二个小题。 例2：求下列各数的算术平方根。 36 0.49 解：由于 ，因此 。 注意：一个正数的算术平方根只有一个！ 你能完成剩下的两道题目吗？ 三、巩固练习 完成108页做一做的1、2、3题 四、课堂小结 本节课我们学习了哪些内容，你有什么收获？ 作业：第110页 习题3.1 A 组第1题和第2题； a a - a ± 49 16100) 10(2=±Θ10100±=± 10 100±=925 3662=636= 平方根与立方根 一、填空题： 1、144的算术平方根是 ， 16的平方根是 ； 2、327= ， 64-的立方根是 ； 3、7的平方根为 ，21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ； 5、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； 6、当x= 时， 13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若 3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10若x 的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若 3x =1，则x=＿＿＿； 11．若2)1(+x -9=0，则x=＿＿＿；若273x +125=0，则x=＿＿＿； 12．当x ＿＿＿时，代数式2x+6的值没有平方根； 13如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于 ； 147在整数 和整数 之间，5在整数 和整数 之间。 二、选择题 11、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 12、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 13、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 14、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 15、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0 【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2 个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号 a”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x = a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a “平方根”与“立方根”知识点小结 一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 。 2、立方根： ⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a （a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a ≥0。 4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151 ； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值 （1）81± ； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. （5） 44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值. 当a ≥0时，a 的平方根是± a ，即a 是非负数. 例4、若 ,622=----y x x 求y x 的立方根. 练习：已知 ,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程 例6、解方程（1）（x+1）2 =36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知：y= )1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根. 23(2)0y z -++=，求xyz 的值。 初二上册数学算术平方根知识点总结 除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初二上册数学算术平方根知识点总结，希望对大家的学习有一定帮助。 算术平方根的双重非负性 1.a中a≧0 2.a≧0 算术平方根产生根号(即算术平方根)的产生源于正方形的对角线长度根号二，这个根号二的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。因为按当时的权威解释(也就是毕达哥拉斯学派的学说)，世界的一切事物都可以用有理数代表。 对于这个无理数根号二，最终人们选取了用根号来表示 算术平方根举例 9的平方根为9的算术平方根为3，正数的平方根都是前面加，算术平方根全部都是正数。 算术平方根辨析 算术平方根和平方根是大家学习实数接触最多的概念，两者密不可分。可对于初学者来说是对孪生杀手，很容易在解题过程中产生错误。算术平方根和平方根到底有哪些区别与联系呢? 一、两者区别 1、定义不同：⑴一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根(arithmetic square root)。⑵一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根(square root)。这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。 2、表示方法不同：⑴a的算术平方根记为a ，读作根号a，a叫做被开方数(radicand)。⑵a的平方根记为a，读作正负根号a，其中a叫做被开方数。 3、个数不同：从形式上看，二者的符号主体相似，但是一个数的平方根要在其算术平方根的前面写上。这也正好说明了一个正数和零的算术平方根有且只有一个，而一个正数却有两个互为相反数的平方根。零只有一个平方根 二、两者联系 1、前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是只有非负数才有算术平方根和平方根。 2、存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。 3、0的算术平方根和平方根相同，都是0。 小编为大家整理的初二上册数学算术平方根知识点总结相 关内容大家一定要牢记，以便不断提高自己的数学成绩，祝 3.1 平方根 3.1.1 平方根和算数平方根（1） （第1课时） 教学目标： 1、了解平方根的概念，会用根号表示平方根。 2、了解开方与乘方互逆运算，会用求某些非负数的平方根。 3、发展学生的符号语言。 教学重点难点：了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根 教学方法：观察、比较、合作、交流、探索. 教学过程 （一）创设情景，感悟新知 情景一：在等式a x =2中 ， （1） 已知3-=x ，你能求a 吗？ （2） 已知5=a ，你能x 求吗？ （二）探索规律，揭示新知 问题一：认真观察下面的式子，积极思考，互相讨论： 请你举例与上面的式子类同的式子； 你得到什么结论？ （分小组讨论，老师适当参与给予帮助。） 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根(square root),也称为二次方根。 如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。 设计说明：所选的题目都具有代表性，学生通过做题后思考讨论交流，能够较好接受平 方根的概念 .25.0)5.0(,25.05.0,9 1)31(,91)31(, 4)2(,42222222=-==-==-= 问题二：在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能够，请填写；如果不能， 请说明理由，并与同学交流。 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数。 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a - ”。 这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a”. 设计说明：通过对具体的数的平方根的讨论交流，使学生自己总结出正数、0、负数的 平方根的情况，让学生经历探索规律的过程，加深对规律的理解 问题三：从问题二中，你得到了什么结论？ 适当的帮助，要给与鼓励 （三）尝试反馈，领悟新知 例1 求下列各数的平方根： 25；（2）8116（3）15；（4）()22-。 分析：1、判断这些数是否都有平方根； 2、根据规律各个数的平方根有几个？ 设计说明：在处理例题时要让学生充分参与分析，在运算时特别要注意一个正数的平方 根有两个，对解题方式有提醒按要求 练习题一：完成书本4页练习。 练习题二：1、平方得81的数是 ，因此81的平方根是 。 2、平方根是它本身的数是 。 3、如果－b 是a 的平方根，那么（ ） A 、2a b =； B 、2b a = ； C 、2a b -=； D 、2b a -=。 设计说明：在练习的过程中，无论哪个层次的学生其回答只得法，我们教师要给与鼓励 )(()()()()()()(). 4,0,10,5;2 1,41,25,922222222-======== §12.1 平方根与立方根 第一课时平方根（9月1日星期二） 教学目的： 1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根； 2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法； 教学重点和难点： 重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法； 难点：平方根的概念； 关键：对符号“”意义的理解。 学法指导： 根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。 教法指导： 1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。 2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。 教学过程： 一、引入新课： 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。 可以先预练1—20的平方计算。 二、新课学习： 1、知识设疑： （1）计算：42；(－4)2 (0.8)2；(－0.8) 2、知识形成： 知识点一： 我们可以设这个数为x ，则2x ＝16，问题归结为求x 以通过乘方运算来解决。 因为42＝16所以x ＝4 ；又因为(－4)2＝16，所以x ＝－4 。4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2＝16。 因为4或－4的平方都等于16，我们把4概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，二次方根)。就是说，如果x 2＝a,那么如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2＝529，所以±23是529问：（1）16，49，100，1 100根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，是0本身；负数没有平方根。 知识点二： 概括：求一个数a(a ≥0)个数可以是正数、负数或者是0平方都是正数，0的平方是0。互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625－7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2； 2 )32 1( ； －（3）已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少？ 《平方根》 平方根及算术平方根是两个重要的概念，是全章的教学重点.学生对平方根及算术平方根的概念常常混淆，因此， 在教学中引导学生真正理解这两个概念的本质是什么，并能分清它们的区别与联系，引导学生建立清晰的概念系统，有针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中。 【知识与能力目标】 1．能说出平方根和算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。 2．知道开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根。 3表示的是非负数a 的平方根。 【过程与方法目标】 1．通过对比体会平方根、算术平方根的联系和区别； 2．在学习开平方运算求一个数的平方根、算术平方根的过程中，体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系。 【情感态度价值观目标】 进一步感受到所学数学知识之间的内在联系。 【教学重点】 平方根和算术平方根的概念和求法. 【教学难点】 弄清平方根与算术平方根的意义 有两个边长为1的正方形，剪刀。 一、创设情境 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的.例如个面积为 50 平方米的正方形展厅，它的边长应是多少?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方.这节课我们就要学习开方运算和平方根。 二、探索新知 （1）计算:42 ，(－4)2 ； 23 ()5，23()5 ；(10)2 ，(-10)2 02 （2）如果x 2=16，则x 等于多少？ 因为42 =16所以x=4；又因为(－4)2 =16，所以x=－4.4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2=16。 因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根。 一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是说，如果x 2 =a,那么x 就叫做a 的平方根。 2.2 平方根(一) 教学目标： (一)教学知识点 1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根. 2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根. 3.了解算术平方根的性质. (二)能力训练要求 1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平. 2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神. (三)情感与价值观要求 1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲. 2.训练学生动脑、动口、动手能力. 教学重点： 了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根. 教学难点： 了解算术平方根的概念、性质. 教学过程： Ⅰ.新课导入 上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题. Ⅱ.讲授新课 ［师］在讲新课之前，我们先回忆一下勾股定理，请同学们回答. ［生］勾股定理就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方. ［师］下面请大家根据勾股定量，结合图形完成填空. 根据下图填空 x2=_________y2=_________z2=_________w2=_________ ［师］请大家思考后回答. ［生］x2=2,y2=3,z2=4,w2=5. ［师］请大家再分析一下，x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？ ［生］x，y，w是无理数，z是有理数. ［师］为什么呢？ ［生］因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x，y，z不是有理数，而22=4，所以z=2. ［师］这位同学分析得非常正确，那么大家能不能把上图中的x，y，z，w表示出来呢？请大家仔细看 平方根（2） 【教学重难点】： 平方根与算术平方根的区别与联系. 【自学指导】： 一、学生看P40---P41并思考一下问题： A.什么样的数有平方根？ B.算术平方根与平方根的区别与联系是什么？谈谈你的看法？ C.负数为什么没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因是 什么？ D.什么叫开平方呢？我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有 怎样的联系呢？ E.一个正数有几个平方根？ F.0有几个平方根? 二、师生共同探讨，总结： A.平方根与算术平方根的联系与区别 联系： (1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平 方根的一种. (2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才 有. (3)0的平方根，算术平方根都是0. 区别： (1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”. (2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. (3)表示法不同：正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a. (4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个. B.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。0只有一个平 方根，它是0本身。负数没有平方根。一个正数a有两个平方根,它们互为相反数。正数a的正的平方根,记作“a”，正数a的负的平方根,记作“-a”，这两个平方根合在一起记作“±a”。 C.开平方与平方互为逆运算。因此，我们可以通过平方运算 来求一个数的平方根。 _根 _a的正平方_被开方数 _a的负平方 D. E.一般地,如果一个数的平方根等于a,那么这个数叫做a的 平方根,也称为二次方根.也就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根. 【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 - （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这 个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数． { 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x = 。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5， =50。 } （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x =八年级数学上册 第二章《平方根》教案 北师大版
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