2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．若集合{}2120A x x x =--≤，10
1x B x x +?
?
=
?
，{}C x x A x B =∈?且，
则集合C =（ ） A ．[)(]3114--?，， B ．[](]3114--?，， C ．[)[]3114--?，， D ．[][]3114--?，， 【答案】 D
【解答】 依题意，{}[]212034A x x x =--≤=-，，10
(11)1x B x x +?
?
=<=-??-?
?
，
。 由x A ∈，知34x -≤≤；x B ?，知1x ≤-或1x ≥。 所以，31x -≤≤-或14x ≤≤，即[][]3114C =--?，，。
2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=（0m >）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（ ）
A
B ．2 C
D
【答案】 D
【解答】由12l l ⊥知，(2)(2)(2)30m m m m +?-++?=，结合0m >，得230m m -+=，1
2
m =
。 ∴ 1l 方程为531022x y ++=，即5320x y ++=；2l 方程为：35
4022
x y -+-=，即3580x y -+=。
由53203580x y x y ++=??-+=?，得1
1x y =-??=?。因此，(11)P -，
，线段OP
3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且
AB BC ⊥。则二面角A PC B --的余弦值为（ ）
A
．
3 B
．3 C
．3
D ．13
【答案】 B
【解答】如图，取AC 中点O ，PC 中点D ，连结OP ，OB ，OD ，DB 。 不妨设2AB =，则由条件知，2PA PC ==
，AC = ∴ P A P C ⊥
，1
2
OP AC OC =
==。 ∴ O D P C ⊥。又B
D P C ⊥，故B D O ∠是二面角A PC B --的平面角。
在BOD △
中，由OB ，1OD =
，BD =， 得90BOD ∠=?
，cos 3OD BDO BD ∠=
==
。 A
A
B
C
P
O
D
（第3题）
∴ 二面角A PC B --
的余弦值为
3
。 4．若函数2243()2log 3a x x x f x x x ?-+≤=?+>?，，
，，
（0a >，且1a ≠）的值域为[)3+∞，，则实数a 的取值范围为
（ ）A ．(]13， B ．(13)， C ．(3)+∞， D ．[)3+∞，
【答案】 A
【解答】 ∵ 3x ≤时，函数22()24(1)3f x x x x =-+=-+的值域为[)3+∞，， ∴ 3x >时，2log 3a x +≥，即3x >时，log 1log a a x a ≥=。 ∴ 1a >，且3x >时，x a ≥恒成立。 ∴ 13a <≤，a 的取值范围为(]13，。
5．如图，在四面体P ABC -中，已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且3PA PB PC ===。则在该四面体表面上与点A
距离为 ）
A
． B
． C
．2 D
．2
【答案】 D
【解答】 如图，
设AE AF AG ===E 在AB 上，F 在PB 上，G 在PC 上）。 由PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC ⊥，3PA PB PC ===
，知PF PG ==，
6
PAF π
∠=
，4
6
12
EAF π
π
π
∠=
-
=
。
∴ 在面PAB 内与点A
距离为的点形成的曲线段（图中弧EF
）长为
12
6
π
?=
。 同理，在面PAC 内与点A
距离为
6
。 又在面ABC 内与点A
距离为
3
3
π
?=
。 在面PBC 内与点A
距离为FG
）长为2
2
π
=
。 ∴ 四面体表面上与点A
距离为
+=。 6．()f x 是定义在R 上的函数，若(0)1f =，且对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =（ ）
A ．2013
B ．2015
C ．2017
D ．2019 【答案】 C
A
C
B
P
（第5题）
【解答】 ∵ 对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，
∴ [][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤。 又(6)()6f x f x +-≥。因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+。 ∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈。
∴ (2016)(06336)(0)6336120162017f f f =+?=+?=+=。 二、填空题（每小题6分，共36分）
7．已知实数x ，y 满足226440x y x y +-++=，记2224x y x y μ=++-的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 。
【答案】 72
【解答】设()P x y ，，由226440x y x y +-++=知，22(3)(2)9x y -++=。因此，点P 在以1(32)C -，为圆心，3为半径的圆上。
又222224(1)(2)5x y x y x y μ=++-=++--，设2(12)C -，，则2
25C P μ=-。
∵
2max
2133C P
C C =+=
，2min
2133C P
C C =-=。
∴
23)5M =-
，23)5m =-，72M m +=。
注本题也可以三角换元法。由22(3)(2)9x y -++=，设33cos x α=+，23sin y α=-+，代入μ后求最值。
8．过直线2y x =上一点P 作圆C ：225
(3)(1)4
x y -+-=
的切线PA 、PB ，A 、B 为切点。若直线PA 、PB 关于直线2y x =对称，则线段CP 的长为 。
【答案】
【解答】由切线PA 、PB 关于直线PC 关于对称，以及切线PA 、PB 关于直线2y x =对称知，直线
2y x =与直线PC 与重合或垂直。
由点C 不在直线2y x =上知，PC 与直线2y x =垂直。
设(2)P t t ，
，则211
32
t t -=--，1t =。∴ (12)P ，
，CP = 9．已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为6，侧棱长为5，I 为侧面PCD △的内心，则四棱锥
I ABCD -的体积为 。
【答案】
【解答】如图，取BC 中点E ，连结PE ，由条件知在PCD △中，5PC PD ==，6CD =。 ∴ I 在线段PE 上，且
53PI PC IE CE ==。∴ 38
IE PE =。 ∴
233168832
I ABCD
P ABCD V V --==??。 10．已知()f x 是偶函数，0x ≤时，[]()f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最
大整数），若关于x 的方程()f x kx k =+（0k >）恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 。
【答案】 1132??
????
，
【解答】作出函数()y f x =与y kx k =+的草图（如图所示）。 易知直线y k x
k =+恒过点(10)-，，1x =-是方程
()f x kx k =+的一个根。从图像可知，
当
1010
2(1)1(1)
k --≤<
----，即1132k ≤<时，两个函数的图像恰有三个不同的交点。∴ k 的取值范围为1132??
????
，。
11．方程2(1)(1)1x y xyz ++-=（x y <）的正整数解()x y z ，，为 。（写出所有可能
的情况）
【答案】 (135)，，，
(373)，， 【解答】依题意，2221xy x y xyz +++=。
∴ (2221)x y x y x y +++，(221)xy x y ++，221xy x y ≤++。 由x y <，知1x y +≤，因此，2214x y y ++<。 ∴ 4x <，1x =，2，3。
若1x =，则(23)y y +，3y ，3y =。将1x =，3y =代入题中方程，得153z =，5z =。 若2x =，则2(25)y y +，25y 。由2y >知，y 不存在。
若3x =，则3(27)y y +。所以，327y y ≤+，又3y >，因此，4y =，5，6，7。经验证只有7y =符合3(27)y y +。将3x =，7y =代入题中方程，得6321z =，3z =。
∴ 符合条件的正整数解有()(135)x y z =，
，，，或(373)，，。 12．已知0a >，0b >，0c >，则5823232b c a c b c
a b b c c a
++++++++的最小值为 。 【答案】 6
【解答】 设a b x +=，23b c y +=，2c a z +=，则0x >，0y >，0z >。 且4237x y z a -+=
，3237x y z b +-=，227
x y z
c -++=。 ∴ 5b c x y z +=-++，82424a c x y z +=-+，3b c x y z +=+-。 ∴ 5823424232b c a c b c x y z x y z x y z
m a b b c c a x y z
+++-++-++-=
++=+++++ 4444(1)(2)(1)()()()442446y z x z x y y x z x z y
x x y y z z x y x z y z
=+-++-++-=+++++-≥++-= 当且仅当
4y x x y =，z x x z =，4z y
y z
=，即2y x =，z x =，2y z =，即2y x =，z x =时等号成立。（如
7x z ==，14y =，即3a =，4b =，2c =时等号成立）。
∴
5823232b c a c b c
a b b c c a
++++++++的最小值为6。 三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） 13．已知()ln f x x =，2()241g x x ax a =-+-。
（1）若函数(())f g x 在区间[]13，上为单调函数，求实数a 的取值范围；
（2）若函数(())g f x 在区间3
1e ????，上的最小值为2-，求实数a 的值。
【答案】（1）依题意，2(())ln(241)f g x x ax a =-+-。
由(())f g x 在区间[]13，上为单调函数，知()g x 在区间[]13，上是单调函数，且()0g x >。
∴ 1(1)124120a g a a a ≤??=-+-=>?或3
(3)9641820a g a a a ≥??=-+-=->?。 ………… 4分
∴ 01a <≤或34a ≤<。
∴ 实数a 的取值范围是(][)0134?，，。 ……………………… 8分 （2）2(())ln 2ln 41g f x x a x a =-+-。
设ln x t =，则03t ≤≤，222(())241()41g f x t at a t a a a =-+-=--+-。
设 22()()41h t t a a a =--+-，03t ≤≤ ……………………… 12分
则0a <时，()h t 的最小值为(0)41h a =-。由412a -=-，得1
4
a =-，符合要求。
03a ≤≤时，()h t 的最小值为2()41h a a a =-+-。由2412a a -+-=-
，得2a =±舍去。
3a >时，()h t 的最小值为(3)964182h a a a =-+-=-。由822a -=-，得5a =，符合要求。
综合，得1
4
a =-或5a =。 …………………………… 16分
14．已知2()(2)f x x a x a =---（a R ∈）。
（1）若()0f x =在区间(31)-，
内有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围； （2）若1x >时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围。
【答案】（1）依题意，有22(2)440
2312
(3)93(2)230(1)1(2)320
a a a a f a a a f a a a ?=-+=+>?
-?-<
?=---=->??△。 …………… 4分 解得3322a -<<。∴ a 的取值范围为33
()22
-，。 ……………………… 8分
（2）∵ 1x >时，()0f x >恒成立，
∴ 1x >时，2(2)0x a x a --->，即2(1)2x a x x +<+恒成立。
∴ 1x >时，221x x
a x +<+恒成立。 ……………………… 12分
设1t x =+，则2t >，
22211
1x x t t x t t
+-==-+。 由1y t t =-在(2)+∞，上为增函数，知1y t t =-的值域为3
()2
+∞，
。 ∴ 32a ≤
，即a 的取值范围为32?
?-∞ ??
?，。 ……………………… 16分 另解：由（1）知，22(2)440a a a =-+=+>△ ，()0f x =总有两个不相等的实根。设方程()0f x =的两根为1x ，2x （12x x <）。
∴ 1x >时，()0f x >恒成立
?21x =≤。 ………………… 12分
∴
4a ≤-，22
404(4)a a a -≥??+≤-?
。解得，3
2a ≤。 ∴ a 的取值范围为32?
?-∞ ??
?，。 ………………………… 16分
15．如图，圆O 的圆心在坐标原点，过点(01)P ，
的动直线l 与圆O 相交于A ，B 两点。当直线l 平行于x 轴时，直线l 被圆O
截得的线段长为
（1）求圆O 的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy 内，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得
QA PA QB
PB
=
恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）设圆O 半径为r
，依题意有2221r +=。 ∴ 24r =，圆O 方程为224x y +=。…………… 4分 （2）设符合条件的点Q 存在。
当直线l 平行于x 轴时，PA PB =，由此可得QA QB =。又此时A 、B 关于y 轴对称，因此，
点Q 在y 轴上。设(0)Q t ，
。 当l x ⊥轴时，(02)A ，，(02)B -，。由QA PA QB
PB
=
，得
2
1
23
t t -=+，
4t =或1t =（舍去）。（当(02)A -，，(02)B ，时，同理可得4t =）
因此，若点Q 存在，则点Q 只能为(04)Q ，。……… 8分 下面证明点(04)Q ，
符合要求。 当直线AB 斜率不存在或为0时，由前面讨论可知点(04)Q ，
符合要求。 当直线AB 斜率存在且不为0时，设AB 方程为1y kx =+。
（第15题）
由22
14y kx x y =+??+=?，得22(1)230k x kx ++-=。 设11()A x y ，，22()B x y ，，则12221k x x k -+=+，12
23
1
x x k -=+。 ∴ 12121212
441414
QA QB y y kx kx k k x x x x --+-+-+=
+=+
2121212
2211
123()232322031
k
x x k k k k k k x x x x k -++=-+=-?=-?=-=-+。
∴ AQO BQO ∠=∠。 …………………………… 12分 ∴ QP 平分AQB ∠，由角平分线性质定理知，
QA PA QB
PB
=
。
综上可知，符合条件的点Q 存在，其坐标为(04)Q ，
。 ……………………… 16分 16．如图，O 、I 分别为ABC △的外心、内心，连结CI 并延长交ABC △的外接圆O ⊙于点H 。D 、
E 分别在ABC △的边AB 、AC 上，且满足DB BC CE ==。
（1）求证：HB HI =； （2）求证：IHO EBD △∽△。
【证明】（1）依题意，H 为弧AB 的中点，HCB HBA ∠=∠。 连结BI ，由I 为ABC △的内心知，IBC ABI ∠=∠，
∴ H I B H C B I B C H B A A B I ∠=∠+∠=∠+∠=∠。 ∴ H B H I =。
……………… 4分 （2）设BE 与CH 的交点为F ，则由CE CB =以及CF 平分BCA ∠，知F 为BE 中点，且HF FB ⊥。
设OH 与AB 的交点为G ，则G 为AB 中点，且HG GB ⊥。
∴ H 、G 、F 、B 四点共圆，IHO EBD ∠=∠。 ………………… 8分 连结OB ，由H 为弧AB 的中点知，ECB HOB ∠=∠。 又OH OB =，CE CB =。
∴ H O B E C B △∽△。 ………………… 12分 ∴ H B E B
H O E C
=。 结合HB HI =，EC BD =。 因此，
IH EB
HO BD
=。 ∴ I H O
E B D △∽△。……………… 16分
（第16题）
C
H
E
D I
O
B
A C
F
G H
E
D I
O B
A
17．已知集合{}1232016M =L ，，，，，求最大的正整数k ，使得存在集合M 的k 元子集A ，满足集合A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。
【解答】设A 为集合M 的一个k 元子集。
考虑集合M 的下列43个子集（每个子集中恰有3个数）：
{}2287287M =?，，，{}3386386M =?，，，{}4485485M =?，，，…，{}4343464346M =?，，，{}4444454445M =?，，。
若1973k >，则由201643k -<知，集合A 一定包含上述43个子集中的某一个。由此可知，集合A 中存在互不相同的三个数a ，b ，c （a b c <<），使得c ab =。
因此，集合A 不满足：集合A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。 所以，当集合A 元素个数多于1973，即1973k >时，集合A 不满足题意要求。 所以，1973k ≤。 …………………………… 5分
另一方面，令{}
145462016A =L ，，，，（从集合M 删去2，3，4，…，44这43个数）。设a ，b （a b <）是A 中任意两个不同的数。
若1a =，则ab b =，ab 不可能等于A 中第3个不同于1和b 的数。…………… 10分 若1a >，则45a ≥，45462070ab ≥?=，显然它不在集合A 中。
因此，集合A 满足：集合A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。
可见，存在集合M 的一个1973元子集A ，满足集合A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。
所以，正整数k 的最大值为1973。 ……………………………… 14分