数学练习卷理2015年1月26日

数学练习卷（理）（2015年1月26日）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1．集合{}{}

2

6,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则A B =I

A ．{}3,4,5

B ．{}4,5,6

C ．{}36x x <≤

D ．{}36x x <≤ 2．下列命题中，真命题是 A ．0x R ?∈，使得00x

e ≤ B ．2

2

sin 3(π,)sin x x k k Z x

+

≠∈≥

C ．2

,2x

x R x ?∈>

D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件

3．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πsin(2)3

y x =-的图象

A ．向右平移

π

6个单位长度 B ．向左平移

π

6个单位长度 C ．向右平移π

3

个单位长度

D ．向左平移π

3

个单位长度

4．对于函数2

(),f x x mx n =++若()0,()0f a f b >>，则函数()f x 在区间(,)a b 内 A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至多有一个零点

5．设x R ∈, 对于使2

2x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做

22x x -+ 的上确界. 若,a b R +∈，且1a b +=，则122a

b

-

-

的上确界为

A ．5-

B ．4-

C ．

9

2

D ．9

2

-

6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为

A

．3π2+ B

．π+ C ．3π2

D

．5π2

7．点(,)x y

是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目

第6题图

第7题图

标函数 z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则y x a

-的最大值是

A ．

23

B ．

25

C ．

1

6

D ．

1

4

8. 在直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-uu r uu u r

, 且OA uu r 与OB uu u r 在直线l 的方向向量上的投影

的长度相等，则直线l 的斜率为

A ．14-

B ．25

C ．25或43-

D ．

5

2

9．对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =???，p 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为

121

()n S S S n

++???+，其中12(1,)k k S p p p k n k N =++???+∈≤≤．若一个99项的数列（1299,,,)p p p ???的蔡查罗和为1000，那么100项数列1299(9,,,,)p p p ???的蔡查罗

和为 A ．991

B ．992

C ．993

D ．999

10．设双曲线22

221(00)x y a b a b

-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交

两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u r u u r u u r ，3

16

λμ?=，则双曲线的离心率为

A 3

B 5

C 2

D ．

98

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．)

11．已知函数|1|(1)

()3(1)x x x f x x -?=?>?

≤，若()2f x =，则x = ▲ ．

12．由直线1y x =+上的点向圆22

(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为 ▲ ．

13．若函数21()ln 12

f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实

数a 的取值范围 ▲ ．

14．在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．如果20N 的力能使弹簧

伸长4cm ，则把弹簧从平衡位置拉长8cm （在弹性限度内）时所做的功为 ▲ （单位：焦耳）.

15．已知：对于给定的*q N ∈及映射:,*f A B B N →?，若集合C A ?，且C 中所有

元素在B 中对应的元素之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集．

①对于{}3,,,,q A a b c d ==，映射:1,f x x A →∈，那么集合A 的所有好子集的个数为 ▲ ；

②对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,πA =，映射:f A B →的对应关系如下表：

若当且仅当中含有和至少中3个整数或者中至少含有中5个整数时，C 为集

合A 的好子集，则所有满足条件的数组(,,)q y z 为 ▲ ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

已知向量2(cos

,1),,cos )222

x x x

m n =-=r

r ，设函数()f x m n =． （Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的零点；

（Ⅱ）在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别是,,a b c ，且满足2b ac =，求()f B 的取值范

围． 17．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{a n }是单调递增的，令n n n a a b 2

1log =，12n S b b =++…n b +，求使

5021>?++n n n S 成立的正整数n 的最小值．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ．

（Ⅰ）求证://SB 平面ACM ；

（Ⅱ）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （Ⅲ）求二面角D AC M --的余弦值． 19．（本小题满分12分）

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10,100]（单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位:万元）随投资收益x （单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%． （Ⅰ）若建立函数模型()y f x =制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的

条件；

第18题图

（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：1

(1)120

y x =

+；2(2)log 2y x =-．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．

20．（本小题满分13分）

如图，已知圆E

:22(16x y ++=

，点F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ． （Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；

（Ⅱ）设直线l 与(Ⅰ)中轨迹Γ相交于B A ,两点, 直线OB l OA ,,的

斜率分别为12,,k k k (其中0k >)．△OAB 的面积为S , 以,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．

若21,,k k k 恰好构成等比数列, 求12

S S S +的取值范围．

21．(本小题满分14分) 设函数2()ln a

f x x x

=

+，32()3g x x x =--． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）若存在121

,[,3]3x x ∈-，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足条件的最大整数M ；

（Ⅲ）如果对任意的1

,[,2]3

s t ∈，都有()()sf s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．

第20题图

荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试

数学(理)参考答案及评分标准

一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）

1. B

2. D

3. B

4. C

5. D

6. A

7.B

8. C

9. D 10. A 二、填空题（每小题5分，5小题共25分）

11．1-； 12

； 13．3[1,)2

； 14．1.6； 15．①5，②(5,1,2). 三、解答题:(本大题共6小题，共75分) 16

．因为2(cos

,1),,cos )222

x x x

m n =-=r

r ，函数()f x m n =r r g ．

所以21cos ()cos cos 2222

x x x x

f x x +=-=- ………………………2分

11π1

cos sin()2262x x x =

--=--

………………………4分 （Ⅰ）由()0f x =，得π1

sin()62

x -=．

ππ=+2π66x k -∴，或π5π

=+2π66x k k Z -∈，

π

=+2π3

x k ∴，或=+2πx k k Z π∈， ………………………6分

又[]0,πx ∈，π

3

x ∴=或π．

所以()f x 在区间[]0,π上的零点是π

3

和π． ………………………8分

（Ⅱ）在△ABC 中，2

b a

c =，所以222221cos 2222

a c

b a

c ac ac B ac ac ac +-+-=

==≥． 由1cos 2B ≥且(0,π)B ∈，得π(0,],3B ∈从而πππ

(]666B -∈-， ……………10分

π11sin()(,]622B -∈-∴， π1

()sin()(1,0]62

f B B =-+∈-∴． ………………12分

17. （Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为.q

依题意，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，………2分

2420a a ∴+=，∴2

13

118,20,a q a q a q ?=??+=??解之得12,2q a =??=? 或11,232.

q a ?=?

??=?

…………4分

当12,2q a =??=?时， 2n n a =； 当11,232.

q a ?

=???=?时， 612n n a -=． ∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =或61

2n n a -=． …………………6分

(Ⅱ)∵等比数列{a n }是单调递增的，∴2n

n a =，∴12

2log 22n n n n b n ==-?，

∴ 2(12222)

n n S n =-?+?+

+?

③ ………………………8分

231

2[1222(1)22]n

n n S n n +=-?+?++-?+? ④ 由③－④，得

2311122222222.

n n n n n S n n +++=+++

+-?=--?

………………………10分

1250n n S n +∴+?>即12250n +->，即1252.n +>

易知：当4n ≤时，15223252n +=<≤，当5n ≥时，16226452n +=>≥ 故使1250n n S n ++?>成立的正整数n 的最小值为5. ……………………12分

18.(选修2一1第109页例4改编) 方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ．

ABCD Q 是正方形，∴ E 是BD 的中点．

M Q 是SD 的中点，∴ME 是△DSB 的中位线．

∴//ME SB ． ………………………2分 又ME ?平面ACM ，SB ?平面ACM ， ∴SB //平面ACM ． ………………………4分 （Ⅱ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥

∴ DC ⊥平面SAD ，且AM ?平面,SAD ∴.AM DC ⊥

又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.SDC SC ?平面,SDC ∴.SC AM ⊥ ……………6分 由已知SC AN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN

又SC ?平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面.AMN ……………………8分 （Ⅲ）取AD 中点F ，则MF //SA ．作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ ． ∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD ． ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影．

∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC ．

∴FQM ∠为二面角D AC M --的平面角． ………………………10分 设SA AB a ==，在Rt MFQ ?

中，11,2224

a MF SA FQ DE =

===，

∴tan 4

a

FQM ∠=

= ∴ 二面角D AC M --

的余弦的大小为

3

． ………………………12分 方法二：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系

O xyz -，由SA AB =,可设1AB AD AS ===，则

11

(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22

A B C D S M ．

Q 11

(,0,)22

AM =uuu r ， ()1,1,1CS =--uu r ，

11

022

AM CS ∴?=-+=uuu r uu r AM CS ∴⊥uuu r uu r ,即有SC AM ⊥…6分

又SC AN ⊥且AN AM A =．

SC ∴⊥平面AMN ． 又SC ?平面,SAC

∴平面SAC ⊥平面AMN ． ………………………8分

（Ⅲ） Q SA ⊥底面ABCD ，∴AS uu r 是平面ABCD 的一个法向量，(0,0,1)AS =u u r

．

设平面ACM 的法向量为(,,)n x y z =,

11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==uur uuu r , 则0,0.AC AM n n ??=???=??r uur r uuu r 即00,11

00.22

x y x z ++=??

?++=??, ∴,.y x z x =-??=-? 令1x =-,则(1,1,1)n =-． ……………………10分

cos ,||||

AS AS AS n n n <>===?uu r r

uu r r g uu r r , 由作图可知二面角D AC M --为锐二面角 ∴二面角D AC M --

的余弦值为

3

． ………………………12分 19．（本小题满分12分）(必修一第127页例2改编)

（Ⅰ）设奖励函数模型为()y f x =，则该函数模型满足的条件是：

①当[]10,100x ∈时，()f x 是增函数； ②当[]10,100x ∈时，()5f x ≤恒成立；

③当[]10,100x ∈时，()5

x

f x ≤恒成立． ………………………5分

（Ⅱ）（1）对于函数模型1

(1)120

y x =

+，它在[]10,100上是增函数，满足条件①； 但当80x =时，5y =，因此，当80x >时，5y >，不满足条件②；

故该函数模型不符合公司要求． ………………………7分

（2）对于函数模型2(2)log 2y x =-，它在[]10,100上是增函数．满足条件①

∴100x =时max 22log 10022log 55y =-=<，即()5f x ≤恒成立．满足条件②…9分

设21()log 25h x x x =--，则2log 1()5e h x x '=-，又[]10,100x ∈ 111

10010

x ∴≤≤

∴2log 121

()0105105

e h x '<

-<-=，所以()h x 在[]10,100上是递减的，因此 2()(10)log 1040h x h <=-<，即()5x

f x ≤恒成立．满足条件③

故该函数模型符合公司要求

综上所述，函数模型2log 2y x =-符合公司要求． ………………………12分

20．(选修2一1第49页习题第7题改编)

（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝

4||EF >= 故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． ………………………2分

设其方程为22

221(0)x x a b a b

+=>>，可知2a =

，c =，则1b =，……3分

所以点Q 的轨迹Γ的方程为2

214x y +=． ………………………4分

(Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B

由?????=++=14

2

2y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ， 由韦达定理有：

???

????+-=

+-=+22

2122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=?m k ………………………6分 ∵21,,k k k 构成等比数列，

∴212k k k ==2

121))((x x m kx m kx ++，即：0)(2

21=++m x x km

由韦达定理代入化简得：412=k ．∵ 0>k ，∴21

=k ．

………………………8分

此时0)2(162

>-=?m ，即)2,2(-∈m ．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠

从而((0,2)m ∈．

故d AB S ?=||21

22121||||121k

m x x k

+?-+=

||4)(2

1

21221m x x x x ?-+=

||22m m ?-= ……………………………………10分 ∵22

22

1212144

x x y y +=+= 则 =+21S S )(42

2222121y x y x +++?π)24

343(42221++?=x x π

2]2)[(16321221ππ+-+?=x x x x 45π

=

为定值． ……………………12分 ∴S S S 21+?=45π||212m m ?-5π4≥当且仅当1m =±时等号成立．

综上：

12S S S +的取值范围是5π

[)4+∞，．

……………………13分 21. (Ⅰ)233

212()a x a

f x x x x

-'=-+=, 定义域（0，+∞） ……………………1分 ①当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增, …………………2分

②当0a >时，()0f x x '?≥，函数()f x 的单调递增区间为)+∞.

()00f x x '?<≤()f x 的单调递减区间为. …………4分 (Ⅱ)存在121

,[,3]3

x x ∈-，使得12()()g x g x M -≥成立,

等价于12max [()()]g x g x M -≥. ……………………5分 考察3222()3,()323()g x x x g x x x x x '=--=-=-

7分

由上表可知min 1285

()()()3327

g x g g =-==-，max ()(3)15g x g ==

12max max min 490

[()()]()()27

g x g x g x g x --==， 所以满足条件的最大整数18M =． ……………………9分

（Ⅲ）当1

[,2]3

x ∈时，由（Ⅱ）可知，()g x 在12[,]33上是减函数，

在2[,2]3上增函数，而183()(2)1327

g g =-<=

()g x ∴的最大值是1. ……………………………………10分

要满足条件，则只需当1

[,2]3

x ∈时，()ln 1a xf x x x x =

+≥恒成立, 等价于2ln a x x x -≥恒成立,

记2()ln h x x x x =-，()12ln h x x x x '=--，(1)0h '=.…………11分

当1

[,1)3x ∈时,10,ln 0,()0x x x h x '-><>即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)3

上递增， 当12]x ∈（，时,10,ln 0,()0x x x h x '-<><即函数2()ln h x x x x =-在区间(12]，上递减，

∴1,()x h x =取到极大值也是最大值(1)1h =． ………………………13分

所以1a ≥. ……………………14分 另解:设()12ln ,()32ln m x x x x m x x '=--=--， 由于1[,2],()32ln 03

x m x x '∈=--<，

所以()()12ln m x h x x x x '==--在1[,2]3

上递减，又(1)0h '=

∴当1

[,1)3

x ∈时，()0,(1,2]h x x '>∈时()0h x '<，

即函数2

()ln h x x x x =-在区间1[,1)3

上递增，在区间(1,2]上递减， ……………13分

所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥. ………………………14分