全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析（含答案）

一、极坐标

1.（2015年1卷）在直角坐标系xOy 中，直线1C :

x =-2，圆2C ：

()()

22

121x y -+-=,

以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ?的面积. 【解析】：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为

cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为

22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分

（

Ⅱ）入2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，

，解得1ρ=，2ρ=|MN|=1ρ－2ρ=

因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积

1.（2015年2卷）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,

:sin ,x t C y t αα=??

=?

(t 为参数,且t≠0),其中0≤α<π,

在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2cos θ.

(1)求C 2与C 3交点的直角坐标.

(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.

【解析】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2

x=0.

联立x y y x y 2222

?+-2=0??+-=0

??，解得x y =0??=0?

，或x y ?

=??2?3?=??

2

. 2C 与3C 交点的直角坐标为(,)00

和).32

(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.

因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2cos α,α).

所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4|sin(α-)|.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.

3.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ?=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为2,

3π??

???

，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值． 解析 （1）设()()00M P ρθρθ，

，，，则0||OM OP ρρ==，． 由000016

cos 4ρρρθθθ

=??=??=?

，解得4cos ρθ=，化直角坐标方程为()2

224x y -+=()0x ≠. （2）联结AC ，易知AOC △为正三角形，||OA 为定值．所以当高最大时，AOB △的面积最大，如图所示，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于点H ，交圆C 于B 点，此时AOB S △最大， max 1||||2S AO HB =

?()1

2

AO HC BC =

+2.

二、参数方程

1.（2016年3卷）在直角坐标系xOy 中,曲线C 1

的参数方程为x α

y sin α??=?

?=?

(α为参数),

以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin πθ4?

?

+

???

=2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程.

(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.

【解析】(1)

由x α

y sin α??=??=?

得2x 3+y 2=1.因为ρsin πθ4??+ ???

ρsinθ+

所以x+y=4.所以C 1的普通方程为2

x 3

+y 2=1,C 2的直角坐标方程为x+y=4.

(2)由题意,可设点P

的直角坐标为

)

α,sin α,因为C 2是直线,所以PQ 的最小值即

为P 到C 2的距离d(α)的最小值

,d(α)=

πα23??

=

+- ??

?.

当且仅当α=2kπ+π

6 (k ∈Z)时,d(α)取得最小值,

最小值为,此时P 的直角坐标为31,22?? ???

5.（2017年1卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θ

θ=??=?（θ为参数），

直线l 的参数方程为()41x a t

t y t =+??

=-?

为参数. （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l

a .

解析 （1）当1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=，曲线C 的标准方程为2

219

x

y +=.

联立方程22

43019x y x y +-=???+=??，解得30x y =??=?或2125

2425x y ?=-

????=??

，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525??

- ???

，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=，设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则点P 到l

的距离

d =

3tan 4

?=

．

依题意得max d =16a =-或8a =.

三、普通方程

（2016年1卷）在直线坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为x acost,y 1asint

?=?

=+? (t 为参

数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cosθ. (1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程.

(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.

【解析】(1)x acost,y 1asint

?=?

=+? (t 为参数),所以x 2+(y-1)2=a 2. ①

所以C 1为以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.方程为x 2+y 2-2y+1-a 2=0.

因为x 2+y 2=ρ2,y=ρsinθ,所以ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,即为C 1的极坐标方程. (2)C 2:ρ=4cosθ,两边同乘ρ,得ρ2=4ρcosθ,∵ρ2=x 2+y 2,ρcosθ=x, ∴x 2+y 2=4x.即(x-2)2+y 2=4. ②

C 3:化为普通方程为y=2x,由题意:C 1和C 2的公共方程所在直线即为C 3. ①-②得:4x-2y+1-a 2=0,即为C 3,所以1-a 2=0,所以a=1.

（2016年2卷）在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()2

2625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t α

α

=??=?（t 为参数），l 与C 交于A 、B

l 的斜率．

【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，

由222cos sin x y x y ρρθρθ?=+?

=??=?

可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=． ⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，

，

即22

369014

k k =+，整理得2

53k =

，则k =． 6.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x t

y kt

=??=?（t 为

参数），直线2l 的参数方程为2x m m m y k =-+??

?=??

（为参数）

．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．

（1）写出C 的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设

(

)3cos sin 0l ρθθ+=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．

6．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ① ()21

:2l y x k

=

+ ② ?①②，消k 可得224x y -=，即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠.

⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y +

，联立22

04

x y x y ?+-=??-=??

，解得2

x y ?=????=??. 由cos sin x y ρθ

ρθ=??=?

，解得ρM