二维氢原子和二维谐振子能级波函数间的联系
二维氢原子和二维各向同性谐振子波函数和能级的比较
摘 要：二维氢原子和二维各向同性谐振子能级，波函数的求解，归结为解两个完全不同的薛定谔方程。而本文从二维谐振子的径向方程出发，作适当的变换，得到二维氢原子的径向方程。由二维氢原子的能级和波函数导出二维各向同性谐振子的能级和波函数。 关键词：量子力学；二维氢原子和谐振子；能级和波函数
Relationship of the Energy Level and Wave Function between Two-dimensional Hydrogen Atom and
Two-dimensional Harmonic Oscillators
Abstract:To solve the energy levels and wave functions of two-dimensional hydrogen atom and two-dimensional harmonic oscillators can be put in a nutshell to solve two different time-independent schrōdinger equat ions.This paper first carries out a transformation for two-dimensional hydrogen atom's radial schrodinger equation,then derives two-dimensional harmonic oscillators's energy level and wave function from energy level and wave function of two-dimensional hydrogen atom.
Key words: quantum-mechanics; two-dimension; hydrogen atom and harmonic oscillators; energy level and wave function
0 引言
近年来，由于技术上的进步，有效的低维（二维，一维，零维）体系的制备已在实验上逐步实现。例如，在表面物理中现代晶体生成技术，低维量子物理的研究已在实验和理论两个方面都引起人们的关注，并已取得重要进展。主要通过本文对二维氢原子和二维各向同性谐振子的能级，波函数和简并度三个方面进行论述，进一步探索低维体系的原子特性，为制备低维材料提供理论依据。
1 二维中心力场
二维中心力场()
(
)
22V x y ρρ=+中，能量本征方程为
()222222112V H ρψμρρρρ????????-+++=?? ????????
(1) 由于体系的二维旋转对称性，角动量z l i ?
?
=-? 是守恒量。通常选择(),z H l 为一组守恒量完全集，它们的共同本征态表示为
()(),,0,1,2,im m R e m ?ψρ?ρ==±±??? (2)
径向波函数()m R ρ满足下列方程
()2222212m m d d m V R ER d d ρμρρρρ????????
-+-+=???? ?????????
(3) 能级本征值依赖于m ，束缚能级一般有二重简并（0m =态除外）。对应于能级n m E 的解记为n m R ，满足正交归一条件
()()
nn n m n m R R d ρρρρδ∞
*
'=?
(4) ()()
n m n m R χρρρ
=
(5)
则方程（3)化为
()222222124n m n m d m V E d ρχχμρρρ????-+-+=?? ?????
(6) 可改写成
()(
)()22
22
11222n m
n m m m d V E d ρχχμρρ??
??
-+????-
-+=????????
?
?
(7)
而式(4)化为
()()
nn n m n m χρχρδ∞
*''=?
(8) 2 二维各向同性谐振子
2.1 二维各向同性谐振子波函数和能级
2.1.1采用平面极坐标,，二维各向同性谐振子波函数和能级
二维各向同性谐振子的势表示为 ()221
2
V ρμωρ= 薛定谔方程为
()2222
22111022E E ρμωρψψμρρρρ????????-++=>?? ????????
(9) 令
()(),im e R ?ψρ?ρ= (10)
则径向方程表示为（自然单位1μω=== )
()()()222221200d d m E R E d d ρρρρρρ??+-+-=>????
(11) 当0ρ→时，上式化为
()222210d d m R d d ρρ
ρρρ??
+
-= ??? (12) 经过分析，可得，当0ρ→时 ()m
R ρρ∝ (13)
当ρ→∞，式(12)化为
()222
0d R d ρρρ??-= ???
(14) 所以
()2
exp 2R ρρ??±∝
??
?
，而满足束缚态边条件的解只能取 ()()2
e x p 2R ρρρ??-∝→∞ ???
因此，不妨令
()()2
exp 2m
R ρρργρ??-=
??
?
(15) 代入式(12)，得
()2221
22210m d d E m d d γγργρρρ
?+???+-+-+= ????? (16)
再令
2ξρ= (17)
得 ()22
11022m d d E m d d γγξξγξξ?+?
++---= ???
(18) 上式正是合流超几何方程。 相应参数为
1,122
m E
m αβ+=-=+ (19) 束缚态要求α为非负数 1,0,1,2,22
m E
n n ρρα+=
-=-=???
因此，二维各向同性谐振子的能级本征值为
()21E n m ρ=++（自然单位）
或记为 ()1,20,1,2,E n n n m ρ=+=+=??? (20) 相应的波函数为
()()2
22
,,1,m
im n
m e
e
F n m ρ
ρ?
ρψρ?ρρ-∝-+ (21)
2.1.2 采用平面直角坐标系，二维各向同性谐振子波函数和能级
利用222x y ρ=+，二维各向同性谐振子可以分解成ω相同的两个彼此独立的一维谐子 即 x y H H H =+ (22)
2222
2
122x H x x μωμ?=-+? (23) 22222
1
22
y H y y μωμ?=-+? (24) 它的本征函数可以分离变量，这相当于选择()
,x y H H 为对易守恒量完全集，它们的共同本征态为
()()(),,
,0,1,2,x y
x
y
n n n n x y x y x y n n ψψΦ==??? (25)
即两个一维谐振子的能量本征函数之积。相应的能量本征值为
(
)
()()1
1
122
x y n n x y
E n n
n ωωω=+++=+ (26)
0,1,2,x y n n n =+=???
2.2二维各向同性谐振子能级的简并度
能级n E 的简并度为
120,1,2,n n n =+=??? (27)
n 给定后，()12,n n 有下列()1n +种可能组合方式：
10n = 1 2 ............... n ;
2n n = n -1 n -2 ................ 0. (28)
所以能级n E 的简并度为()1n +
3二维氢原子
3.1 二维氢原子的波函数和能级
采用平面极坐标，二维库仑(Coulomb )势表示为 ()2
e V ρρ
=-
(29)
薛定谔方程表示为
()22222110,2e E E ρψψμρρρρ?ρ??
?????-+-=
? 束缚态 (30) 由上式方程的左端知，z l i ?
?
=-? 是守恒量。取ψ为守恒量完全集(),z H l 的共同 本征态，即令
()(),,0,1,2,im e R m ?ψρ?ρ==±±??? (31) 则径向方程表示为()
,1e μ=== 自然单位
()2222
12+2+=0d d m E R d d ρρρρρρ??
??-+?? ??
??? (32) 0,ρ=∞为方程的奇点。
在0ρ→时，方程(32)渐近地表示为
()222
210d d m R d d ρρ
ρρρ??
+-=???? (33) 令s
R ρ∝代入上式，得 2
2
0s m -=
所以
s m =± (34)
可以证明，0ρ→时行为m
R ρ-∝解是物理上不允许的，予以抛弃。
当ρ→∞时，方程(32)化为
()()221200d d
E R E d d ρρρρ??++=< ???
(35) 从上式可以看出，()()
exp 2R E ρρ∝±-,但满足束缚态边条件的解只能是
()()
exp 2R E ρρ∝--.因此，再令
()()m
R e βρρργρ-= (36)
其中， ()20E E β=-< (37)
代入式(32)，得
()()222122210d d m m d d γγ
ρβρβγρρ
??++-+-+=?? (38)
令 2ξβρ= (39) 得
()()
22112102d d m m d d γγξξγξξβ??++--+-=????
(40) 这正是合流超几何方程。它在0ξ=邻域的解析表示为(),,F αλξ,相应参数 11
,212m m αλβ
=+-=+ (41) 束缚态边条件要求
,0,1,2,n n ρρα=-=??? (42)
因此，有
11
2
n m ρβ=
++ (43)
代入式(37)，即得出能量本征值（自然单位）
(
)
2
22
1
1
21
22
E n n m ρ=-
=-
++ (44) ,0,1,2,n m ρ=??? 23511,,,2222n n m ρ=++=???
相应的波函数（未归一化）表示为
()2
22,,21,m
n im n m e
e
F n m n ρρ
?
ρρψρ?ρ-??
∝-+ ??
? (45)
20,1,2,0,1,2,1135,,,2222
m n n n m ρρ=±±???
=???
=++
=???
3.2二维氢原子能级的简并度
给定,n m ρ后，2n 的组合如下： 2135,,,222
n =
??? 能级n E 的简并度： 2221,3,5,n f n ==???
3总结
在自然界中，任何在平衡平面内的微振动（二维振动）都可以分解成几个独立的一维简谐振动。例如，分子的振动或晶体内原子在晶体的某一平面内的振动，辐射场的振动等，适当选择系之后分解成几个相互独立的一维简谐振动。由于二维各向同性谐振子的波函数比较容易求得，这就避免了求解二维氢原子能量本征方程的繁琐过程，这对于解决二维体系问题，有一定的实际意义。 参考文献：
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原子的结构 能级汇总
2016年高考物理精品学案之 原子的结构能级 一、考纲要求 二、知识网络 第1讲原子的结构能级 ★一、考情直播 1．考纲解读 考纲内容能力要求考向定位 1.氢原子光谱 1.知道汤姆生发现电子同时提考纲对氢原子光谱、能级
2.氢原子的能级结构、能级公式出枣糕模型 2.知道α粒子散射实验及卢瑟 福的核式结构模型 3.知道波尔的三条假设及对氢 原子计算的两个公式和氢原子能级 结构和能级公式均是Ⅰ级要 求．本部分高考的热点是α粒 子散射实验和波尔理论，高考 中以选择题的形式出现． 2．考点整合 考点一卢瑟福的核式结构模型 1.汤姆生在研究阴极射线时发现了，提出了原子的枣糕模型． 2．α粒子散射实验 α粒子散射实验是用α粒子轰击金箔，结果是穿过金箔后仍沿原来方向前进，发生了较大的偏转，极个别α粒子甚至 . 3.核式结构 卢瑟福从行星模型得到启发，提出了原子的核式结构，这是一种联想思维. 核式结构：在原子的中心有一个很小的，叫原子核，原子的都集中在原子核里，带在核外空间运动. 4.由α粒子散射实验数据还可以估算原子核的大小，卢瑟福估算的结果是：原子核的大小的数量级在以下. [例题1]如图2所示，为α粒子散射实验的示意图，A点为某α粒子运动中离原子核最近的位置，则该α粒子在A点具有 A．最大的速度 B．最大的加速度 C．最大的动能 D．最大的电势能 【解析】α粒子在接近原子核的过程中受到原子核库
仑排斥力的作用，这个力对α粒子做负功，使α粒子的速度减小，动能减小，电势能增大，显然，正确选项应该为BD 答案：BD 【规律总结】本题考查的知识点有两条，一是α粒子与原子核之间的库仑力，二是这个库仑力做负功，距离原子核越近，库仑力越大. 【例题2】．（2008年上海）1991年卢瑟福依据α粒子散射实验中α粒子发生了＿＿＿＿（选填“大”或“小”）角度散射现象，提出了原子的核式结构模型.若用动能为1MeV 的α粒子 轰击金箔，则其速度约为＿＿＿＿＿m/s.（质子和中子的质量均为 1.67×10－27 kg ，1MeV=1 ×106 eV ） 【解析】根据α粒子散射实验现象，α粒子发生了大角度散射. 同时根据：α αm E v v m E k k 22 1 2== 得到 代入数据s m s m v /109.6/10 67.14106.110126 27 196?=??????=-- 答案：大，6.9×106 【规律总结】一是电子伏特与焦耳之间的换算，J ev 19 10 9.11-?=；二是α粒子的质量应 该是两个中子和两个质子的质量和，即：kg m 27 1067.14-??=α． 考点二 波尔模型 1.波尔的三条假设： 1）、能量量子化：原子只能处于一系列 状态中，在这些状态中原子是稳定的，电子虽然绕核运动，但并不向外辐射能量，这些状态叫做 . 对氢原子满足：121 E n E n = ，其中eV E 6.131-= 2）、轨道量子化：原子的 跟电子沿不同的圆形轨道绕核运动 相对应.原子的定态是不连续的，因此电子的可能轨道的分布也是不连续的. 对氢原子满足：12r n r n =，其中m r 10 11053.0-?=. 3）、能级跃迁：原子从一种定态（设能量为E 2）跃迁到另一种定态（设能量为E 1）时，它 一定频率的光子，光子的能量由这两种定态的能量差决定，即12E E h -=ν. 2.氢原子能级图：如图3所示 3.波尔理论的局限性 图3
第二节氢原子的波函数
第二节氢原子的波函数 氢原子的第二个四分之一氢原子的波函数是所有原子中最简单的原子。它的原子核外只有一个电子。移动到原子核外的电子的势能只取决于检查它的吸引力，它的薛定谔？丁格方程可以精确求解。此外，类氢离子，例如氦离子和锂离子，可以被精确地解决。 2+ + 为了方便地解决这个问题，用直角坐标表示的ψ(x，y，z)应由用球面极坐标表示的ψ(r，θ，φ)代替。两者之间的关系如图8-3所示: r代表P点与原点之间的距离，θ、φ称为方位角。x = r sinθcosφy = r sinθsinφz= r cosθ 波函数ψn，l，m(r，θ，φ)和它们相应的氢原子能量列于表8-1 图8-3笛卡儿坐标被转换成球面极坐标表8-1氢原子的一些波函数和它们的能量轨道1s ψn，l，m(r，θ，φ) R n，l (r) A1e-Br Y l，m (θ，Phi)能量/j-2.18310-18a1e-Br-2.18310-18/222 sa 2re-Br/2a 2re-Br/2-2。量子力学借用了玻尔的“原子轨道”的概念，仍然称波函数为“原子轨道”，但是它们的含义是完全不同的。例如，玻尔认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道在量子力学中，氢原子基态的原子轨道是波函数 ψ1s(r，θ，φ) = A1e-br，其中a1和b是常数，这表明ψ1s随着离核r
的距离的变化在任何方位角变化 ，它代表氢核外1s电子的运动状态，但并不意味着1s电子有确定的运动轨道1s电子的能量为-2.18310焦耳氢核外有许多电子激发态，如ψ2S(R，θ，φ)，θ，φ)等。，相应的能量为-5.45310焦耳 -19 -18 (r， )要求解薛定谔方程的ψ和e，必须满足一定的条件才能使解合理。因此，在求解过程中必须引入三个量子数n、l和m当这三个参数的值和组合固定时，就确定了波函数。这三个量子数的极限值及其物理意义如下: 主量子数通常用符号n表示。它可以取任何非零正整数，即1，2，3？n它决定了在最有可能出现在原子核外空间的区域中，电子离原子核的距离，是决定电子能级的主要因素。当n = 1时，电子离原子核的平均距离最近，能量最低n越大，电子离原子核越远，能量越高。所以n也叫做电子壳层数。对于氢原子，电子的能量完全由主量子数决定，即由公式 决定从这个公式可以看出，n越大，e越大(负值的绝对值 越小) 轨道角动量量子数(有机角动量量子数)通常用符号L表示它的值受主量子数的限制。它只能接受小于N的正整数并且包括零，也就是
氢原子的解析解法
氢原子的解析解法 摘要 本文利用分离变量法和级数解法在球坐标系下求解薛定谔方程，得到了氢原 子的本征值......)3,2,1(21 ==n n E E n ，本征态为拉盖尔多项式和球谐函数的组合[]),()2()2()!(2)!1()2( 121/33φθψm l l l n l na r nlm Y na r L na r e l n n l n na ?? ????+--=+---。同时证明了氢原子内部能量、角动量以及角动量空间取向都是量子化的，核外电子的位置只能用概率描 述。 关键词：氢原子；分离变量法；球坐标系；薛定谔方程 1 引言 氢原子是由一个质子和一个电子构成的最简单原子，是研究物质结构的基础。从1885年瑞士数学教师约翰·雅各布·巴尔末（J.J.Balmer ）发现氢原子可见光波段的光谱并给出经验公式开始，人们对其的研究就没有松懈过：1908年，德国物理学家弗里德里希·帕邢（Friedrich Paschen ）发现了氢原子光谱的帕邢系；1914年，莱曼系被物理学家西奥多·莱曼（Theodore Lyman ）发现；1922年，弗雷德里克·萨姆那·布拉克（ Frederick Sumner Brackett ）发现布拉克线系，位于红外光波段；1924年，物理学家奥古斯特·赫尔曼·蒲芬德（ August Herman Pfund ）发现氢原子光谱的蒲芬德线系；1953年，科斯蒂·汉弗莱（Curtis J. Humphreys ）发现氢原子光谱的汉弗莱线系。 对于这些现象，经典解释是认为电子在原子核的库伦场中运动。但它与实际中氢原子的稳定性和观测到的线状光谱相矛盾，为此引入新观念是必要的。玻尔的原子理论是建立在三个基本假设的基础上：定态假设、频率假设和角动量量子化条件。这些假想是其模型的基石，虽并不是完全的正确，但是可以得到正确的能量答案。 1926年，埃尔文·薛定谔应用他发现的薛定谔方程，以严谨的量子力学分析，清楚地解释了玻耳答案的正确性。氢原子的薛定谔方程的解答有解析法和代数法两种方法，也可以得出氢原子的能级与光谱谱线的频率。薛定谔方程的解答比波耳模型更为精确，能够得到许多电子量子态的波函数（轨域），也能够解释化学键的各向异性。本文介绍了运用解析法求解氢原子的波函数的具体过程。 2球坐标系中的薛定谔方程 2.1角动量方程 三维情况下的薛定谔方程为： ψψE r V m =+?-))(2(22 （2-1）
MATLAB氢原子的波函数
M A T L A B氢原子的波函 数 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
氢原子的波函数摘要：针对量子力学中氢原子波函数概念抽象的特点，利用MATLAB方便地绘制波函数的三维空间分布图，指出MATLAB软件是解决量子力学可视化的有效工具。 关键词：MATLAB；波函数；氢原子；空间分布 0 引言 量子力学是物理专业必修的一门专业课，它主要研究微观尺度下粒子的行为与相互作用。许多概念如波函数、测不准原理、角动量理论等抽象难懂，一些现象如：隧道效应、势垒反射等与宏观现实不相符，再加上无法直接用肉眼观察，使得量子力学中许多问题不易理解。因此，在量子力学中引入多媒体，增加动态直观的演示。针对量子力学计算复杂、物理量具有矩阵形式等特点，我们最终选择了具有强大计算能力同时一又有极强图像处理能力的数学软件—MATLAB。 1 MATLAB软件介绍 MATLAB是美国Math Work公司从1982年开始推出的一套高性能的数值计算和可视化软件。它集数值分析、矩阵运算和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。MATLAB程序设计语言结构完整，且具有良好的移植性，易学易用。此外，它还提供了解决各类问题的工具箱，MATLAB己成为应用学科、计算机辅助分析、设计、仿真不可缺少的软件。 MATLAB具有强大的图形绘制能力，为科学研究提供了极大的方使。MATLAB可以绘制二维、三维乃至四维图形，而且能对图形进行线型、立体、色彩、光线、视角等控制。用户只须指定绘图方式，并提供充足的绘图数据，用很少的程序指令就可得到直观、形象的图形结果。借助于MATLAB的数值计算和图形处理技术，我们可以方便地绘
人类意识的能级分布图及提高能级的60个方法和能级测试方法之欧阳歌谷创作
认识人类意识能级分布图 欧阳歌谷（2021.02.01） 你是什么，你就吸引什么。这是基于对宇宙规律的深刻认识。 下面内容的很多人都听说过：《金刚经》、《圣经》、《道德经》……但是真正有去读一下的人没有几个。为什么？因为，你的频率，你的振动，与那些伟大的经典不相应。或许你还能来几句经典里的话语，但是全面的阅读你从来没有过，如果提到这些经典，你说你听说过，但只是名字而已，只是片言只语而已。经典还是经典，你还是你。如果没有那么一天，你真的好好静下心来读一下，你就永远不知道其中的况味。你越是接近经典的频率你越是能锲入经典。而且，我们都明白，如果没有一个更高的层面的指引，一个人总是会局限在自己狭隘的视野里，去框视自己的“现实”。因为你认为那样，结果你吸引（创造=经验=吸引）到你认为的现实，于是你的事实就真的那样。于是你对外宣称，“看，我说的没错吧！事实就是我说的那样吧！”的确。这也是亚伯拉罕一再反复陈述的。这也是所谓的“你创造了你的现实。” 这里透露一个秘密。所有存在的一切都有一定的意识水平和能量水平。之所以大多数人根本没有去接触经典，是因为他们的能量水平和经典的能量水平根本不相应。也就是他们无法与经典
保持共振。也就理所当然的不会去读经典了。在这里我给大家列出美国心理学家，大卫·霍金斯（Dr.David R.Hawkins)花了38年心血，历经250000次以上测试的结晶。(《Power Vs.Force》) 这个研究出来的成果它展现了人类潜藏的意识水平的尺度。他发现存在于我们这个世界的隐藏的图表。一个有关人类所有意识的能级水平的图表。通过这张表，我们可以清楚地认识到我们目前所达到的状态，并可以成为解释其它一切人事物的册。 人类意识能级分布图 人类意识能级分布图 神性观点生命观点水平数量级情绪过程 真我、梵存在开悟↑ 700-1000 不可说纯意识 一切生命完美平和↑ 600 天佑启发 禅、单独的完全喜悦↑ 540 平静变形 有爱的和蔼爱↑源 500 敬重揭示 贤明的意义明智↑能 400 谅解提炼 仁慈的和谐宽容↑ & 350 宽恕卓越 受鼓舞有望主动↑动 310 乐观意图 能动的满意淡定↑力 250 信任豁免 许纳的可行勇气↑▲ 200 肯定能动 无关紧要苛求骄傲↓▼ 175 嘲笑膨胀 复仇敌对愤怒↓压 150 憎恨侵略 否认失望欲望↓力 125 渴望奴役
氢原子的波函数
氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schr?dinge r方程可以精确求解。能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。 为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示： r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。 x = r sinθcosφ y = r sinθsinφ z = r cosθ 解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。 图8-3 直角坐标转换成球极坐标 表8-1氢原子的一些波函数及其能量 cos cos sin sin
sin sin * A1、A2、A3、B均为常数 为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道” (atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道。而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数 ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1 和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变 化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。1s电子具有的能量是-2.18310-18J。氢原子核外电子的运动状态还有许多激发态，如ψ2s(r,θ,φ)、(r,θ,φ)等，相应的能量是-5.45310-19J。 要解出薛定谔方程的ψ和E，必须要满足一定的条件，才能使解是合理的，因此，在求解过程中必需引进n , l , m三个量子数。这三个参数的取值和组合一定时，就确定了一个波函数。三个量子数的取值限制和它们的物理意义如下： 常用符号n表示。它可以取非零的任意正整数，即1，2，3 …n 。它决定电子在核外空间出现概率最大的区域离核的远近，并且是决定电子能量高低的主要因素。n = 1时，电子离核的平均距离最近，能量最低。n愈大，电子离核的平均距离愈远，能量愈高。所以n也称为电子层数(electron shell number)。对氢原子来说电子的能量完全由主量子数决定，即由式 决定。从这个式子可以看出，n愈大，E就愈大（负值的绝对 值愈小）。 常用符号l表示。它的取值受主量子数的限制，它只能取小于n的正整数并包括零，即l可以等于0、1、2、3 … (n–1)，共可取n个数值。按光谱学的习惯，l = 0时，用符号s表示，l= 1时，用符号p表示，l = 2时，用符号d表示，l = 3时用符号f表示等等。轨道角动量量子数决定原子轨道的形状。如l = 0时，原子轨道呈球形分布；l = 1时，原子轨道呈双球形分布等。在多电子原子中，轨道角动量量子数也是决定电子能量高低的因素。所以，在多电子原子中，主量子数相同、轨道角动量量子数不同的电子，其能量是不相等的，即在同一电子层中的电子还可分为若干不同的能级(energy level)或称为亚层(subshell)，当主量子n相同时，轨道角动量量子数l愈大，能量愈高。于是有 E n s＜E n p＜E n d＜E n f。 对氢原子来说，E n s = E n p = E n d = E n f。 常用m 表示。它的取值受轨道角动量量子数的限制。即m 可以等于0、±1、±2，…±l等整
氢原子的量子理论作业(含标准答案)
第26章 氢原子的量子理论 习题 (初稿) 一、填空题 1. 氢原子的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθ?θ?=，请给出电子出现在 ~r r dr +球壳内的概率为___________，电子出现在(),θ?方向立体角d Ω内的概率为 _______________。 2. 泡利不相容原理是指 ______________ ，原子核外电子排布除遵循泡利不相容原理 外，还应遵循的物理规律是 __________ 。 3. 可以用用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个量子数各称和取值范围怎样分 别是：(1) (2) (3) (4) 。 4. 根据量子力学原理，如果不考虑电子自旋，对氢原子当n 确定后，对应的总量子态数目 为_ _个，当n 和l 确定后，对应的总量子态数目为__ __个 5. 给出以下两种元素的核外电子排布规律： 钾（Z=19）: 铜（Z=29）: ___ __ 6. 设有某原子核外的 3d 态电子，其可能的量子数有 个，分别可表示为 ____________________________。 7. 电子自旋与其轨道运动的相互作用是何种性质的作用 。 8. 类氢离子是指___________________，里德伯原子是指________________。 9. 在主量子数为n=2，自旋磁量子数为s=1/2的量子态中，能够填充的最大电子数是 ________。 10. 1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，一束处于s 态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两 束，对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释，只能用_________来解释。 二、计算题 11. 如果用13.0 eV 的电子轰击处于基态的氢原子，则： （1）氢原子能够被激发到的最高能级是多少？ （2）氢原子由上面的最高能级跃迁到基态发出的光子可能波长为多少？ （3）如果使处于基态的氢原子电离，至少要多大能量的电子轰击氢原子？
氢原子Schrodinger解中的量子数的物理意义及波函数图形分布
第7节 氢原子Schrodinger 解中的量子数的物理意 义及波函数图形分布 第一部分 上节课复习内容： 第二部分 本节课授课内容： 1、三个量子数的物理意义 2、电子自旋运动的量子数及总量子数 3、波函数与电子云的图形，径向分布函数 4、自然单位 引言：由氢原子及类氢离子的Schrodinger 方程分离出来的三个方程R 方程、Φ方程和Θ方程的解而引入了三个量子数，这三个量子数的物理意义 第二节 量子数的物理意义 一、主量子数n 1、主量子数n 是在解R 方程时引入的，它决定体系能量的高低，即， 对于氢原子及类氢离子，原子轨道的能量在轨道运动中只决定于主量子数 22 22048n Z h e E n ?-=εμ (......,,n 321=) 当n 值变大时，轨道越远离原子核，而当n 无穷大时，体系的能量趋近于0，所以当原子核与电子的距离为无穷远时，氢原子及类氢离子的体系总能量为0，这样的物理模型可以被当做参考体
系的零点。 2、下面考虑能级差随主量子数n 的变化关系 2222048n Z h e E n ?-=εμ，2 2 2204118)n (Z h e E n +?-=+εμ 所以 ???? ??-+?-=-+22222204118n Z )n (Z h e E E n n εμ ??? ? ??+++?=??? ? ??++?=22 222024222202411 1281128)n (n )n (n h Z e n )n (n h Z e εμεμ 所以，当n 增加时，n n E E -+1是减小的，即，随着主量子数n 的增大，能级差是逐渐减小的。 而对于一维势箱： 2428ml h n E n =，2 4 21 81ml h )n (E n +=+，(......,,n 321=) 所以 2 2 22181ml h )n )n ((E E n n -+=-+ 2 2812ml h )n (+= 即：随着量子数n 的增加，一维势箱中的粒子的能级间隔是逐渐加大的。 3、对于氢原子，Z ＝1 所以
人类意识的能级分布图与提高能级的60个方法和能级测试方法
你是什么，你就吸引什么。这是基于对宇宙规律的深刻认识。 下面容的很多人都听说过：《金刚经》、《圣经》、《道德经》……但是真正有去读一下的人没有几个。为什么？因为，你的频率，你的振动，与那些伟大的经典不相应。或许你还能来几句经典里的话语，但是全面的阅读你从来没有过，如果提到这些经典，你说你听说过，但只是名字而已，只是片言只语而已。经典还是经典，你还是你。如果没有那么一天，你真的好好静下心来读一下，你就永远不知道其中的况味。你越是接近经典的频率你越是能锲入经典。而且，我们都明白，如果没有一个更高的层面的指引，一个人总是会局限在自己狭隘的视野里，去框视自己的“现实”。因为你认为那样，结果你吸引（创造=经验=吸引）到你认为的现实，于是你的事实就真的那样。于是你对外宣称，“看，我说的没错吧！事实就是我说的那样吧！”的确。这也是亚伯拉罕一再反复述的。这也是所谓的“你创造了你的现实。” 这里透露一个秘密。所有存在的一切都有一定的意识水平和能量水平。之所以大多数人根本没有去接触经典，是因为他们的能量水平和经典的能量水平根本不相应。也就是他们无法与经典保持共振。也就理所当然的不会去读经典了。在这里我给大家列出美国心理学家，大卫·霍金斯（Dr.David R.Hawkins)花了38年心血，历经250000次以上测试的结晶。(《Power Vs.Force》) 这个研究出来的成果它展现了人类潜藏的意识水平的尺度。他发现存在于我们这个世界的隐藏的图表。一个有关人类所有意识的能级水平的图表。通过这表，我们可以清楚地认识到我们目前所达到的状态，并可以成为解释其它一切人事物的册。 人类意识能级分布图
费米能级位置
什么是Fermi能级为什么Fermi能级可以处于禁带中间为什么本征半导体的Fermi能级位于禁带中央为什么n型半导体的Fermi能级 位于导带底附近Fermi能级随着温度和掺杂浓度的改变而如何变化Fermi能级(E F)是一个非常重要的物理概念，它在半导体电子学中起着极其重要的作用。 (1) Fermi能级的概念: 在固体物理学中，Fermi能量(Fermi energy)是表示在无相互作用的Fermi粒子的体系中加入一个粒子所引起的基态能量的最小可能增量；也就是在绝对零度时，处于基态的Fermi粒子体系的化学势，或 者是处于基态的单个Fermi粒子所具有的最大能量--------- F ermi粒子所占据的最高能级的能量 另一方面，按照Fermi-Dirac统计，在能量为E的单电子量子态上 的平均电子数为： 式中的T为绝对温度，k为玻尔兹曼常数，圧是该Fermi-Dirac分布函 数的一个参量(称为化学势「在绝对零度下，所有能量小于E F的量子态都被 电子占据，而所有能量大于E F的量子态都是空着的， 则作为化学势的参量E F就是电子所占据的最高量子态的能量，因此这时系 统的化学势也就与费米能量一致。从而，往往就形象地把费米
能量和化学势统称之为Fermi能级。虽然严格说来，费米能级是指无相互作用的Fermi粒子系统在趋于绝对零度时的化学势，但是在半导 体物理电子学领域中，费米能级则经常被当做电子或空穴的化学势来使用，所以也就不再区分费米能级和化学势了。 在非绝对零度时，电子可以占据高于E F的若干能级，则这时Fermi 能级将是占据几率等于50%的能级。处于Fermi能级附近的电子（常称为传导电子）对固体的输运性质起着重要的作用。 （2）Fermi能级的含义： 作为Fermi-Dirac分布函数中一个重要参量的Fermi能级EF,具有决定整个系统能量以及载流子分布的重要作用。 ①在半导体中，由于Fermi能级（化学势）不是真正的能级，即不一定是允许的单电子能级（即不一定是公有化状态的能量），所以它可以像束缚状态的能级一样，可以处于能带的任何位置，当然也可以处于禁带之中。 对于金属，其中的自由电子在k空间中将填充成一个球体，称为Fermi 球；Fermi能量也就是Fermi球面对应的能量，该能量可以采用Fermi球的半径-------------- Fermi半径k F来表示为 式中的h是Dirac常数，m是自由电子的质量。因此，金属中的 Fermi能级也就是导带中自由电子填充的最高能级。p F=~h k F称为Fermi动量，V F= h k F/m称为Fermi速度。一般，金属的Fermi能量约为~
第二节氢原子的波函数
第二节氢原子的波函数 函数 氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schr?dinger方程可以精确求解。能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。 为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示： r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。x = r sinθcosφy = r sinθsinφz = r cosθ 解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。 图8-3 直角坐标转换成球极坐标 表8-1氢原子的一些波函数及其能量 轨道ψn，l，m(r,θ, φ)R n，l (r)Y l，m (θ, φ)能量/J 1s A1e-B r A1e-B r×10-18 2s A2re-B r/2 A2re-B r/2×10-18/22 2p z A3re-B r/2cosθA3re-B r/2 cosθ ×10-18/22 2p x A3re-B r/2sinθcosφA3re-B r/2 sinθcosφ ×10-18/22 2p y A3re-B r/2sinθsinφA3re-B r/2 sinθsinφ ×10-18/22 * A1、A2、A3、B均为常数 为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道”(atomic orbit)的概念，将波函数
仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于pm的球形轨道。而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br ，其中A1和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。1s电子具有的能量是×10-18J。氢原子核外电子的运动状态还有许多激发态，如ψ2s(r,θ,φ)、(r,θ,φ)等，相应的能量是×10-19J。 量子数 要解出薛定谔方程的ψ和E，必须要满足一定的条件，才能使解是合理的，因此，在求解过程中必需引进n , l , m三个量子数。这三个参数的取值和组合一定时，就确定了一个波函数。三个量子数的取值限制和它们的物理意义如下： 主量子数(principal quantum number) 常用符号n表示。它可以取非零的任意正整数，即1，2，3 …n 。它决定电子在核外空间出现概率最大的区域离核的远近，并且是决定电子能量高低的主要因素。n = 1时，电子离核的平均距离最近，能量最低。n愈大，电子离核的平均距离愈远，能量愈高。所以n也称为电子层数(electron shell number)。对氢原子来说电子的能量完全由主量子数决定，即由式 决定。从这个式子可以看出，n愈大，E就愈大（负值的绝对值愈小）。 轨道角动量量子数(orbital angular momentum quantum number) 常用符号l表示。它的取值受主量子数的限制，它只能取小于n的正整数并包括零，即l可以等于0、1、2、3 …(n– 1)，共可取n个数值。按光谱学的习惯，l = 0时，用符号s表示，l = 1时，用符号p表示，l = 2时，用符号d表示，l = 3时用符号f表示等等。轨道角动量量子数决定原子轨道的形状。如l = 0时，原子轨道呈球形分布；l = 1时，原子轨道呈双球形分布等。在多电子原子中，轨道角动量量子数也是决定电子能量高低的因素。所以，在多电子原子中，主量子数相同、轨道角动量量子数不同的电子，其能量是不相等的，即在同一电子层中的电子还可分为若干不同的能级(energy level)或称为亚层(subshell)，当主量子n相同时，轨道角动量量子数l愈大，能量愈高。于是有 E n s＜E n p＜E n d＜E n f。对氢原子来说，E n s = E n p = E n d = E n f。 磁量子数(magnetic quantum number) 常用m 表示。它的取值受轨道角动量量子数的限制。即m 可以等于0、±1、±2，…±l等整数。所以，磁量子数共有（2l+1）个数值。磁量子数决定原子轨道在空间的伸展方向，但它与电子的能量无关。例如l =1时，磁量子数可以有三个取值，即m = 0、±1，说明p轨道在空间有三种不同的伸展方向，即共有3个p轨道。但这3个p轨道的能量相同，即能级相同，称为简并或等价轨道。 综上所述，可以看到n、l、m这三个量子数的组合有一定的规律。例如，n = 1时，l只能等于0，m也只能等于0，三个量子数的组合只有一种，即1、0、0,说明第一电子层只有一个能级，也只有一个轨道，相应的波函数写成ψ1，0，0或写成ψ1s 。n = 2时，l可以等于0和1，所以第二电子层共
第二节氢原子的波函数
第二节? 氢原子的波函数 氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schr?dinger方程可以精确求解。能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。 为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示： r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。 x = r sinθcosφ y = r sinθsinφ z = r cosθ 解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。 图8-3 直角坐标转换成球极坐标 表8-1氢原子的一些波函数及其能量 轨道ψn，l，m(r,θ, φ)R n，l (r)Y l，m (θ, φ)能量/J 1s A1e-B r A1e-B r×10-18 2s A2re-B r/2 A2re-B r/2×10-18/22 2p z A3re-B r/2cosθA3re-B r/2 cosθ ×10-18/22 2p x A3re-B r/2sinθcosφA3re-B r/2 sinθcosφ ×10-18/22
2p y A3re-B r/2sinθsinφA3re-B r/2 sinθsinφ ×10-18/22 * A1、A2、A3、B均为常数 为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道” (atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于 pm的球形轨道。而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数 ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1 和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。1s电子具有的能量是×10-18J。氢原子核外电子的运动状态还有许多激发态，如ψ2s(r,θ,φ)、(r,θ,φ)等，相应的能量是×10-19J。 量子数 要解出薛定谔方程的ψ和E，必须要满足一定的条件，才能使解是合理的，因此，在求解过程中必需引进n , l , m三个量子数。这三个参数的取值和组合一定时，就确定了一个波函数。三个量子数的取值限制和它们的物理意义如下： 主量子数(principal quantum number) 常用符号n表示。它可以取非零的任意正整数，即1，2，3 …n 。它决定电子在核外空间出现概率最大的区域离核的远近，并且是决定电子能量高低的主要因素。n = 1时，电子离核的平均距离最近，能量最低。n愈大，电子离核的平均距离愈远，能量愈高。所以n也称为电子层数(electron shell number)。对氢原子来说电子的能量完全由主量子数决定，即由式 决定。从这个式子可以看出，n愈大，E就愈大（负值的绝对值愈小）。 轨道角动量量子数(orbital angular momentum quantum number) 常用符号l表示。它的取值受主量子数的限制，它只能取小于n的正整数并包括零，即l 可以等于0、1、2、3 … (n–1)，共可取n个数值。按光谱学的习惯，l = 0时，用符号s表示，l = 1时，用符号p表示，l = 2时，用符号d表示，l = 3时用符号f表示等等。轨道角动量量子数决定原子轨道的形状。如l = 0时，原子轨道呈球形分布；l = 1时，原子轨道呈双球形分布等。在多电子原子中，轨道角动量量子数也是决定电子能量高低的因素。所以，在多电子原子中，主量子数相同、轨道角动量量子数不同的电子，其能量是不相等的，即在同一电子层中的电子还可分为若干不同的能级(energy level)或称为亚层(subshell)，当主量子n相同时，轨道角动量量子数l 愈大，能量愈高。于是有 E n s＜E n p＜E n d＜E n f。 对氢原子来说，E n s = E n p = E n d = E n f。 磁量子数(magnetic quantum number)
氢原子的量子理论-作业(含答案)
第26章氢原子的量子理论习题 (初稿) 一、填空题 1. 氢原子的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθ?θ?=，请给出电子出现在 ~r r dr +球壳内的概率为___________，电子出现在(),θ?方向立体角d Ω内的概率为 _______________。 2. 泡利不相容原理是指______________，原子核外电子排布除遵循泡利不相容原理外，还 应遵循的物理规律是__________。 3. 可以用用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个量子数各称和取值范围怎样分 别是：(1)(2)(3)(4)。 4. 根据量子力学原理，如果不考虑电子自旋，对氢原子当n 确定后，对应的总量子态数目 为__个，当n 和l 确定后，对应的总量子态数目为____个 5. 给出以下两种元素的核外电子排布规律： 钾（Z=19）: 铜（Z=29）: _____ 6. 设有某原子核外的 3d 态电子，其可能的量子数有个，分别可表示为 ____________________________。 7. 电子自旋与其轨道运动的相互作用是何种性质的作用。 8. 类氢离子是指___________________，里德伯原子是指________________。 9. 在主量子数为n=2，自旋磁量子数为s=1/2的量子态中，能够填充的最大电子数是 ________。 10. 1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，一束处于s 态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两 束，对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释，只能用_________来解释。 二、计算题 11. 如果用13.0 eV 的电子轰击处于基态的氢原子，则： （1）氢原子能够被激发到的最高能级是多少？ （2）氢原子由上面的最高能级跃迁到基态发出的光子可能波长为多少？ （3）如果使处于基态的氢原子电离，至少要多大能量的电子轰击氢原子？
MATLAB氢原子的波函数
氢原子的波函数 摘 要：针对量子力学中氢原子波函数概念抽象的特点，利用MATLAB 方便地绘制波函数的三维空间分布图，指出MATLAB 软件是解决量子力学可视化的有效工具。 关键词：MATLAB ；波函数；氢原子；空间分布 0 引言 量子力学是物理专业必修的一门专业课，它主要研究微观尺度下粒子的行为与相互作用。许多概念如波函数、测不准原理、角动量理论等抽象难懂，一些现象如：隧道效应、势垒反射等与宏观现实不相符，再加上无法直接用肉眼观察，使得量子力学中许多问题不易理解。因此，在量子力学中引入多媒体，增加动态直观的演示。针对量子力学计算复杂、物理量具有矩阵形式等特点，我们最终选择了具有强大计算能力同时一又有极强图像处理能力的数学软件—MATLAB 。 1 MATLAB 软件介绍 MATLAB 是美国Math Work 公司从1982年开始推出的一套高性能的数值计算和可视化软件。它集数值分析、矩阵运算和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。MATLAB 程序设计语言结构完整，且具有良好的移植性，易学易用。此外，它还提供了解决各类问题的工具箱，MATLAB 己成为应用学科、计算机辅助分析、设计、仿真不可缺少的软件。 MATLAB 具有强大的图形绘制能力，为科学研究提供了极大的方使。MATLAB 可以绘制二维、三维乃至四维图形，而且能对图形进行线型、立体、色彩、光线、视角等控制。用户只须指定绘图方式，并提供充足的绘图数据，用很少的程序指令就可得到直观、形象的图形结果。借助于MATLAB 的数值计算和图形处理技术，我们可以方便地绘制氢原子波函数的空间分布图，直观感受微观状态下电子行为，加深对理论、概念的理解。 2 氢原子波函数模型建立 由量子理论知，氢原子体系满足薛定谔方程: ()()1 1 121222 2 2 2,,1222r r r r r r e E r ψψμμ-?--?-=∑ (1)
第二节--氢原子的波函数
第二节--氢原子的波函数
第二节氢原子的波函数 波函数 氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schr?dinge r方程可以精确求解。能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。 为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示： r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。 x = r sinθcosφ y = r sinθsinφ z = r cosθ 解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。 图8-3 直角坐标转换成球极坐标 表8-1氢原子的一些波函数及其能量 轨道ψn，l，m(r,θ, φ)R n，l (r)Y l，m (θ, φ)能量/J 1s A1e-B r A1e-B r-2.18×10-18 2s A2re-B r/2 A2re-B r/2-2.18×10-18/22 2p z A3re-B r/2cosθA3re-B r/2 cosθ -2.18×10-18/22
2p x A3re-B r/2sinθcosφA3re-B r/2 sinθcosφ -2.18×10-18/22 2p y A3re-B r/2sinθsinφA3re-B r/2 sinθsinφ -2.18×10-18/22 * A1、A2、A3、B均为常数 为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道” (atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道。而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函 数ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1 和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。1s 电子具有的能量是-2.18×10-18J。氢原子核外电子的运动状态还有许多激发态，如ψ2s(r,θ,φ)、 (r,θ,φ)等，相应的能量是-5.45×10-19J。 量子数 要解出薛定谔方程的ψ和E，必须要满足一定的条件，才能使解是合理的，因此，在求解过程中必需引进n , l , m三个量子数。这三个参数的取值和组合一定时，就确定了一个波函数。三个量子数的取值限制和它们的物理意义如下： 主量子数(principal quantum number) 常用符号n表示。它可以取非零的任意正整数，即1，2，3 …n 。它决定电子在核外空间出现概率最大的区域离核的远近，并且是决定电子能量高低的主要因素。n = 1时，电子离核的平均距离最近，能量最低。n愈大，电子离核的平均距离愈远，能量愈高。所以n也称为电子层数(electron shell number)。对氢原子来说电子的能量完全由主量子数决定，即由式 决定。从这个式子可以看出，n愈大，E就愈大（负值的绝对值愈小）。 轨道角动量量子数(orbital angular momentum quantum number) 常用符号l表示。它的取值受主量子数的限制，它只能取小于n的正整数并包括零，即l 可以等于0、1、2、3 … (n–1)，共可取n个数值。按光谱学的习惯，l = 0时，用符号s表示，l = 1时，用符号p表示，l = 2时，用符号d表示，l = 3时用符号f表示等等。轨道角动量量子数决定原子轨道的形状。如l = 0时，原子轨道呈球形分布；l = 1时，原子轨道呈双球形分布等。在多电子原子中，轨道角动量量子数也是决定电子能量高低的因素。所以，在多电子原子中，主量子数相同、轨道角动量量子数不同的电子，其能量是不相等的，即在同一电子层中的电子还可