高中数学苏教版选修2-2学业分层测评：章末综合检测 02含解析

章末综合测评(二)

(时间120分钟，满分160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)

1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x 0)＝0，则x ＝x 0是函数f(x)的极值点.因为f(x)＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是f(x)＝x 3的极值点.以上推理中________错误.

【解析】 大前提是错误的，若f ′(x 0)＝0，x ＝x 0不一定是函数f(x)的极值点.

【答案】 大前提

2.下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________.

图1

【解析】 由图形可知，着色三角形的个数依次为：1,3,9,27，…，故a n ＝3n －1.

【答案】 3n －1

3.(2016·日照联考)已知f(n)＝1＋1

2＋1

3＋…＋1

n (n ∈N *)，计算得f(22)＞2，f(23)

＞52，f(24)＞3，f(25)＞7

2

，由此推测，当n ≥2时，有________.

【解析】因为f(22)＞4

2

，f(23)＞

5

2

，f(24)＞

6

2

，f(25)＞

7

2

，所以推测，当n≥2

时，f(2n)＞n＋2 2

.

【答案】f(2n)＞n＋2 2

4.已知圆x2＋y2＝r2(r＞0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a＞b

＞0)的面积最有可能是________.

【解析】将圆看作椭圆的极端情况，即a＝b情形.

∴类比S圆＝πr2，得椭圆面积S＝πab.

【答案】πab

5.已知a＞0，b＞0，m＝lg a＋b

2

，n＝lg

a＋b

2

，则m与n的大小关系

为________.

【解析】∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab＞a＋b＞0，

∴a＋b＞a＋b＞0，则a＋b

2

＞

a＋b

2

.

∴lg a＋b

2

＞lg

a＋b

2

，则m＞n.

【答案】m＞n

6.已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且公比q ＞1，若a1＝b1，a2 013＝b2 013，则a1 007与b1 007的大小关系是________.

【解析】 由2a 1 007＝a 1＋a 2 013，得a 1 007＝a 1＋a 2 013

2.

又b 21 007＝b 1·

b 2 013，得b 1 007＝b 1·b 2 013，

∵a 1＝b 1＞0，a 2 013＝b 2 013＞0，且a 1≠a 2 013， ∴a 1 007＞b 1 007.

【答案】 a 1 007＞b 1 007

7.利用数学归纳法证明不等式

1

n ＋1＋1

n ＋2＋…＋1

n ＋n ＞1

2

(n ＞1，n ∈N *)的过

程中，第一步的代数式为____________________.

【解析】 第一步：n ＝2时，左边为1

2＋1＋1

2＋2，故代数式为1

2＋1＋1

2＋2

＞1

2

. 【答案】

1

2＋1＋1

2＋2＞1

2

8.(2016·江西一模)观察下列等式： (1＋x ＋x 2)1＝1＋x ＋x 2，

(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，

(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，

(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8， 由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＝________.

【解析】 观察知，a 2为数列1,3,6,10，…中的第n 项，而1＝2

2＝1×22

，3