例7(p - 扬州大学国家级精品课程申报页面

例7(p.36.7). u n (x ) =??

???≠=,1 ,0,1 ,1n x n x n x ?[0, 1] (n ?N ), 证明∑u n 在[0, 1]上一致收敛, 但不存在收敛的优级数.

证 s (x ) = ∑u n (x ) =?????≠=,1 ,0,1 ,1n x n x n (n ?N ), s n (x ) =??

???≠==∑=,1 ,0,1 ,1)(1k x k x k x u n k n (k = 1, … , n ), ]

1,0[sup ∈x | s (x ) - s n (x )| =11+n →0, ∑u n 一致收敛. 若?x ?[0, 1] | u n (x )|≤ M n , 则 M n ≥n 1, ∑M n 发散, 故∑u n 无收敛的优级数.

例8. 证明: 在D 上f n ? f ? ? x n ?D : lim | f (x n ) - f n (x n )|→0.

证 ? lim D x ∈sup | f n (x ) - f (x ) | = 0 ? ? x n ?D : | f (x n ) - f n (x n )|≤D

x ∈sup | f (x ) - f n (x )|→0. ? f n 不? f ? ?ε 0 >0 ?N ?n 0 > N ?x 0?D : |0n f (x 0) - f (x 0)|≥ε 0. 取N = 1, 则?n 1 >1 ?x 1?D : |1n f (x 1) - f (x 1)|≥ε 0. 取N = n 1, 则?n 2 > n 1 ? x 2?D : |2n f (x 2) - f (x 2)|≥ε 0 . 如此继 续, ?x k ?D 使|k n f (x k ) - f (x k )|≥ε 0 , 与条件矛盾.

*例9 (p.42.3). 设f 在[ ? , 1]上连续, g n (x ) = x n f (x ). 证明: 1) {g n }在[ ? , 1]上收敛;

2) {g n }在[ ? , 1]上一致收敛? f (1) = 0. 证 1) f 连续? f 有界? g n (x )→g (x ) =?????=<≤.

1 ),1(,121 ,0x f x 2) ? g n ? g ? g 连续? g (1) = 0 ? f (1) = 0. ? f (1)= 0? g = 0 ? g n →0 ?]1,2

1[sup ∈x | g n (x ) - 0| = g n (x 0) =?????=<≤1 ,0,121),(0000x x x f x n →0.

*二十. 数列的上、下极限

{(-1) n } (-1, 1); {(-1) n 12+n n } (-21,21); {sin 4πn } (-1, -22, 0,2

2, 1); {n (1+(-1) n }(0,∞). 数列{a n }的子列的有限或无限极限称为{a n }的极限点, 即a ?R*是{a n }的极限点?存在{a n }的子列以a 为极限?a 的任何邻域内有{a n }的无穷项.

{a n }的最大、最小极限点依次称为{a n }的上、下极限, 记为n lim a n , n lim a n , 或n sup lim a n , n

inf lim a n . △lim a n = β?R ? 1°(β是极限点) β的任何邻域内有{a n }的无穷项;

2°(比β大的数不是极限点) ?ε >0{a n }至多有有限项>β +ε

? ?ε >0 , 1°有无穷个a n > β -ε , 2°?N ?n ≥N : a n < β +ε . lim a n = α?R ? … .

n = n lim sup { a n , a n +1, … } =n lim n

k ≥sup a k . 证 设 b n = sup { a n , a n +1, … }. 若{a n }无上界, 则有子列→∞, 故 lim a n =∞,

b n =∞, lim b n =lim a n . 设{a n }有上界, 则b n ↓, ? b = lim b n (b 可以是-∞). 一方面, 由a n ≤b n 得lim a n ≤lim b n = lim b n = b ; 另一方面, b 是{a n }的极限点, 故b ≤lim a n .

△ 任何数列都有上、下极限. 证明见上册p.233.

性质: 1°lim a n =∞? {a n }无上界? {a n }有子列→∞;

2°{a n }有界?lim a n 与lim a n 都?R ;

3°lim a n ≤lim a n , lim (- a n ) = - lim a n ;

4°lim a n = a ?R* ? lim a n =lim a n = a ; 特例: lim a n = ∞? lim a n = ∞, lim a n = -∞? lim a n = -∞;

5°a n ≥b n ?lim a n ≥lim b n (反证);

6°lim a n + lim b n ≤ lim (a n + b n )≤lim a n +lim b n (或lim a n + lim b n )≤lim (a n + b n )≤lim a n +lim b n ; 7°a n , b n ≥0时6°中"+"改"?"仍成立;

8°a n >0时lim n n a a lim 11=, lim n

n a a lim 11=. 证 6°第一个不等式: 设inf {a n , a n +1, …} = c n , inf {a n , a n +1, …} = d n , 则k ≥n 时a k ≥c n , b k ≥d n , a k + b k ≥c n + d n . ∴ n

k ≥inf (a k + b k )≥c n + d n . 令n →∞得证. 第二个不等式: lim a n = lim ((a n + b n ) - b n )≥lim (a n + b n ) + lim (-b n ) = lim (a n + b n ) -lim b n .

已经知道, 检根法n n a ||?

??????≥<≤∑.,11发散绝对收敛n a q 检根法的上极限形式(p.14): 若ρ =lim n n a ||, 则ρ < 1时∑a n 绝对收敛, ρ > 1时∑a n ,发散. 证 设ρ < 1. 取q 使ρ < q <1, 则n 充分大时n n a ||≤q <1, ∑a n 绝对收敛. 若ρ >1, 则有无穷个n 使n n a ||>1, 故a n 不→0.

例(p.15例8). b + c + b 2 + c 2 + … + b n + c n + … (0 < b < c <1). n = 2k 时n n a ||= c , n = 2k -1时n n a ||=b b k k →-121)(, ∴lim n n a ||=c <1, 收敛.