浙江省浙大附中2015届高三全真模拟考试 数学理试题(含答案)
浙大附中2015年高考全真模拟试卷
数学(理科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分,考试时间为120分钟.
参考公式:
柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高
锥体的体积公式13
V Sh = 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高
台体的体积公式12
1()3V h S S = 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积
球的表面积公式24S R π= 其中R 表示球的半径,h 表示台体的高
球的体积公式343
V R π=
其中R 表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题
1.设集合}32|{≤≤-=x x A ,}01|{>+=x x B ,则集合A B 等于 ( ▲ ) (A ){|21}x x -≤≤- (B )}12|{-<≤-x x (C ){|13}x x -<≤ (D ){|13}x x <≤ 2. 下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间(0,)+∞上单调递增的是 ( ▲ ) (A )1y x
=
(B )21y x =-+ (C )2x
y = (D )lg |1|y x =+ 3. 已知,a b 为实数,则“2a b +≤”是“1a ≤且1b ≤”的 ( ▲ ) (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件
4.下列命题中错误..的是 ( ▲ ) (A ) 如果平面⊥α平面γ,平面⊥β平面γ,l =βα ,那么γ⊥l (B ) 如果平面⊥α平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β (C )如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β (D ) 如果平面⊥α平面β,过α内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于β 5. 如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象,则函数
()g x 的解析式是 ( ▲ )
(A )()sin(2)3
g x x π
=-
(B )2()sin(2)3
g x x π
=+
(第5题图)
(第12题图)
(C )5()cos(2)6g x x π=+
(D )()cos(2)6
g x x π=- 6. 已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>
与圆(222x y c c +==交于A 、B 、C 、D 四点,若
四边形ABCD 是正方形,则双曲线的离心率是 ( ▲ )
(A
(B
(C
(D )
7.用餐时客人要求:将温度为10C 、质量为0.25kg 的同规格的某种袋装饮料加热至3040C C .服务员将x 袋该种饮料同时放入温度为80C 、质量为2.5kg 的热水中,5分钟后立即取出.设经过5分钟饮料与水的温度恰好相同,此时,1m kg 该饮料提高的温度1t C ? 与2m kg 水降低的温度2t C ? 满足关系式11220.8m t m t ??=???,则符合客人要求的x 可以是 ( ▲ ) (A )4 (B )10 (C )16 (D )22 8. 如图,在Rt △ABC 中,AC =1,BC =x ,D 是斜边AB 的中点,将
△BCD 沿直线CD 翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得CB ⊥AD ,则x 的取值范围是 ( ▲ ) (A
) (B )
2]
(C
)
(D )(2,4]
非选择题部分(共110分)
二、填空题
9. 已知等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,若12,,n n n S S S ++成等差数列,且11=S ,
则q = ▲ ,2a = ▲ ,n a = ▲ .
10. 已知点(cos ,sin )P αα在直线 3y x =-上,则π
tan()4α-= ▲ ;
1cos 2=sin 2α
α
+ ▲ .
11. 若不等式组20510080x y x y x y -+≥??
-+≤??+-≤?
所表示的平面区域被直线2y kx =+分为
面积相等的两部分,则k 的值为 ▲ ;若该平面区域存在点00(,)x y 使
0020x ay ++≤成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .
(第8题图)
C
12. 一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的体积为 ▲ ,其外接球的表面积为 ▲ .
13. 非零向量,a b 夹角为60
,且1a b -= ,则a b + 的取值范围为 ▲ .
14. 实数,x y 满足224545x xy y -+=,设22S x y =+,则
max
min
11S S +
= ▲ .
15. 已知关于x
的方程||x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根,
则实数k 的取值范围是 ▲ .
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答请写在答卷纸上,应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题15分)在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
,且sin 5B c =,11
cos 14
B =. (Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ)设BC 边的中点为D
ABC ?的面积.
17. (本题15分)如图,已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt ABC ?所在平面,且AC AB PA ==.
(Ⅰ)求证:PA ∥平面QBC ;
(Ⅱ)若PQ QBC ⊥平面,求二面角A PB Q --的余弦值.
Q
P
A
B
C
(第17题图)
18. (本题15分)已知直线(13)(32)(13)0m x m y m +---+=()m R ∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为3.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点,若1218
||||57
FA FB ≤?≤,求直线l 的斜率的取值范围.
19. (本题15分)已知数列}{n a 中,4
1
,121=
=a a ,且),4,3,2()1(1 =--=
+n a n a n a n n n .
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;
(Ⅱ)求证:对一切*N n ∈,有222
1276
n a a a +++<
.
20. (本题14分)已知函数2
2
()(1)4(5),()5f x x a x a g x ax x =-+-+=-+,其中.R a ∈ (Ⅰ)若函数()f x 、()g x 错误!未找到引用源。存在相同的零点,求a 的值;
(Ⅱ)若存在两个正整数m 、n ,当0(,)x m n ∈错误!未找到引用源。时,有0()0f x <错误!未找到引用源。与0()0g x <错误!未找到引用源。同时成立,求n 的最大值及n 取最大值时a 的取值范围.
数学(理科)答案
1.C 2.D 3.B 4.D 5.C 6.A 7.C 8.A 9.2-,2- ,1
(2)
n -- 10.2 ,13- 11.
12,1a ≤- 12.24,2894
π
13. 14.
8
5
15.01k <≤
16.解:(Ⅰ)由11
cos 14
B =
,得sin B =
又sin 5B c =,代入得37a c =,
由sin sin a c A C
=
,得3sin 7sin A C =, 3sin 7sin()A A B =+, 3sin 7sin cos 7cos sin A A B A B =+
得tan A =,23
A π
=
(Ⅱ)2219
2cos 4
AB BD AB BD B +-= ,
22771119
()266144c c c c +-??=,3c =,则7a =
11sin 322S ac B ==??=
17.方法一:
(Ⅰ)证明:过点Q 作QD BC ⊥于点D ,
∵平面QBC ⊥平面ABC ∴QD ⊥平面ABC 又∵PA ⊥平面ABC
∴QD ∥PA 又∵QD ?平面QBC ∴PA ∥平面QBC (Ⅱ)解:∵PQ ⊥平面QBC
∴90PQB PQC ∠=∠=
又∵,PB PC PQ PQ == ∴PQB PQC ??? ∴BQ CQ =
∴点D 是BC 的中点,连结AD ,则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ,AD QD ⊥ ∴四边形PADQ 是矩形 设2PA a =
∴PQ AD ==
,PB = ∴BQ =
过Q 作QR PB ⊥于点R ,
∴QR ==
,2PQ PR PB ===
取PB 中点M ,连结AM ,取PA 的中点N ,连结RN
∵1142PR PB PM ==,1
2
PN PA = ∴MA ∥RN
∵PA AB = ∴AM PB ⊥ ∴RN PB ⊥ ∴QRN ∠为二面角Q PB A --的平面角
连结QN
,则QN ==
=
又∵RN a =
∴2
2
2
cos 2QR RN QN QRN QR RN +-∠===?
即二面角Q PB A --
的余弦值为
方法二:
(I )证明:同方法一 (Ⅱ)解:∵PQ ⊥平面QBC
∴90PQB PQC ∠=∠=
,又∵,PB PC PQ PQ == ∴PQB PQC ??? ∴BQ CQ =
∴点D 是BC 的中点,连结AD ,则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ,AD QD ⊥ ∴四边形PADQ 是矩形
分别以,,AC AB AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz - 设2PA a =,则(,,2)Q a a a ,(0,2,0)B a ,(0,0,2)P a ,
设平面QPB 的法向量为(,,)n x y z =
∵(,,0)PQ a a = ,(0,2,2)PB a a =-
∴0
(1,1,1)220
ax ay n ay az +=??=--?-=?
又∵平面PAB 的法向量为(1,0,0)m =
……12分 设二面角Q PB A --为θ,则
|cos ||cos ,m n θ=< 又∵二面角Q PB A --是钝角
∴cos θ= 即二面角Q PB A --
的余弦值为 18.(Ⅰ)由(13)(32)(13)0m x m y m +---+=得(31)(323)0x y m x y --++-=,
由310
3230
x y x y --=??
+-=?,解得(1,0)F .
设椭圆C 的标准方程为2
2
221(0)x y a b a b +=>>,则222
1
3c a c a b c
?=?
+=??=+?
解得2,1a b c ===,
从而椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
(Ⅱ) 过F 的直线l 的方程为(1)y k x =-,11(,)A x y ,22(,)B x y ,
由22(1)
143y k x x y =-??
?+=??,得2222(34)84120k x k x k +-+-=,因点F 在椭圆内部必有0?>,
有2
1222
12283441234k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?
, 所以|FA|·|FB| =(1 + k 2
)|(x 1 – 1)(x 2 – 1 )|2
(1)k =+1212|()1|x x x x -++22
9(1)34k k +=+
由22
129(1)185347
k k +≤≤+, 得213k ≤≤,
解得1k ≤≤-
或1k ≤
所以直线l
的斜率的取值范围为1???-??? .
19.解(Ⅰ)由已知,对2≥n 有
1
1
)1()1(11
---=--=
+n a n n a n a n a n n n n ,
两边同除以n ,得
)
1(1
)1(111--
-=+n n a n na n n , 即
)1
11()1(111n
n a n na n n ---=--+, 于是,)111(111
)1(111
21
21---=??? ??---=??
????--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k , 即
2),1
11(1)1(12≥---=--n n a a n n ,
所以
1
2
3)111(1)1(12--=
---=-n n n a a n n ,2,231≥-=n n a n . 又1=n 时也成立,故*,2
31
N n n a n ∈-=. (Ⅱ)当2≥k ,有
)131
431(31)13)(43(1)
23(12
2---=--<-=
k k k k k a k , 所以2≥n 时,有
??????---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112
2
12n n a a n
k k n k k
.6
761113121311=+?? ??--+=n
又1=n 时,.6
7
121<=a 故对一切*
N n ∈,有6
7
1
2<
∑=n
k k a .
20.解(Ⅰ)2()(1)4(5)f x x a x a =-+-+=(4)[(5)]x x a +-+
124,5x x a ∴=-=+
9(4)1690,16
g a a -=+=∴=-
, 2
(5)[(5)1]0g a a a +=+-= 046a a a ∴==-=-或或,
经检验上述a 的值均符合题意,所以a 的值为9
6,4,,016
---
……5分
(Ⅱ)令()0,f x <则45x a -<<+,,m n 为正整数,50,5a a ∴+>>-即, ……6分
记)5,0(+=a N , 令2
g()0,50x ax
x <-+<即的解集为M , 则由题意得区间(,)m n M N ? . ……7分
①当0a <时,因为g(0)50=>,故只能2
g(5)[(5)1]0a a a +=+-<,
即4a
>-或6a <-,又因为5a >-,故40a -<<,此时55n a ≤+<.
又∈n m ,Z ,所以4≤<
n m . ………9分
当且仅当40,
455,(3)920,
a a g a -<?
≤+?=+≤?
即921-≤≤-a 时,n 可以取4,
所以,n 的最大整数为4; ………11分 ②当0a =时,M
N =? ,不合题意; ………12分
③当0a >时,因为g(0)50=>,2
g(5)[(5)1]0a a a +=+->,
故只能105,21200,
a a
a ?
<
<+????=->?无解; 综上,n 的最大整数为4,此时a 的取值范围为9
2
1-
≤≤-a . ………14分